2019-2020学年高中数学 第一章 三角函数 1.3.1 诱导公式（一）学案（含解析）新人教A版

-1-1.3三角函数的诱导公式考试标准课标要点学考要求高考要求π±α与α的正弦、余弦、正切值的关系bbπ2±α与α的正弦、余弦值的关系bb知识导图学法指导1.熟练掌握相应角的终边上点的坐标的特点，如α与－α的终边关于x轴对称，则两角对应的终边上的点的坐标可分别写为(x，y)和(x，－y)．2．诱导公式的目的在于将任意角的三角函数化为锐角的三角函数．3．观察公式一至公式四的结构特征，可以将它们统一成一句话“函数名不变，符号看象限”．4．观察公式五和公式六的结构特征，可以将它们统一成一句话“函数名改变，符号看象限”．第1课时诱导公式(一)-2-状元随笔诱导公式一～四的理解(1)公式一～四中角α是任意角．(2)公式一概括为：终边相同的角的同名三角函数值相等．(3)公式一、二、三、四都叫诱导公式，它们可概括如下：①记忆方法：2kπ＋α，－α，π±α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括为“函数名不变，符号看象限”．②解释：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原函数名在本公式中角的终边所在象限是取正值还是负值，如sin(π＋α)，若α看成锐角，则π＋α的终边在第三象限，正弦在第三象限取负值，故sin(π＋α)＝－sinα.[小试身手]1．判断下列命题是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)-3-(1)点P(x，y)关于x轴的对称点是P′(－x，y)．()(2)诱导公式中的符号是由角α的象限决定的．()(3)诱导公式一、二、三、四函数的名称都不变．()答案：(1)×(2)×(3)√2．对于诱导公式中的角α，下列说法正确的是()A．α一定是锐角B．0≤α2πC．α一定是正角D．α是使公式有意义的任意角解析：诱导公式中的角α是使公式有意义的任意角．答案：D3．sin600°的值是()A.12B．－12C.32D．－32解析：sin600°＝sin(600°－720°)＝sin(－120°)＝－sin120°＝－sin60°＝－32.答案：D4．若sin(π＋α)＝－12，则sin(4π－α)的值是()A．－12B.12C．－32D.32解析：∵sin(π＋α)＝－12，∴sinα＝12，sin(4π－α)＝－sinα＝－12.答案：A类型一给角求值问题例1(1)sin43π·cos56π·tan－43π的值是()A.－343B.343-4-C．－34D.34(2)求下列三角函数式的值：①sin(－330°)·cos210°；②3sin(－1200°)·tan(－30°)－cos585°·tan(－1665°)．【解析】(1)sin43π·cos56π·tan－43π＝sinπ＋π3cosπ－π6tan－2π＋2π3＝－sinπ3·－cosπ6tanπ－π3＝－32·－32·(－3)＝－334.(2)①sin(－330°)·cos210°＝sin(30°－360°)cos(180°＋30°)＝sin30°·(－cos30°)＝12×－32＝－34.②3sin(－1200°)·tan(－30°)－cos585°·tan(－1665°)＝－3sin1200°·－33－cos(720°－135°)·tan(－9×180°－45°)＝sin(1080°＋120°)－cos135°·tan(－45°)＝32－－22×(－1)＝3－22.答案：(1)A(2)①－34②3－22负角化正角，大角化小角，直到化为锐角求值．方法归纳利用诱导公式解决给角求值问题的方法(1)“负化正”；(2)“大化小”，用公式一将角化为0°到360°间的角；(3)“小化锐”，用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；(4)“锐求值”，得到锐角的三角函数后求值．跟踪训练1(1)sin4π3＋tan7π6的值为()A.36B．－33-5-C．－36D.33(2)sin2120°＋cos180°＋tan45°－cos2(－330°)＋sin(－210°)＝________.解析：(1)原式＝－sinπ3＋tanπ6＝－32＋33＝－36.故选C.(2)原式＝sin260°＋(－1)＋1－cos230°＋sin30°＝322－322＋12＝12.答案：(1)C(2)12首先利用诱导公式把角化为锐角再求值．类型二已知三角函数值求相关角的三角函数值例2若sin(π＋α)＝12，α∈－π2，0，则tan(π－α)等于()A.－12B．－32C．－3D.33【解析】因为sin(π＋α)＝－sinα，根据条件得sinα＝－12，又α∈－π2，0，所以cosα＝1－sin2α＝32.所以tanα＝sinαcosα＝－13＝－33.所以tan(π－α)＝－tanα＝33.故选D.【答案】D将已知条件利用诱导公式化简，建立要求的因式与已知条件的联系从而求值．方法归纳解决条件求值问题的方法(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．跟踪训练2已知α为第二象限角，且sinα＝35，则tan(π＋α)的值是()-6-A.43B.34C．－43D．－34解析：因为sinα＝35且α为第二象限角，所以cosα＝－1－sin2α＝－45，所以tanα＝sinαcosα＝－34.所以tan(π＋α)＝tanα＝－34.故选D.答案：D先由正弦求余弦时，注意α的范围，最后利用诱导公式求值．类型三三角函数式的化简与证明例3化简与证明：(1)证明：sinsin2cossin3cossin＝－1；(2)化简：cos20°＋cos160°＋sin1866°－sin(－606°)．【解析】(1)证明左边＝－sinsincossincossinα＝－sinsincossincossinα＝－1.