2019年高考数学二轮复习 专题三 立体几何与空间向量 第2讲 直线与平面的位置关系梯度训练（含解析

-1-第2讲直线与平面的位置关系选题明细表知识点·方法巩固提高A巩固提高B位置关系判定1,2,5,91,3,4,9,10,11,15平行关系应用4,6,11,162,16垂直关系应用3,12,13,14,155,6,12,13综合应用7,8,10,177,8,14,17巩固提高A一、选择题1.下列命题正确的是(C)(A)两两相交的三条直线可确定一个平面(B)两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行(C)过平面外一点的直线与这个平面只能相交或平行(D)和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线解析:两两相交的三条直线可以交于一点,故A不正确;两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线也可以相交或异面,故B不正确;因为过平面外的一点的直线与平面最多只有一个公共点,所以C正确;和两条异面直线都相交的两条直线可以相交,如三棱锥内的一个侧面上的两条直线,故D不正确.故选C.2.设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,给出下列四个命题:①若m⊥α,n∥α,则m⊥n;②若α∥β,β∥γ,m⊥α,则m⊥γ;③若m∥α,n∥α,则m∥n;④若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β.其中正确命题的序号是(A)(A)①②(B)②③(C)③④(D)①②③④解析:在①中,由于n∥α,因而可在α内作直线b∥n.又因为m⊥α,所以m⊥b,所以m⊥n.①正-2-确;在②中,因为α∥β,β∥γ,所以α∥γ.又因为m⊥α,所以m⊥γ.②正确;在③中,m与n可以相交或异面.③错;在④中,α与β可以相交.④错.故选A.3.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1垂直底面A1B1C1,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC中点,则下列叙述正确的是(B)(A)CC1与B1E是异面直线(B)AE与B1C1是异面直线,且AE⊥B1C1(C)AC⊥平面ABB1A1(D)A1C1∥平面AB1E解析:在三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱AA1垂直底面A1B1C1,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC中点知,因为CC1与B1E在同一个侧面中,故CC1与B1E不是异面直线,故A错误;因为AE,B1C1为在两个平行面中且不平行的两条直线,故它们是异面直线,又底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC中点,故AE⊥B1C1,故B正确;由题意知,上底面ABC是一个正三角形,故不可能AC⊥平面ABB1A1,故C错误;因为A1C1所在的平面与平面AB1E相交,且A1C1与交线有公共点,故A1C1∥平面AB1E不正确,故D错误.故选B.4.在正方体ABCDA1B1C1D1中,过AC与BD1平行的平面必过(A)(A)DD1的中点(B)DD1的三等分点(C)D1C1的中点(D)A1D1的中点解析:如图,正方体中,由于AC与BD互相平分,因此题设所作平面过DD1的中点.故选A.5.正方体的一条对角线与正方体的棱可组成n对异面直线,则n等于(C)-3-(A)2(B)3(C)6(D)12解析:画出正方体,做出一条对角线,结合异面直线的定义,可以判断出有6对异面直线.故选C.6.已知空间四边形ABCD,M,N分别是AB,CD的中点,且AC=4,BD=6,则(A)(A)1MN5(B)2MN10(C)1≤MN≤5(D)2MN5解析:取BC的中点E,连接ME,NE,所以ME=2,NE=3,根据三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,所以1MN5.故选A.7.