2019-2020学年高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ）2.1.2.1 指数函数及其性质学案（含解

-1-2.1.2指数函数及其性质课标要点课标要点学考要求高考要求1.指数函数的概念bb2.指数函数的图象cc3.指数函数的性质cc4.利用函数图象解决问题cc知识导图学法指导1.明确指数函数的概念，会求指数函数的解析式．2．借助指数函数的图象来学习函数性质，学会用数形结合的方法解决有关问题．3．在掌握指数函数的图象与性质的基础上，学会解决与指数函数有关的复合函数问题．第1课时指数函数及其性质知识点一指数函数的定义函数y＝ax(a0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量．指数函数解析式的3个特征(1)底数a为大于0且不等于1的常数．(2)自变量x的位置在指数上，且x的系数是1.(3)ax的系数是1.-2-知识点二指数函数的图象与性质a10a1图象性质定义域R值域(0，＋∞)过定点过点(0,1)，即x＝0时，y＝1函数值的变化当x0时，y1；当x0时，0y1当x0时，0y1；当x0时，y1单调性是R上的增函数是R上的减函数底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”．当a1时，指数函数的图象是“上升”的；当0a1时，指数函数的图象是“下降”的．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y＝x2是指数函数．()(2)指数函数y＝ax中，a可以为负数．()(3)指数函数的图象一定在x轴的上方．()答案：(1)×(2)×(3)√2．下列各函数中，是指数函数的是()A．y＝(－3)xB．y＝－3xC．y＝3x－1D．y＝13x解析：根据指数函数的定义y＝ax(a0且a≠1)可知只有D项正确．答案：D3．函数f(x)＝12x－1的定义域为()A．RB．(0，＋∞)C．[0，＋∞)D．(－∞，0)-3-解析：要使函数有意义，则2x－10，∴2x1，∴x0.答案：B4．已知集合A＝{x|x3}，B＝{x|2x4}，则A∩B＝()A．∅B．{x|0x3}C．{x|1x3}D．{x|2x3}解析：依据函数y＝2x是增函数，可得B＝{x|2x4}＝{x|x2}，则A∩B＝{x|2x3}．答案：D类型一指数函数概念的应用例1(1)若y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有()A．a＝1或2B．a＝1C．a＝2D．a0且a≠1(2)指数函数y＝f(x)的图象经过点－2，14，那么f(4)·f(2)等于________．【解析】(1)由指数函数的定义得a2－3a＋3＝1，a0，a≠1.解得a＝2.(2)设y＝f(x)＝ax(a0，a≠1)，所以a－2＝14，所以a＝2，所以f(4)·f(2)＝24×22＝64.【答案】(1)C(2)64(1)根据指数函数的定义可知，底数a0且a≠1，ax的系数是1.(2)先设指数函数为f(x)＝ax，借助条件图象过点(－2，14)求a，最后求值．方法归纳(1)判断一个函数是指数函数的方法①看形式：只需判定其解析式是否符合y＝ax(a0，且a≠1)这一结构特征．②明特征：指数函数的解析式具有三个特征，只要有一个特征不具备，则不是指数函数．(2)已知某函数是指数函数求参数值的基本步骤-4-跟踪训练1(1)若函数y＝(3－2a)x为指数函数，则实数a的取值范围是________；(2)下列函数中是指数函数的是________．(填序号)①y＝2·(2)x②y＝2x－1③y＝π2x④y＝xx⑤y＝3－1x⑥y＝x13.解析：(1)若函数y＝(3－2a)x为指数函数，则3－2a0，3－2a≠1，解得a32且a≠1.(2)①中指数式(2)x的系数不为1，故不是指数函数；②中y＝2x－1＝12·2x，指数式2x的系数不为1，故不是指数函数；④中底数为x，不满足底数是唯一确定的值，故不是指数函数；⑤中指数不是x，故不是指数函数；⑥中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数．故填③.答案：(1)(－∞，1)∪1，32(2)③(1)指数函数系数为1.(2)底数0且≠1.类型二指数函数的图象问题例2(1)如图所示是下列指数函数的图象：①y＝ax②y＝bx③y＝cx④y＝dx则a，b，c，d与1的大小关系是()A．ab1cdB．ba1dcC．1abcdD．ab1dc(2)当a0且a≠1时，函数f(x)＝ax－3－2必过定点________．-5-【解析】(1)可先分为两类，③④的底数一定大于1，①②的底数一定小于1，然后再由③④比较c，d的大小，由①②比较a，b的大小．当指数函数的底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，且当底数越小，图象向下越靠近x轴，故选B.(2)当a0且a≠1时，总有f(3)＝a3－3－2＝－1，所以函数f(x)＝ax－3－2必过定点(3，－1)．【答案】(1)B(2)(3，－1)(1)先由a1,0a1两个角度来判断函数的单调性，确定函数图象．(2)由y＝ax过定点(0,1)来求f(x)过定点．方法归纳指数函数的图象随底数变化的规律可归纳为：(1)无论指数函数的底数a如何变化，指数函数y＝ax(a0，a≠1)的图象与直线x＝1相交于点(1，a)，由图象可知：在y轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大．(2)指数函数的底数与图象间的关系可概括记忆为：在第一象限内，底数自下而上依次增大．跟踪训练2(1)已知1nm0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为()(2)若a1，－1b0，则函数y＝ax＋b的图象一定在()A．第一、二、三象限B．第一、三、四象限C．第二、三、四象限D．