2019-2020学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.2.1 函数概念学案（含解析）新人教A版

-1-1．2.1函数概念课标要点课标要点学考要求高考要求1.函数的概念bb2.函数的定义域bb3.函数的值bb4.区间aa知识导图学法指导1.结合实例加深对函数概念的理解，要抓住定义中的关键字、词，认清“函数”到底指的是什么，由哪些要素组成．2．本节的重点是理解函数的定义，会求简单函数的定义域，难点是理解函数y＝f(x)的含义，求函数的值域.知识点一函数的概念1．函数的定义设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)．2．函数的定义域与值域函数y＝f(x)中，x叫自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．,-2-对函数概念的3点说明(1)当A，B为非空实数集时，符号“f：A→B”表示A到B的一个函数．(2)集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．(3)符号“f”它表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．知识点二函数相等如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，就称这两个函数相等．知识点三区间的概念1．区间的几何表示定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|axb}开区间(a，b){x|a≤xb}半开半闭区间[a，b){x|ax≤b}半开半闭区间(a，b]2.实数集R的区间表示实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”；“－∞”读作“负无穷大”；“＋∞”读作“正无穷大”．3．无穷大的几何表示定义符号数轴表示{x|x≥a}[a，＋∞){x|xa}(a，＋∞){x|x≤b}(－∞，b]{x|xb}(－∞，b)关于无穷大的2点说明(1)“∞”是一个符号，而不是一个数．(2)以“－∞”或“＋∞”为端点时，区间这一端必须是小括号．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)区间表示数集，数集一定能用区间表示．()-3-(2)数集{x|x≥2}可用区间表示为[2，＋∞]．()(3)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了．()(4)函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应．()(5)函数的定义域和值域一定是无限集合．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×2．函数f(x)＝x－1x－2的定义域为()A．(1，＋∞)B．[1，＋∞)C．[1,2)D．[1,2)∪(2，＋∞)解析：使函数f(x)＝x－1x－2有意义，则x－1≥0，x－2≠0，即x≥1，且x≠2.所以函数的定义域为{x|x≥1且x≠2}．故选D.答案：D3．下列各组函数表示同一函数的是()A．y＝x2－9x－3与y＝x＋3B．y＝x2－1与y＝x－1C．y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)D．y＝x＋1，x∈Z与y＝x－1，x∈Z解析：A中两函数定义域不同；B中两函数值域不同；D中两函数对应法则不同．答案：C4．用区间表示下列集合：(1)x－12≤x5＝________；(2){x|x1或2x≤3}＝________.解析：(1)注意到包括不包括区间的端点与不等式含不含等号对应，则{x|－12≤x5}＝[－12，5)．(2)注意到集合中的“或”对应区间中的“∪”，则{x|x1或2x≤3}＝(－∞，1)∪(2,3]．答案：(1)－12，5(2)(－∞，1)∪(2,3]-4-类型一函数的定义例1根据函数的定义判断下列对应关系是否为从集合A到集合B的函数：(1)A＝{1,2,3}，B＝{7,8,9}，f(1)＝f(2)＝7，f(3)＝8；(2)A＝{1,2,3}，B＝{4,5,6}，对应关系如图所示；(3)A＝R，B＝{y|y0}，f：x→y＝|x|；(4)A＝Z，B＝{－1,1}，n为奇数时，f(n)＝－1，n为偶数时，f(n)＝1.【解析】对于集合A中的任意一个值，在集合B中都有唯一的值与之对应，因此(1)(4)中对应关系f是从集合A到集合B的一个函数．(2)集合A中的元素3在集合B中没有对应元素，且集合A中的元素2在集合B中有两个元素(5和6)与之对应，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数．(3)A中的元素0在B中没有对应元素，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数.1.从本题(1)可以看出函数f(x)的定义域是非空数集A，但值域不一定是非空数集B，也可以是集合B的子集．2．判断从集合A到集合B的对应是否为函数，一定要以函数的概念为准则，另外也要看A中的元素是否有意义，同时，一定要注意对特殊值的分析．方法归纳(1)判断一个集合A到集合B的对应关系是不是函数关系的方法：①A，B必须都是非空数集；②A中任意一个数在B中必须有并且是唯一的实数和它对应．[注意]A中元素无剩余，B中元素允许有剩余．(2)函数的定义中“任意一个x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”，而不能是“一对多”．跟踪训练1(1)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有()-5-A．0个B．1个C．2个D．3个(2)下列对应是否是函数？①x→3x，x≠0，x∈R；②x→y，其中y2＝x，x∈R，y∈R.解析：(1)图号正误原因①×x＝2时，在N中无元素与之对应，不满足任意性②√同时满足任意性与唯一性③×x＝2时，对应元素y＝3∉N，不满足任意性④×x＝1时，在N中有两个元素与之对应，不满足唯一性(2)①是函数．因为任取一个非零实数x，都有唯一确定的3x与之对应，符合函数定义．②不是函数．当x＝1时，y＝±1，即一个非零自然数x，对应两个y的值，不符合函数的概念．