2019-2020学年高中数学 第2章 平面向量 2.1.4 数乘向量教案（含解析）新人教B版必修4

-1-2.1.4数乘向量学习目标核心素养1．掌握数乘向量的定义并理解其几何意义．(重点)2．理解数乘向量的运算律．(重点)3．了解向量线性运算的性质及其几何意义．(难点)1．通过学习数乘向量的定义及其运算律，培养学生的直观想象和逻辑推理素养．2．借助向量线性运算及其应用，提升学生的直观想象和逻辑推理素养.1．数乘向量(1)定义：实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且λa的长度|λa|＝|λ||a|.若a≠0，当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反．当λ＝0或a＝0时，0a＝0或λ0＝0.(2)几何意义：把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小．(3)运算律：设λ，μ为实数，则①(λ＋μ)a＝λa＋μa；②λ(μa)＝(λμ)a；③λ(a＋b)＝λa＋λb(分配律)．2．向量的线性运算向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫做向量的线性运算．思考：数乘向量与实数的乘法有什么区别？[提示](1)数乘向量与实数的乘法是有区别的，前者的结果是一个向量，后者的结果是一个实数．特别要注意λ＝0时，λa＝0，此处最容易出现的错误是将实数0与0混淆，错误地表述成λa＝0.(2)要注意实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，如λ＋a，λ－a是无法运算的．1．下列各式中不表示向量的是()A．0·aB．a＋3bC．|3a|-2-D．1x－ye(x，y∈R，且x≠y)C[向量的数乘运算结果仍为向量，显然只有|3a|不是向量．]2．(2a－b)－(2a＋b)等于()A．a－2bB．－2bC．0D．b－aB[原式＝2a－2a－b－b＝－2b.]3．若a＝e1＋2e2，b＝e1－2e2，则2a－3b＝________.－e1＋10e2[2a－3b＝2(e1＋2e2)－3(e1－2e2)＝2e1＋4e2－3e1＋6e2＝－e1＋10e2.]数乘向量的概念【例1】(1)若两个非零向量a与(2x－1)a方向相同，则x的取值范围为________．(2)若平面内不共线的四点O，A，B，C满足OB→＝13OA→＋23OC→，则|AB→||BC→|＝________.(3)已知点C在线段AB的延长线上(在B点右侧)，且AB∶AC＝2∶3.①用BC→表示AB→；②用CB→表示AC→.[思路探究]根据数乘向量的定义运算求解．(1)x12(2)2[(1)由定义可知，2x－10，即x12.(2)因为OB→＝13OA→＋23OC→，所以OB→－OA→＝13OA→＋23OC→－OA→，即AB→＝23AC→，所以|AB→|＝23|AC→|，①同理可得|CB→|＝13|CA→|，②①÷②得|AB→||CB→|＝2.](3)如图a，因为点C在线段AB的延长线上，且AB∶AC＝2∶3，所以AB＝2BC，AC＝3BC.①如图b，向量AB→与BC→方向相同，所以AB→＝2BC→；②如图c，向量AC→与CB→方向相反，所以AC→＝－3CB→.-3-对数乘运算的理解，关键是对系数λ的作用的认识：λ0时，λa与a同向，模是|a|的λ倍；λ0时，λa与a反向，模是|a|的－λ倍；λ＝0时，λa＝0.注意：当λ＝0或a＝0时，λa＝0.注意是0，而不是0.1．设a是非零向量，λ是非零实数，判断下列说法是否正确．(1)a与λa的方向相反；(2)|－λa|＝a；(3)a与λ2a方向相同；(4)|－2λa|＝2|λ||a|.[解]由已知可得(1)若λ0，则a与－λa的方向相同，故(1)错误；(2)实数与向量不能比较大小，故(2)错误；(3)a与λ2a方向相同，故(3)正确；(4)|－2λa|＝2|λ||a|正确.向量的线性运算【例2】(1)化简：(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c)＝________.(2)已知向量a，b，x，且(x－a)－(b－x)＝x－(a＋b)，则x＝________.[思路探究](1)可类比实数运算中的合并同类项方法化简；(2)可类比解方程方法求解．(1)－a＋5b－2c(2)0[(1)(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c)＝2a－3a＋3b＋2b－c－c＝－a＋5b－2c.