第一、二、四象限解析：(1)由于0mn1，所以y＝mx与y＝nx都是减函数，故排除A、B，作直线x＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y＝mx的图象，故选C.(2)∵a1，且－1b0，故其图象如右图所示．答案：(1)C(2)A,-6-由底数的范围判断函数图象．类型三指数函数的定义域、值域问题例3(1)函数y＝132x－1－27的定义域是()A．[－2，＋∞)B．[－1，＋∞)C．(－∞，－1]D．(－∞，－2](2)已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域为()A．[9,81]B．[3,9]C．[1,9]D．[1，＋∞)【解析】(1)由题意得132x－1－27≥0，所以132x－1≥27，即132x－1≥13－3，又指数函数y＝13x为R上的单调减函数，所以2x－1≤－3，解得x≤－1.(2)由f(x)的图象过点(2,1)可知b＝2，由f(x)＝3x－2在[2,4]上是增函数，可知f(x)min＝f(2)＝1，f(x)max＝f(4)＝9，可知C正确．【答案】(1)C(2)C(1)首先根式有意义，然后根据函数的单调性解指数不等式．(2)根据函数的单调性求值域．方法归纳(1)对于y＝af(x)这类函数，①定义域是指使f(x)有意义的x的取值范围．②值域问题，应分以下两步求解：ⅰ由定义域求出u＝f(x)的值域；ⅱ利用指数函数y＝au的单调性或利用图象求得此函数的值域．(2)对于y＝(ax)2＋b·ax＋c这类函数，①定义域是R.②值域可以分以下两步求解：ⅰ设t＝ax，求出t的范围；ⅱ利用二次函数y＝t2＋bt＋c的配方法求函数的值域．-7-跟踪训练3(1)求函数y＝13x－2的定义域与值域．(2)函数f(x)＝ax(a0，a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a2，求a.解析：(1)由x－2≥0，得x≥2，所以定义域为{x|x≥2}．当x≥2时，x－2≥0，又因为0131，所以y＝13x－2的值域为{y|0y≤1}．(2)①若a＞1，则f(x)在[1,2]上单调递增，最大值为a2，最小值为a，所以a2－a＝a2，即a＝32或a＝0(舍去)．②若0＜a＜1，则f(x)在[1,2]上单调递减，最大值为a，最小值为a2，所以a－a2＝a2，即a＝12或a＝0(舍去)．综上所述，a的值为12或32.(1)偶次根式被开方数大于等于0.(2)先判断函数单调性，再求最值.[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．若函数f(x)＝12a－3·ax是指数函数，则f12的值为()A．2B．－2C．－22D．22解析：∵函数f(x)是指数函数，∴12a－3＝1，∴a＝8.∴f(x)＝8x，f12＝812＝22.答案：D-8-2．在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝12x的图象之间的关系是()A．关于y轴对称B．关于x轴对称C．关于原点对称D．关于直线y＝x对称解析：由作出两函数图象可知，两函数图象关于y轴对称，故选A.答案：A3．当x∈[－1,1]时，函数f(x)＝3x－2的值域是()A.1，53B．[－1,1]C.－53，1D．[0,1]解析：因为指数函数y＝3x在区间[－1,1]上是增函数，所以3－1≤3x≤31，于是3－1－2≤3x－2≤31－2，即－53≤f(x)≤1.故选C.答案：C4．如果指数函数f(x)＝(a－1)x是R上的单调减函数，那么a的取值范围是()A．a2B．a2C．1a2D．0a1解析：由题意知0a－11，即1a2.答案：C5．在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝ax与g(x)＝ax的图象可能是()解析：需要对a讨论：①当a1时，f(x)＝ax过原点且斜率大于1，g(x)＝ax是递增的；②当0a1时，f(x)＝ax过原点且斜率小于1，g(x)＝ax是减函数，显然B正确．答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)6．若指数函数y＝f(x)的图象经过点－2，116，则f－32＝________.-9-解析：设f(x)＝ax(a0且a≠1)．因为f(x)过点－2，116，所以116＝a－2，所以a＝4.所以f(x)＝4x，所以f－32＝4－32＝18.答案：187．函数f(x)＝1－ex的值域为________．解析：由1－ex≥0得，ex≤1，故函数f(x)的定义域为{x|x≤0}，所以0ex≤1，－1≤－ex0,0≤1－ex1，函数f(x)的值域为[0,1)．答案：[0,1)8．已知函数f(x)＝4＋ax－1(a0且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．解析：令x－1＝0，得x＝1，此时f(1)＝5.所以函数f(x)＝4＋ax－1(a0且a≠1)的图象恒过定点P(1,5)．答案：(1,5)三、解答题(每小题10分，共20分)9．设f(x)＝3x，g(x)＝13x.(1)在同一坐标系中作出f(x)，g(x)的图象；(2)计算f(1)与g(－1)，f(π)与g(－π)，f(m)与g(－m)的值，从中你能得到什么结论？解析：(1)函数f(x)与g(x)的图象如图所示：(2)f(1)＝31＝3，g(－1)＝13－1＝3；f(π)＝3π，g(－π)＝13－π＝3π；f(m)＝3m，g(－m)＝13－m＝3m.-10-从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称．10．求下列函数的定义域和值域：(1)y＝21x－1；(2)y＝13222.x－解析：(1)要使y＝21x－1有意义，需x≠0，则21x≠1；故21x－1－1且21x－1≠0，故函数y＝21x－1的定义域为{x|x≠0}，函数的值域为(－1,0)∪(0，＋∞)．(2)函数y＝13222.x－的定义域为实数集R，由于2x2≥0，则2x2－2≥－2.故013222.x－≤9