2019-2020学年高中数学 第2章 平面向量 2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算教案（

-1-2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算学习目标核心素养1．掌握平行向量基本定理并理解两向量共线的条件及单位向量的含义．(重点)2．理解轴上的基向量、向量的坐标及其运算公式，并解决轴上的相关问题．(难点)1．通过平行向量基本定理及单位向量的学习，培养学生的数学运算和逻辑推理素养．2．借助向量的坐标及平行向量基本定理的应用，提升学生的数学运算及逻辑推理核心素养.1．平行向量基本定理(1)平行向量基本定理：如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使a＝λb.(2)单位向量：给定一个非零向量a，与a同方向且长度等于1的向量，叫做向量a的单位向量，如果a的单位向量记作a0，由数乘向量的定义可知：a＝|a|a0或a0＝a|a|.2．轴上向量的坐标及其运算(1)规定了方向和长度单位的直线叫做轴．已知轴l，取单位向量e，使e的方向与l同方向．根据向量平行的条件，对轴上任意向量a，一定存在唯一实数x，使a＝xe.反过来，任意给定一个实数x，我们总能作一个向量a＝xe，使它的长度等于这个实数x的绝对值，方向与实数的符号一致．单位向量e叫做轴l的基向量，x叫做a在l上的坐标(或数量)．(2)x的绝对值等于a的长，当a与e同方向时，x是正数，当a与e反方向时，x是负数．实数与轴上的向量建立起一一对应关系．(3)向量相等与两个向量的和：设a＝x1e，b＝x2e，于是：如果a＝b，则x1＝x2；反之，如果x1＝x2，则a＝b；另外，a＋b＝(x1＋x2)e，这就是说，轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等；轴上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和．(4)向量AB→的坐标常用AB表示，则AB→＝ABe.AB→表示向量，而AB表示数量，且有AB＋BA＝0.(5)轴上向量的坐标：在数轴x上，已知点A的坐标为x1，点B的坐标为x2，则AB＝x2－x1，即轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．(6)数轴上两点的距离公式：在数轴x上，点A的坐标为x1，点B的坐标为x2，则|AB|＝-2-|x2－x1|.思考：在平行向量基本定理中，为什么要求b≠0?[提示]若b＝0，则0∥a，但是λ0＝0，从而a＝λb中的实数λ具有不确定性，进而不能说存在唯一一个实数λ，使得a＝λb.1．数轴上点A，B，C的坐标分别为－1,1,5，则下列结论错误的是()A.AB→的坐标是2B.CA→＝－3AB→C.CB→的坐标是4D.BC→＝2AB→C[CB→的坐标为1－5＝－4，故C项不正确．故选C.]2．以下选项中，a与b不一定共线的是()A．a＝5e1－e2，b＝2e2－10e1B．a＝4e1－25e2，b＝e1－110e2C．a＝e1－2e2，b＝e2－2e1D．a＝3e1－3e2，b＝－2e1＋2e2C[选项A，b＝－2a；选项B，b＝14a；选项D，b＝－23a.只有选项C中a与b不共线．]3．设e1，e2不共线，b＝e1＋λe2与a＝2e1－e2共线，则λ＝________.－12[由题意可得存在实数k，使得b＝ka，则e1＋λe2＝2ke1－ke2，∴2k＝1λ＝－k⇒k＝12，λ＝－12.]轴上向量的坐标及其运算【例1】已知数轴上四点A，B，C，D的坐标分别是－4，－2，c，d.(1)若AC＝5，求c的值；(2)若|BD|＝6，求d的值；(3)若AC→＝－3AD→，求证：3CD→＝－4AC→.[思路探究]据条件表示出两点所对应的向量的坐标，然后求解．-3-[解](1)∵AC＝5，∴c－(－4)＝5，∴c＝1.(2)∵|BD|＝6，∴|d－(－2)|＝6，即d＋2＝6或d＋2＝－6，∴d＝4或d＝－8.(3)证明：因为CD→＝CA→＋AD→＝－AC→＋AD→，而AC→＝－3AD→，所以CD→＝－(－3AD→)＋AD→＝4AD→，所以3CD→＝12AD→，又－4AC→＝－4×(－3AD→)＝12AD→，故3CD→＝－4AC→.正确理解和运用轴上向量的坐标及长度计算公式是学习其他向量计算的基础；解答本题首先利用数轴上点的坐标，计算出两点所对应向量的坐标，特别要注意向量坐标运算公式的顺序，还要注意模运算中可能会出现的两种情形.1．已知数轴上A，B两点的坐标为x1，x2，求AB→，BA→的坐标和长度．(1)x1＝2，x2＝－5.3；(2)x1＝10，x2＝20.5.[解](1)∵x1＝2，x2＝－5.3，∴AB＝－5.3－2＝－7.3，BA＝2－(－5.3)＝7.3.∴|AB→|＝7.3，|BA→|＝7.3.(2)同理AB＝10.5，BA＝－10.5.|AB→|＝10.5，|BA→|＝10.5.用平行向量基本定理证明几何问题【例2】已知梯形ABCD中，AB∥DC，E，F分别是AD，BC的中点，求证：EF∥AB∥DC.[思路探究]解题时首先结合图形与所证问题，把几何条件转化为向量条件，然后利用向量的线性运算与平行向量基本定理求证．[证明]延长EF到M，使EF＝FM，连接CM，BM，EC，EB，得ECMB，-4-由平形四边形法则得EF→＝12EM→＝12(EB→＋EC→)．