2019-2020学年高中数学 第二章 平面向量 2.3.4 平面向量共线的坐标表示学案（含解析）新

-1-2.3.4平面向量共线的坐标表示两向量平行的条件(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如果向量b不平行于坐标轴，即x2≠0，y2≠0，则a∥b⇔x1x2＝y1y2.用语言可以表述为：两个向量平行的条件是相应坐标成比例．状元随笔已知a→＝(x1，y1)，b→＝(x2，y2)，(1)当b→≠0时，a→＝λb→.这是几何运算，体现了向量a→与b→的长度及方向之间的关系．(2)x1y2－x2y1＝0.这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征．(3)当x2y2≠0时，x1x2＝y1y2，即两向量的对应坐标成比例．通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．[小试身手]1．判断下列命题是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)设a＝(x1y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b等价于x1x2＝y1y2.()(2)向量(1,2)与向量(4,8)共线．()(3)向量(2,3)与向量(－4，－6)反向．()答案：(1)×(2)√(3)√2．下列各组向量相互平行的是()A．a＝(－1,2)，b＝(3,5)B．a＝(1,2)，b＝(2,1)C．a＝(2，－1)，b＝(3,4)D．a＝(－2,1)，b＝(4，－2)解析：D中，b＝－2a.答案：D3．已知a＝(－6,2)，b＝(m，－3)，且a∥b，则m＝()-2-A．－9B．9C．3D．－3解析：因为a＝(－6,2)，b＝(m，－3)，若a∥b，则－6×(－3)－2m＝0，解得m＝9.答案：B4．已知A(1,2)，B(4,5)．若AP→＝2PB→，则点P的坐标为________．解析：设P(x，y)，所以AP→＝(x－1，y－2)，PB→＝(4－x,5－y)，又AP→＝2PB→，所以(x－1，y－2)＝2(4－x,5－y)，即x－1＝24－xy－2＝25－y解得x＝3，y＝4.答案：(3,4)类型一向量共线的判定例1(1)下列各对向量中，共线的是()A.a＝(2,3)，b＝(3，－2)B．a＝(2,3)，b＝(4，－6)C．a＝(2，－1)，b＝(1，2)D．a＝(1，2)，b＝(2，2)(2)已知点A(－1，－1)，B(1,3)，C(1,5)，D(2,7)，向量AB→与CD→平行吗？直线AB与直线CD平行吗？【解析】(1)由向量共线的充要条件可知：非零向量a与b共线，当且仅当存在唯一实数λ，使得b＝λa.而只有D满足：因为a＝(1，2)，b＝(2，2)，所以b＝2a.(2)因为AB→＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2,4)，CD→＝(2－1,7－5)＝(1,2)，因为2×2－1×4＝0，所以AB→∥CD→.又AC→＝(1－(－1)，5－(－1))＝(2,6)，AB→＝(2,4)，2×4－2×6≠0，-3-所以AC→与AB→不平行．所以A，B，C不共线，AB与CD不重合．所以直线AB与CD平行．【答案】(1)D(2)见解析(1)向量是否共线，利用向量共线的坐标表示或b→＝λa→验证．(2)判断AB→∥CD→，只要把点的坐标代入公式x1y2－x2y1＝0，看是否成立．方法归纳向量共线的判定方法跟踪训练1下列各组向量中，共线的是()A.a＝(－2,3)，b＝(4,6)B．a＝(2,3)，b＝(3,2)C．a＝(1，－2)，b＝(7,14)D．a＝(－3,2)，b＝(6，－4)解析：由两向量共线的坐标表示知，对于D，(－3)×(－4)－2×6＝0，所以共线，其他均不满足．答案：Da→(x1，y1)，b→(x2，y2)，若x1y2－x2y1＝0，则a→，b→共线．类型二三点共线问题例2设向量OA→＝(k,12)，OB→＝(4,5)，OC→＝(10，k)，求当k为何值时，A，B，C三点共线．