(2)因为(x－a)－(b－x)＝x－(a＋b)，所以2x－a－b＝x－a－b，即：x＝0.]向量数乘运算的方法：(1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．-4-2．化简：13122a＋8b－4a－2b的结果是()A．2a－bB．2b－aC．b－aD．a－bB[原式＝13(a＋4b－4a＋2b)＝13(6b－3a)＝2b－a.]向量的线性运算在平面几何中的应用[探究问题]1．怎样理解λa的几何意义？[提示]λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．2．如何用已知向量表示所求向量？[提示]在向量的线性运算中，用已知向量表示所求向量，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中，结合图形的有关性质及联想到相关的法则来求．【例3】如图所示，已知ABCD的边BC，CD上的中点分别为K，L，且AK→＝e1，AL→＝e2，试用e1，e2表示BC→，CD→.[思路探究]解答本题可先将BC→，CD→视为未知量，再利用已知条件找等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)求出BC→，CD→.[解]设BC→＝x，CD→＝y，则BK→＝12x，DL→＝－12y.由AB→＋BK→＝AK→，AD→＋DL→＝AL→得－y＋12x＝e1，①x－12y＝e2，②用－2乘以②与①相加得12x－2x＝e1－2e2，解得x＝23(2e2－e1)，即BC→＝43e2－23e1同理得y＝23(－2e1＋e2)，即CD→＝－43e2＋23e1.1．由已知向量表示未知向量时，要善于利用三角形法则、平行四边形法则以及向量线性-5-运算的运算律，还应重视平面几何定理的应用．2．当用已知向量表示未知向量比较困难时，应考虑方程思想，利用方程的观点进行求解．3．已知任意四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．求证：EF→＝12(AB→＋DC→)．[证明]取以点A为起点的向量，应用三角形法则求证，如图．∵E为AD的中点，∴AE→＝12AD→.∵F是BC的中点，∴AF→＝12(AB→＋AC→)．又∵AC→＝AD→＋DC→，∴AF→＝12(AB→＋AD→＋DC→)＝12(AB→＋DC→)＋12AD→，∴EF→＝AF→－AE→＝12(AB→＋DC→)＋12AD→－12AD→＝12(AB→＋DC→)．(教师用书独具)1．对向量的数乘的三点说明(1)向量的数乘是一个实数与一个向量相乘，其结果是一个向量，方向与λ的正负有关．(2)当λ＝0时，λa＝0.(3)向量的数乘运算要遵循向量数乘的运算律．2．向量线性运算的基本方法(1)类比方法：向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．(2)方程方法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算.1．下列计算正确的个数是()①(－3)·2a＝－6a；②2(a＋b)－(2b－a)＝3a；③(a＋2b)－(2b＋a)＝0.-6-A．0B．1C．2D．3C[因为(－3)·2a＝－6a，故①正确；②中左边＝2a＋2b－2b＋a＝3a成立，故②正确；③中左边＝a＋2b－2b－a＝0≠0，故③错误．]2．将112[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]化简成最简式为()A．2a－bB．2b－aC．a－bD．b－aB[原式＝16(2a＋8b)－13(4a－2b)＝13a＋43b－43a＋23b＝－a＋2b.]3．O为平行四边形ABCD的中心，AB→＝4e1，BC→＝6e2，则3e2－2e1＝________.OD→(或BO→)[设点E为平行四边形ABCD的边BC的中点，点F为AB边中点，则3e2－2e1＝BE→＋BF→＝BO→＝OD→.]4．化简下列各式：(1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)；(2)16[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]．[解](1)原式＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b；(2)原式＝16(4a＋16b－16a＋8b)＝16(－12a＋24b)＝－2a＋4b.