(2)原式＝cos20°－cos20°＋sin(5×360°＋66°)－sin(－2×360°＋114°)＝sin66°－sin114°＝sin66°－sin(180°－66°)＝sin66°－sin66°＝0.用诱导公式消,除角的差异→用同角三角函,数关系消除名,称差异→证明两边相等方法归纳利用诱导公式一～四化简应注意的问题(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；(2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变；(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切．跟踪训练3证明：sin2016cos2015sincos2cos2016sin2016＝tanα.-7-证明：sin2016cos2015sincos2cos2016sin2016＝sincossincosαcosαsinα＝tanα.状元随笔证明三角恒等式时，要针对恒等式左、右两边的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异.能用诱导公式的先用诱导公式将不同角化为相同角，再统一函数名称，从而实现左右统一．1.3.1[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．sin480°的值为()A.12B.32C．－12D．－32解析：sin480°＝sin(360°＋120°)＝sin120°＝sin(180°－60°)＝sin60°＝32.答案：B2．已知sin(π＋θ)＝45，则角θ的终边在()A．第一或第二象限B．第二或第三象限C．第一或第四象限D．第三或第四象限解析：∵sin(π＋θ)＝45＝－sinθ，∴sinθ0，结合三角函数的定义，可知角θ-8-的终边在第三或四象限，故选D.答案：D3．下列各式不正确的是()A．sin(α＋180°)＝－sinαB．cos(－α＋β)＝－cos(α－β)C．sin(－α－360°)＝－sinαD．cos(－α－β)＝cos(α＋β)解析：由诱导公式知cos(－α＋β)＝cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，故B不正确．答案：B4．若cos(π＋α)＝－12，32πα2π，则sin(2π＋α)等于()A.12B．±32C.32D．－32解析：由cos(π＋α)＝－12，得cosα＝12，故sin(2π＋α)＝sinα＝－1－cos2α＝－32(α为第四象限角)．答案：D5．给出下列各函数值：①sin(－1000°)；②cos(－2200°)；③tan(－10)；④sin7π10cosπtan17π9.其中符号为负的是()A．①B．②C．③D．④解析：sin(－1000°)＝sin80°0；cos(－2200°)＝cos(－40°)＝cos40°0；tan(－10)＝tan(3π－10)0；sin7π10cosπtan17π9＝－sin7π10tan17π9，∵sin7π100，tan17π90，∴原式0.-9-答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．求值：(1)cos29π6＝________；(2)tan(－225°)＝________.解析：(1)cos29π6＝cos4π＋5π6＝cos5π6＝cosπ－π6＝－cosπ6＝－32.(2)tan(－225°)＝tan(360°－225°)＝tan135°＝tan(180°－45°)＝－tan45°＝－1.答案：(1)－32(2)－17．若sin(－α)＝13，α∈－π2，π2，则cos(π＋α)＝________.解析：∵sin(－α)＝13，∴sinα＝－13.∵α∈－π2，π2，∴cosα＝1－－132＝223，∴cos(π＋α)＝－cosα＝－223.答案：－2238．化简：costan7sin＝________.解析：原式＝cosαtanα－sinα＝－sinαsinα＝－1.答案：－1三、解答题(每小题10分，共20分)9．求下列各三角函数值：(1)sin1200°；(2)cos476π；(3)sin－7π3；(4)tan(－855°)．解析：(1)sin1200°＝sin[120°＋3×360°]＝sin120°＝sin(180°－60°)＝sin60°＝32.(2)cos476π＝cos116π＋6π＝cos116π＝cos2π－π6＝cosπ6＝32.(3)sin－7π3＝－sin7π3＝－sin2π＋π3-10-＝－sinπ3＝－32.(4)tan(－855°)＝－tan855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan135°＝－tan(180°－45°)＝－tan(－45°)＝tan45°＝1.10．若cosα＝23，α是第四象限角，求sin2sin3cos3coscoscos4的值．解析：由已知cosα＝23，α是第四象限角得sinα＝－53，故sin2sin3cos3coscoscos4＝sinα－sinαcosα－cosα＋cos2α＝sin1－coscos1＋cos＝－sinαcosα＝52.[能力提升](20分钟，40分)11．已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋4，x∈R，且f(2019)＝3，则f(2020)的值为()A．3B．4C．5D．6解析：∵f(2019)＝asin(2019π＋α)＋bcos(2019π＋β)＋4＝3，∴asin(2019π＋α)＋bcos(2019π＋β)＝－1，∴f(2020)＝asin(2019π＋α＋π)＋bcos(2019π＋β＋π)＋4＝－asin(2019π＋α)－bcos(2019π＋β)＋4＝1＋4＝5.答案：C12．求值sin2018cos2019sincos2cos2018sin2018＝________.解析：si