如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF相交的平面个数分别记为m,n,那么m+n等于(A)(A)8(B)9(C)10(D)11解析:根据线面平行的位置关系考虑,不妨设AB=CD,则将正四面体放在正方体的内部,使AB与CD重合,易得与CE相交的平面有4个.因在正四面体中,EF与CD异面且互相垂直,又因与AB互相垂直的正方体侧面有两个,所以EF与正方体六个侧面中的两个是平行关系,与另4个是相交关系,故m+n=8.8.如图,平面α⊥平面β,α∩β=直线l,A,C是α内不同的两点,B,D是β内不同的两点,且A,B,C,D∉直线l,M,N分别是线段AB,CD的中点,下列判断正确的是(B)-4-(A)当︱CD︱=2︱AB︱时,M,N两点不可能重合(B)M,N两点可能重合,但此时直线AC与l不可能相交(C)当AB与CD相交,直线AC平行于l时,直线BD可以与l相交(D)当AB,CD是异面直线时,直线MN可能与l平行解析:对于A选项,当︱CD︱=2︱AB︱时,若A,B,C,D四点共面,AC∥BD时,则M,N两点能重合,故A错误;对于B选项,若M,N两点可能重合,则AC∥BD,故AC∥l,此时直线AC与直线l不可能相交,故B正确;对于C选项,当AB与CD相交,直线AC平行于l时,直线BD可以与l平行,故C错误;对于D选项,当AB,CD是异面直线时,MN不可能与l平行,故D错误.故选B.二、填空题9.已知两条不重合的直线a,b和两个不重合的平面α,β,给出下列命题:①如果a∥α,b⊂α,那么a∥b;②如果α∥β,b⊂α,那么b∥β;③如果a⊥α,b⊂α,那么a⊥b;④如果α⊥β,b⊂α,那么b⊥β.上述结论中,正确结论的序号是(写出所有正确结论的序号).解析:由线面关系逐一考查所给的各个命题:①如果a∥α,b⊂α,那么不一定有a∥b,该命题错误;②如果α∥β,b⊂α,那么b∥β,该命题正确;③如果a⊥α,b⊂α,那么a⊥b,该命题正确;④如果α⊥β,b⊂α,那么不一定有b⊥β,该命题错误.综上,正确的结论为②③.答案:②③10.如图,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,给出下列结论:-5-①PB⊥AE;②平面ABC⊥平面PBC;③直线BC∥平面PAE;④∠PDA=45°;⑤直线PD与平面PAB所成角的余弦值为.其中正确的有(把所有正确的序号都填上).解析:对于①,由PA⊥平面ABC,AE⊂平面ABC,得PA⊥AE,又由正六边形的性质得AE⊥AB,PA∩AB=A,得AE⊥平面PAB,又PB⊂平面PAB,所以AE⊥PB,①正确;对于②,由平面PAB⊥平面ABC,所以平面ABC⊥平面PBC不成立,②错误;对于③,由正六边形的性质得BC∥AD,又AD⊂平面PAD,所以BC∥平面PAD,所以直线BC∥平面PAE也不成立,③错误;对于④,在Rt△PAD中,PA=AD=2AB,所以∠PDA=45°,所以④正确.⑤直线PD与平面PAB所成角的余弦值为,正确.答案:①④⑤11.如图,E,F,G分别是四面体ABCD的棱BC,CD,DA的中点,则此四面体与过E,F,G的截面平行的棱的条数是.解析:此四面体与过E,F,G的截面平行的棱为AC,BD,只有两条.答案:212.我们将一个四面体四个面中直角三角形的个数定义为此四面体的直度,在四面体ABCD中,AD⊥平面ABC,AC⊥BC,则四面体ABCD的直度为.解析:-6-如图,因为AD⊥平面ABC,所以△ADC,△ABD都是直角三角形;又AC⊥BC,则△ABC是直角三角形;又由题设可知BC⊥AD,BC⊥AC,AC∩AD=A,故BC⊥平面ACD,CD⊂平面ACD,故BC⊥CD⇒△BCD是直角三角形.答案:413.点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线BC1上运动,则下列四个命题:①三棱锥A-D1PC的体积不变;②A1P∥平面ACD1;③DP⊥BC1;④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正确的命题序号是.解析:对于①,容易证明AD1∥BC1,从而BC1∥平面AD1C,故BC1上任意一点到平面AD1C的距离均相等,所以以P为顶点,平面AD1C为底面,则三棱锥A-D1PC的体积不变;正确;对于②,连接A1B,A1C1容易证明A1C1∥AD1且相等,由①知:AD1∥BC1,所以平面BA1C1∥平面ACD1,从而由线面平行的定义可得;正确;对于③,若DP⊥BC1,又BC1⊥DC,则BC1⊥平面DPC,所以BC1⊥PC,当P不是BC1中点时不成立,则③错误;对于④,连接DB1,容易证明DB1⊥平面ACD1,从而由面面垂直的判定知正确.