答案：(1)B(2)①是函数②不是函数①x∈[0,1]取不到[1,2]．③y∈[0,3]超出了N∈[0,2]范围．④任取一个x值，y有2个对应，不符合题意．关键是否符合函数定义．类型二求函数的定义域例2(1)函数f(x)＝x＋1x－1的定义域是()A．[－1,1)B．[－1,1)∪(1，＋∞)C．[－1，＋∞)D．(1，＋∞)(2)求下列函数的定义域．①y＝x＋2＋1x2－x－6；②y＝x－10|x|＋x.【解析】(1)由x＋1≥0，x－1≠0，解得x≥－1，且x≠1.-6-(2)①要使函数有意义，需满足x＋2≥0，x2－x－6≠0，即x≥－2，x≠－2且x≠3，得x－2且x≠3.所以所求函数的定义域为(－2,3)∪(3，＋∞)．②要使函数有意义，需满足x－1≠0，|x|＋x≠0，即x≠1，x0，所以x0且x≠1，所以所求函数的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)．【答案】(1)B(2)见解析(1)依据分式的分母不为0，二次根式的被开方数大于等于0，列不等式组求定义域．(2)依据分式的分母不为0，二次根式的被开方数大于等于0,0的0次幂没有意义，列不等式组求定义域．方法归纳求函数的定义域(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0.(2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．跟踪训练2求下列函数的定义域：(1)f(x)＝6x2－3x＋2；(2)f(x)＝x＋10|x|－x；(3)f(x)＝2x＋3－12－x＋1x.解析：(1)要使函数有意义，只需x2－3x＋2≠0，即x≠1且x≠2，-7-故函数的定义域为{x|x≠1且x≠2}．(2)因为00无意义，所以x＋1≠0，所以x≠－1.又|x|－x0，所以x0.所以定义域为(－∞，－1)∪(－1,0)．(3)要使函数有意义，则2x＋3≥0，2－x0，x≠0，解得－32≤x2，且x≠0.故定义域为－32，0∪(0,2)．(1)分母不为0(2)偶次根式被开方数≥0x＋10底数不为0(3)偶次根式被开方数≥0分母不为0类型三函数相等的判断例3试判断下列函数是否为同一函数．(1)f(x)＝x2－xx，g(x)＝x－1；(2)f(x)＝xx，g(x)＝xx；(3)f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2；(4)f(x)＝|x|，g(x)＝x2.【解析】序号是否相同原因(1)不同定义域不同，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为R(2)不同对应关系不同，f(x)＝1x，g(x)＝x(3)不同定义域相同，对应关系不同-8-(4)相同定义域和对应关系相同判断两个函数是否为同一函数，要看三要素是否对应相同．函数的值域可由定义域及对应关系来确定，因而只要判断定义域和对应关系是否对应相同即可．方法归纳判断函数相等的三个步骤和两个注意点(1)判断函数是否相等的三个步骤(2)两个注意点：①在化简解析式时，必须是等价变形；②与用哪个字母表示无关．跟踪训练3下列各组函数表示相等函数的是()A．f(x)＝x－2，g(x)＝x2－4x＋2B．f(x)＝|x|x，g(x)＝1C．f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1D．f(x)＝12，g(x)＝x－102解析：选项A中f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠－2}，故定义域不同，因此不是相等函数；选项B中f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为R，故定义域不同，因此不是相等函数；选项D中f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠1}，定义域不同，因此不是相等函数；而C只是表示变量的字母不一样，表示的函数是相等的．答案：C1.看定义域．2．看对应关系．类型四求函数的值域-9-例4求下列函数的值域．(1)y＝3－4x，x∈(－1,3];(2)y＝2xx＋1；(3)y＝x2－4x＋5，x∈{1,2,3};(4)y＝x2－4x＋5.【解析】(1)因为－1x≤3，所以－12≤－4x4，所以－9≤3－4x7，所以函数y＝3－4x，x∈(－1,3]的值域是[－9,7)．(2)因为y＝2xx＋1＝2x＋12x＋1＝2－2x＋1≠2，所以函数y＝2xx＋1的值域为{y|y∈R且y≠2}．(3)函数的定义域为{1,2,3}，当x＝1时，y＝12－4×1＋5＝2，当x＝2时，y＝22－4×2＋5＝1，当x＝3时，y＝32－4×3＋5＝2，所以这个函数的值域为{1,2}，(4)因为y＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1，x∈R时，(x－2)2＋1≥1，所以这个函数的值域为[1，＋∞).(1)用不等式的性质先由x∈(－1,3]求－4x的取值范围，再求3－4x的取值范围即为所求．(2)先分离常数将函数解析式变形，再求值域．(3)将自变量x＝1,2,3代入解析式求值，即可得值域．(4)先配方，然后根据任意实数的平方都是非负数求值域．方法归纳求函数值域的常用方法(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到．(2)配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法．(3)换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b＋cx＋d(其中a，b，c，d为常数，且ac≠0)型的函数常用换元法．(4)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．跟踪训练4求下列函数的值域：(1)y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4,5};(2)y＝x＋1；-10-(3)y＝1－x21＋x2；(4)y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)．解析：(1)将x＝1,2,3,4,5分别代入y＝2x＋1，计算得函数的值域为{3,5,7,9,11}．(2)因为x≥0，所以x＋1≥1，即所求函数的值域为