【解析】方法一∵A，B，C三点共线，∴存在实数λ，使得AB→＝λAC→.-4-∵AB→＝OB→－OA→＝(4－k，－7)，AC→＝OC→－OA→＝(10－k，k－12)，∴(4－k，－7)＝λ(10－k，k－12)，即4－k10－k－7k－12解得k＝－2或k＝11.方法二由题意知AB→，AC→共线．∵AB→＝OB→－OA→＝(4－k，－7)，AC→＝OC→－OA→＝(10－k，k－12)，∴(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0，∴k2－9k－22＝0，解得k＝－2或k＝11.方法一由已知求AB→、AC→，利用AB→＝λAC→，求k.方法二AB→与AC→共线，则x1y2－x2y1＝0，求k.方法归纳判断向量(或三点)共线的三个步骤跟踪训练2已知OA→＝(3,4)，OB→＝(7,12)，OC→＝(9,16)，求证点A，B，C共线．证明：由题意知AB→＝OB→－OA→＝(4,8)，AC→＝OC→－OA→＝(6,12)，所以AC→＝32AB→，即AB→与AC→共线．又因为AB→与AC→有公共点A，所以点A，B，C共线．由已知求AB→、AC→，若AB→＝λAC→，则A、B、C共线．类型三向量共线的应用例3如图所示，已知△AOB中，A(0,5)，O(0,0)，B(4,3)，OC→＝14OA→，OD→＝12OB→，AD与BC相交于点M，求点M的坐标．-5-【解析】∵OC→＝14OA→＝14(0,5)＝0，54，∴C(0，54)．∵OD→＝12OB→＝12(4,3)＝2，32，∴D2，32.设M(x，y)，则AM→＝(x，y－5)，AD→＝2－0，32－5＝2，－72.∵AM→∥AD→，∴－72x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝20.①又CM→＝x，y－54，CB→＝4，74，∵CM→∥CB→，∴74x－4y－54＝0，即7x－16y＝－20.②联立①②解得x＝127，y＝2，故点M的坐标为127，2.先求C、D坐标，设出M(x，y)，利用AM→与AD→共线，求M.方法归纳应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤跟踪训练3若平行四边形ABCD的三个顶点为A(1,5)，B(－1，－2)，C(3，－1)，求顶点D的坐标．-6-解析：设D点的坐标为(x，y)，则AD→＝(x－1，y－5)，BC→＝(4,1)，由题意知AD→＝BC→，即(x－1，y－5)＝(4,1)，得x－1＝4，y－5＝1，解得x＝5，y＝6.因此，D点的坐标为(5,6).设D(x，y)，由已知得AD→＝BC→，求D.[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知A(2，－1)，B(3,1)，则与AB→平行且方向相反的向量a是()A．(2,1)B．(－6，－3)C．(－1,2)D．(－4，－8)解析：AB→＝(1,2)，向量(2,1)、(－6，－3)、(－1,2)与(1,2)不平行；(－4，－8)与(1,2)平行且方向相反．答案：D2．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝()A．(－2，－4)B．(－3，－6)C．(－4，－8)D．(－5，－10)解析：由a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，得1×m＝2×(－2)，解得m＝－4，所以b＝(－2，－4)，所以2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．答案：C3．已知向量a＝(1,2)，b＝(λ，1)，若(a＋2b)∥(2a－2b)，则λ的值等于()A.12B.13C．1D．2解析：a＋2b＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a－2b＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，由(a＋2b)∥(2a－2b)，可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝12，故选A.