答案:①②④14.如图,60°的二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在二面角两个半平面内,且都垂直于AB,AC=BD=6,AB=8,则CD=.解析:由题意得,过点B作BE∥AC,且BE=AC=6,-7-如图所示,则∠DBE=60°,又BD=BE=6,所以△BDE为等边三角形,且四边形ABEC为矩形,即CE=AB且CE⊥平面BDE,而DE⊂平面BDE,所以CE⊥DE,由勾股定理得,CD===10.答案:1015.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是AB,A1B1的中点,P在AD上,若平面CMN⊥平面A1BP,则=.解析:画出图象如图所示,由图可知,要两个平面垂直,注意到BP⊥MN是恒成立的,则只需BP⊥CM就有BP⊥平面CMN,显然,当P为AD中点时,△ABP≌△BCM,∠PBA+∠CMB=,即BP⊥CM,从而BP⊥平面CMN,也即有平面CMN⊥平面A1BP,所以=2.答案:216.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=6,AB=3,AD=8,点M是棱AD的中点,N在棱AA1上,且满足AN=2NA1,P是侧面四边形ADD1A1内一动点(含边界),若C1P∥平面CMN,则线段C1P长度最小值是.解析:取A1D1的中点Q,过点Q在平面ADD1A1作MN的平行线交DD1于E,则易知平面C1QE∥平面CMN,-8-在△C1QE中作C1P⊥QE,则C1P==为所求.答案:三、解答题17.(2018·名校新高考研究联盟)如图,平行四边形PDCE垂直于梯形ABCD所在的平面,∠ADC=∠BAD=90°,∠PDC=120°,F为PA中点,PD=1,AB=AD=CD=1.(1)求证:AC∥平面DEF;(2)求直线BC与平面PAD所成角的余弦值.(1)证明:设PC与DE的交点为M,连接FM,因为F,M分别为PA,PC的中点,则FM∥AC,因为FM⊂平面DEF,AC⊄平面DEF,所以AC∥平面DEF.(2)解:法一(向量法)过点D在平面PDCE中作DQ⊥PE,交PE于点Q.由已知可得PQ=,以D为原点,分别以DA,DC,DQ所在的直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.如图所示,根据已知可得下列各点坐标.-9-D(0,0,0),P(0,-,),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0).求得平面PAD一个法向量n=(0,,1),=(-1,1,0)设直线BC与平面PAD所成角为θ,则sinθ=︱cosn,︱==.所以,直线BC与平面PAD所成角的余弦值为.法二取CD的中点G,连接AG,则AG∥BC,所以,直线AG与平面PAD所成角即为直线BC与平面PAD所成角.过点G作GH⊥PD于H,又AD⊥平面PCDE,所以AD⊥GH.PD∩AD=D.所以CH⊥平面PAD,则∠GAH即为所求的线面角,易求,GH=,AG=BC=,所以,sin∠GAH=.直线BC与平面PAD所成角的余弦值为.巩固提高B一、选择题1.设a,b是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列四个命题:①若a⊥b,a⊥α,b⊄α,则b∥α;②若a∥α,a⊥β,则α⊥β;-10-③若a⊥β,α⊥β,则a∥α或a⊂α;④若a⊥b,a⊥α,b⊥β,则α⊥β.其中正确命题的个数为(D)(A)1(B)2(C)3(D)4解析:根据与平面的法向量垂直的直线平行或在平面内,故①正确;②a∥α,a⊥β,则α内存在直线与a平行,可得α⊥β,故正确;③若a⊥β,α⊥β,则a平行α或a在平面α内,故正确;④若a⊥b,a⊥α,b⊥β,即两个平面的法向量垂直,则这两个平面垂直,故正确.故选D.2.“直线m与平面α内无数条直线平行”是“直线m∥平面α”的(B)(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件解析:由于没确定直线m是否在平面α内,所以充分性不成立.故选B.3.