由于AB∥DC，所以AB→，DC→共线且同向，根据平行向量基本定理，存在正实数λ，使AB→＝λDC→.由三角形法则得EB→＝EA→＋AB→，EC→＝ED→＋DC→且ED→＋EA→＝0，∴EF→＝12(EB→＋EC→)＝12(EA→＋AB→＋ED→＋DC→)＝12(AB→＋DC→)＝1＋λ2DC→，∴EF→∥DC→.由于E，D不共点，∴EF∥DC∥AB.1．用平行向量基本定理证明直线平行或三点共线时，关键是把一个向量用有关向量线性表示，同时有机地结合向量的线性运算及图形完成证明．2．用向量法证明几何问题的一般步骤是：首先用向量表示几何关系，然后进行向量运算，得到新的适合题目要求的向量关系，最后将向量关系还原为几何关系．2．已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足AB→＝e＋2f，BC→＝－4e－f，CD→＝－5e－3f.(1)将AD→用e，f表示；(2)证明四边形ABCD为梯形．[解](1)根据向量求和的多边形法则，有AD→＝AB→＋BC→＋CD→＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.(2)证明：因为AD→＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2BC→，即AD→＝2BC→.所以AD→∥BC→，且AD→的长度为BC→的长度的2倍，所以在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD为梯形.平行向量基本定理的应用[探究问题]-5-1.在平行向量基本定理中，为什么要求“b≠0”？[提示]若b＝0，则λ不唯一，另外b相对于a而言是一个度量标准，度量标准不能为0.2．如何证明A、B、C三点共线？[提示]只需构造两个向量AB→，AC→，并证明AB→＝λAC→即可．【例3】如图所示，已知在ABCD中，点M为AB的中点，点N在BD上，且3BN＝BD.求证：M，N，C三点共线．[思路探究]利用向量的运算法则将MC→，MN→两向量分别用AB→，AD→表示出来，再利用平行向量基本定理判定MC→，MN→共线，从而证明M，N，C三点共线．[证明]设AB→＝a，AD→＝b，则BD→＝BA→＋AD→＝－a＋b，BN→＝13BD→＝－13a＋13b，MB→＝12a，BC→＝AD→＝b，∴MC→＝MB→＋BC→＝12a＋b，MN→＝MB→＋BN→＝12a－13a＋13b＝1312a＋b，∴MN→＝13MC→，∴MN→∥MC→，又M为公共点，∴M、N、C三点共线．平行向量基本定理的两个方面的应用：(1)一个向量可以由另一个向量线性表示，则可以判定两向量平行，进而证明三点共线，三角形相似，两线段平行以及用来判断图形的形状等．(2)若两向量平行，则一个向量可以由另一个非零向量线性表示，可以用来求参数，它是轴上向量坐标化的依据．-6-3．设两个非零向量e1，e2不共线，已知AB→＝2e1＋ke2，CB→＝e1＋3e2，CD→＝2e1－e2.问：是否存在实数k，使得A，B，D三点共线，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．[解]设存在k∈R，使得A，B，D三点共线，∵DB→＝CB→－CD→＝(e1＋3e2)－(2e1－e2)＝－e1＋4e2.又∵A，B，D三点共线，∴AB→＝λDB→，∴2e1＋ke2＝λ(－e1＋4e2)，∴2＝－λ，k＝4λ，∴k＝－8，所以存在k＝－8，使得A，B，D三点共线．(教师用书独具)1．向量共线定理的两个作用(1)证明线段平行，但要注意向量共线时，两向量所在的线段可能平行，也可能共线．(2)证明点共线，当两向量共线，且有公共点时，则表示向量的线段必在同一条直线上，从而向量的起点、终点必共线．2．证明三点共线的等价命题向量共线定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化为向量共线问题．如图A、B、C三点共线，则AB→＝λAC→，任取直线AC外一点P，则PB→－PA→＝λ(PC→－PA→)，所以PB→＝λPC→＋(1－λ)PA→，由此可推出三点共线的等价命题：A、B、C三点共线等价于PB→＝λPC→＋μPA→(λ、μ∈R且λ＋μ＝1).1．设e1，e2是两个单位向量，则下列结论中正确的是()A．e1＝e2B．e1∥e2C．|e1|＝|e2|D．以上都不对C[单位向量的模都等于1个单位，故C项正确．]2.如图所示，已知OA→′＝3OA→，A′B′→＝3AB→，则向量OB→与OB′→的-7-关系为()A．共线B．同向C．共线且同向D．共线、同向，且OB′→的长度是OB→的3倍D[由题意，知OAOA′＝ABA′B′，∴AB∥A′B′，∴OBOB′＝OAOA′＝13，∴OB′→＝3OB→，故选D.]3．设a，b是两个不共线的向量，AB→＝2a＋pb，BC→＝a＋b，CD→＝a－2b.若A、B、D三点共线，则实数p的值是________．－1[∵A、B、D三点共线，∴存在实数λ使AB→＝λBD→，又BD→＝BC→＋CD→＝2a－b，AB→＝2a＋pb，∴2a＋pb＝λ(2a－b)，∴2＝2λ，p＝－λ，∴p＝－1.]4.如图，ABCD为一个四边形，E，F，G，H分别为BD，AB，AC和CD的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形．[证明]∵F，G分别是AB，AC的中点，∴FG→＝12BC→.同理，EH→＝12BC→.∴FG→＝EH→.同理EF→＝HG→.∴四边形EFGH为平行四边形．