答案：A4．已知A(1，－3)，B8，12，且A，B，C三点共线，则点C的坐标可以是()-7-A．(－9,1)B．(9，－1)C．(9,1)D．(－9，－1)解析：设点C的坐标是(x，y)，因为A，B，C三点共线，所以AB→∥AC→.因为AB→＝8，12－(1，－3)＝7，72，AC→＝(x，y)－(1，－3)＝(x－1，y＋3)，所以7(y＋3)－72(x－1)＝0，整理得x－2y＝7，经检验可知点(9,1)符合要求，故选C.答案：C5．已知向量OA→＝(3，－4)，OB→＝(6，－3)，OC→＝(2m，m＋1)，若AB→∥OC→，则实数m的值为()A.35B．－35C．3D．－3解析：向量OA→＝(3，－4)，OB→＝(6，－3)，∴AB→＝(3,1)，∵OC→＝(2m，m＋1)，AB→∥OC→，∴3m＋3＝2m，解得m＝－3，故选D.答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知向量a＝(3x－1,4)与b＝(1,2)共线，则实数x的值为________．解析：因为向量a＝(3x－1,4)与b＝(1,2)共线，所以2(3x－1)－4×1＝0，解得x＝1.答案：17．已知A(2,1)，B(0,2)，C(－2,1)，O(0,0)，给出下列结论：①直线OC与直线BA平行；②AB→＋BC→＝CA→；③OA→＋OC→＝OB→；-8-④AC→＝OB→－2OA→.其中，正确结论的序号为________．解析：①因为OC→＝(－2,1)，BA→＝(2，－1)，所以OC→＝－BA→，又直线OC，BA不重合，所以直线OC∥BA，所以①正确；②因为AB→＋BC→＝AC→≠CA→，所以②错误；③因为OA→＋OC→＝(0,2)＝OB→，所以③正确；④因为AC→＝(－4,0)，OB→－2OA→＝(0,2)－2(2,1)＝(－4,0)，所以④正确．答案：①③④8．已知向量a＝(1,2)，b＝(1，λ)，c＝(3,4)．若a＋b与c共线，则实数λ＝________.解析：因为a＋b＝(1,2)＋(1，λ)＝(2,2＋λ)，所以根据a＋b与c共线得2×4－3×(2＋λ)＝0，解得λ＝23.答案：23三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知a＝(x,1)，b＝(4，x)，a与b共线且方向相同，求x.解析：∵a＝(x,1)，b＝(4，x)，a∥b.∴x2－4＝0，解得x1＝2，x2＝－2.当x＝2时，a＝(2,1)，b＝(4,2)，a与b共线且方向相同；当x＝－2时，a＝(－2,1)，b＝(4，－2)，a与b共线且方向相反．∴x＝2.10．已知A，B，C三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且AE→＝13AC→，BF→＝13BC→，求证：EF→∥AB→.证明：设E(x1，y1)，F(x2，y2)，依题意有AC→＝(2,2)，BC→＝(－2,3)，AB→＝(4，－1)．∵AE→＝13AC→，∴AE→＝23，23，∵BF→＝13BC→，∴BF→＝－23，1.∵AE→＝(x1＋1，y1)＝23，23，∴E－13，23，∵BF→＝(x2－3，y2＋1)＝－23，1，∴F73，0，-9-∴EF→＝83，－23.又∵4×－23－83×(－1)＝0，∴EF→∥AB→.[能力提升](20分钟，40分)11．已知向量a＝(m,1)，b＝(m2,2)．若存在λ∈R，使得a＋λb＝0，则m＝()A．0B．2C．0或2D．0或－2解析：方法一∵a＝(m,1)，b＝(m2,2)，a＋λb＝0，∴(m＋λm2,1＋2λ)＝(0,0)，即m＋λm2＝0，1＋2λ＝0，∴λ＝－12，m＝0或2，故选C.方法二由a＋λb＝0，知a＝－λb，故a∥b，所以2m＝m2，解得m＝0或2.答案：C12．已知向量a＝(1,2)，写出一个与a共线的非零向量的坐标________．解析：向量a＝(1,2)，与a共线的非零向量的纵坐标为横坐标的2倍，例如(2,4)