2019-2020学年高中数学 第三章 函数的应用 3.1.2 用二分法求方程的近似解学案（含解析）

-1-3.1.2用二分法求方程的近似解课标要点课标要点学考要求高考要求1.二分法aa2.利用二分法求方程的近似解aa知识导图学法指导1.明确二分法的适用条件：图象在零点附近连续，且该零点为变号零点．2．在求方程近似解时，先利用函数图象求出解的初始区间，再列表逼近零点，注意精确度、初始区间对方程近似解的影响.知识点用二分法求方程的近似解1．二分法对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．二分就是将所给区间平均分成两部分，通过不断逼近的办法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．2．给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步：确定闭区间[a，b]，验证f(a)·f(b)0，给定精确度ε.第二步：求区间(a，b)的中点c.第三步：计算f(c)．-2-(1)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；(2)若f(a)·f(c)0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；(3)若f(c)·f(b)0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．第四步：判断是否达到精确度ε，即若|a－b|ε，则得到零点近似值a(或b)，否则重复第二步至第四步．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)所有函数的零点都可以用二分法来求．()(2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求其零点．()(3)精确度ε就是近似值．()答案：(1)×(2)×(3)×2．以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是()解析：根据二分法的基本方法，函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)·f(b)0，即函数的零点是变号零点，才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值．对各图象分析可知，选项A、B、D都符合条件，而选项C不符合，因为图象在零点两侧函数值不异号，因此不能用二分法求函数零点的近似值．答案：C3．在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)0，f(0.72)0，f(0.68)0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为()A．0.6B．0.75C．0.7D．0.8解析：已知f(0.64)0，f(0.72)0，则函数f(x)的零点的初始区间为[0.64,0.72]．又0.68＝0.64＋0.722，且f(0.68)0，所以零点在区间[0.68,0.72]上，因为|0.68－0.72|＝0.040.1，因此所求函数的一个正实数零点的近似值约为0.7，故选C.-3-答案：C4．已知函数y＝f(x)在区间(2,4)上连续，验证f(2)·f(4)0，取区间(2,4)的中点x1＝2＋42＝3，计算得f(2)·f(x1)0，则此时零点所在的区间为________．解析：∵f(2)·f(3)0，∴零点在区间(2,3)内．答案：(2,3)类型一二分法概念的理解例1(1)下列函数中，必须用二分法求其零点的是()A．y＝x＋7B．y＝5x－1C．y＝log3xD．y＝12x－x(2)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是()【解析】(1)A×解方程x＋7＝0，得x＝－7B×解方程5x－1＝0，得x＝0C×解方程log3x＝0，得x＝1D√无法通过方程12x－x＝0得到零点(2)利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号．在B中，不满足f(a)·f(b)0，不能用二分法求零点，由于A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．【答案】(1)D(2)B(1)在无法通过解方程f(x)＝0求出方程根的情况下，需用二分法求函数的零点．(2)可以用二分法求出的零点左右函数值异号．方法归纳二分法的适用条件判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．-4-跟踪训练1用二分法求方程2x＋3x－7＝0在区间[1,3]内的根，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是________．解析：设f(x)＝2x＋3x－7，f(1)＝2＋3－7＝－20，f(3)＝100，f(2)＝30，f(x)零点所在的区间为(1,2)，所以方程2x＋3x－7＝0有根的区间是(1,2)．答案：(1,2)先构建函数f(x)＝2x＋3x－7，再判断f(1)，f(2)，f(3)的符号，寻找函数值与f(2)异号的自变量．类型二用二分法求函数零点的近似值例2用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零点．(精确度0.01)【解析】经计算f(1)0，f(1.5)0，所以函数在[1,1.5]内存在零点x0.取(1,1.5)的中点x1＝1.25，经计算f(1.25)0，因为f(1.5)·f(1.25)0，所以x0∈(1.25,1.5)，如此继续下去，如下表：区间中点值中点函数近似值(1,1.5)1.25－0.30(1.25,1.5)1.3750.22(1.25,1.375)1.3125－0.05(1.3125,1.375)1.343750.08(1.3125,1.34375)1.3281250.01(1.3125,1.328125)1.3203125－0.02因为|1.328125－1.3203125|＝0.00781250.01，所以函数f(x)＝x3－x－1精确度为0.01的一个近似零点可取为1.328125.方程x3－x－1＝0的正解对应函数f(x)＝x3－x－1的图象与x轴正半轴交点的横坐标，确定出解的初始区间，利用二分法求出近似解．方法归纳(1)用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则①需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成)．②取区间端点的平均数c，计算f(c)，确定有解区间是[m，c]还是[c，n]，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．(2)二分法求函数零点步骤的记忆口诀定区间，找中点，中值计算两边看．-5-同号丢，异号算，零点落在异号间．重复做，何时止，精确度来把关口．跟踪训练2利用计算器求方程x2－2x－1＝0的正解的近似值(精确度0.1)．【解析】设f(x)＝x2－2x－1.∵f(2)＝－10，f(3)＝20，又f(x)在(2,3)内递增，∴在区间(2,3)内，方程x2－2x－1＝0有唯一实数根，记为x0.取区间(2,3)的中点x1＝2.5，∵f(2.5)＝0.250，∴x0∈(2,2.5)．再取区间(2,2.5)的中点x2＝2.25，∵f(2.25)＝－0.43750，∴x0∈(2.25,2.5)．同理可得，x0∈(2.375,2.5)，x0∈(2.375,2.4375)．∵|2.375－2.4375|＝0.06250.1，故方程x2－2x－1＝0的一个精确度为0.1的近似正解可取为2.4375.本题用求根公式可以求得x1＝1＋2，x2＝1－2，取精确到0.1的近似值是x1≈2.4，x2≈－0.4.这与用二分法所得结果相同.[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．用二分法求如图所示函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是()A．x1B．x2C．x3D．x4解析：观察图象可知：零点x3的附近两边的函数值都为负值，所以零点x3不能用二分法求出．答案：C2．下列关于函数y＝f(x)，x∈[a，b]的叙述中，正确的个数为()①若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则(x0,0)是f(x)的一个零点；②若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可用二分法求x0的近似值；③函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点；-6-④用二分法求方程的根时，得到的都是近似值．A．0B．1C．3D．4解析：①中x0∈[a，b]且f(x0)＝0，所以x0是f(x)的一个零点，而不是(x0,0)，故①错误；②由于x0两侧函数值不一定异号，故②错误；③方程f(x)＝0的根一定是函数f(x)的零点，故③错误；④用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，故④错误．故选A.答案：A3．用二分法研究函数f(x)＝x5＋8x3－1的零点时，第一次经过计算得f(0)0，f(0.5)0，则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为()A．(0,0.5)，f(0.125)B．(0.5,1)，f(0.875)C．(0.5,1)，f(0.75)D．(0,0.5)，f(0.25)解析：∵f(x)＝x5＋8x3－1，f(0)0，f(0.5)0，∴f(0)·f(0.5)0，∴其中一个零点所在的区间为(0,0.5)，第二次应计算的函数值应为f(0.25)，故选D.答案：D4．已知图象连续不断的函数y＝f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点(精确度0.01)的近似值，则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为()A．3B．4C．5D．6解析：由0.12n0.01，得2n10，所以n的最小值为4.故选B.答案：B5．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：f(1)＝－2f(1.5)＝0.625f(1.25)＝－0.984f(1.375)＝－0.260f(1.438)＝0.165f(1.4065)＝－0.052那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确到0.1)为()A．1.2B．1.3C．1.4D．1.5解析：由表知f(1.438)0，f(1.4065)0且在[1.4065，1.438]内每一个数若精确到0.1都是1.4，则方程的近似根为1.4.答案：C-7-二、填空题(每小题5分，共15分)6．用二分法求函数f(x)在区间[0,2]上零点的近似解，若f(0)·f(2)0，取区间中点x1＝1，计算得f(0)·f(x1)0，则此时可以判定零点x0∈________(填区间)．解析：由二分法的定义，根据f(0)f(2)0，f(0)·f(x1)0，故零点所在区间可以为(0，x1)．答案：(0，x1)7．方程3x＋m＝0的根在(－1,0)内，则m的取值范围为________．解析：由题意知只要满足31m03×0＋m0，即可解得0m3.答案：(0,3)8．已知二次函数f(x)＝x2－x－6在区间[1,4]上的图象是一条连续的曲线，且f(1)＝－60，f(4)＝60，由函数零点的性质可知函数在[1,4]内有零点，用二分法求解时，取(1,4)的中点a，则f(a)＝________.解析：显然(1,4)的中点为2.5，则f(a)＝f(2.5)＝2.52－2.5－6＝－2.25.答案：－2.25三、解答题(每小题10分，共20分)9．用二分法求方程x2－5＝0的一个近似正解．(精确度为0.1)解析：令f(x)＝x2－5，因为f(2.2)＝－0.160，f(2.4)＝0.760，所以f(2.2)·f(2.4)0，即这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0，取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，f(2.3)＝0.29，因为f(2.2)·f(2.3)0，所以x0∈(2.2,2.3)，再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，f(2.25)＝0.0625，因为f(2.2)·f(2.25)0，所以x0∈(2.2,2.25)，由于|2.25－2.2|＝0.050.1，所以原方程的近似正解可取2.25.10．用二分法求方程lnx＝1x在[1,2]上的近似解，取中点c＝1.5，求下一个有根区间．解析：令f(x)＝lnx－1x，f(1)＝－10，f(2)＝ln2－12＝ln2eln1＝0，f(1.5)＝ln1.5