2020版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第7讲 解三角形的应用举例教案 理（含解析）

1第7讲解三角形的应用举例基础知识整合1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线□01上方的角叫仰角，在水平线□02下方的角叫俯角(如图①)．2．方位角从正北方向线顺时针旋转到目标方向线的水平角．如B点方位角为α(如图②)．3．方向角相对于某一正方向的水平角，即从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线一般是指正北或正南方向，方向角小于90°)．如北偏东α，南偏西α.特别地，若目标方向线与指北或指南方向线成45°角称为西南方向、东北方向等．(1)北偏东α，即由□03指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)；(2)北偏西α，即由□04指北方向逆时针旋转α到达目标方向；(3)南偏西等其他方向角类似．4．坡角与坡度(1)坡角：□05坡面与水平面所成的二面角(如图④，角θ为坡角)．(2)坡度：□06坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．21．仰角与俯角是相对水平视线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的．2．“方位角”与“方向角”的区别：方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围是0，π2.1．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东10°D．南偏西10°答案B解析由题可知∠ABC＝50°，A，B，C位置如图．故选B.2．(2019·武汉模拟)海面上有A，B，C三个灯塔，AB＝10nmile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则BC＝()A．103nmileB.1063nmileC．52nmileD．56nmile答案D解析由题意可知，∠CAB＝60°，∠CBA＝75°，所以∠C＝45°，由正弦定理得10sin45°＝BCsin60°，所以BC＝56.3．(2019·厦门模拟)如图，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于()3A．10mB．53mC．5(3－1)mD．5(3＋1)m答案D解析直角三角形中，根据三角函数的定义得ABtan30°－ABtan45°＝10，解得AB＝5(3＋1)(m)．故选D.4．如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，且∠B与∠D互补，则AC的长为________km.答案7解析∵82＋52－2×8×5×cos(π－D)＝32＋52－2×3×5×cosD，∴cosD＝－12.∴AC＝49＝7(km)．5．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是________m.答案50解析设水柱高度是hm，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝3h，根据余弦定理得(3h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，即h2＋50h－5000＝0，即(h4－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50m.核心考向突破考向一测量距离问题例1(2019·江西赣州模拟)如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为()A．206海里B．406海里C．20(1＋3)海里D．40海里答案A解析由题意可知，∠BDC＝90°－45°＝45°，又∠BCD＝90°，∴BC＝CD＝40(海里)．在△ADC中，∠ADC＝105°，∠ACD＝90°－60°＝30°，∴∠DAC＝45°，由正弦定理可得AC＝40sin105°sin45°＝20(3＋1)(海里)．在△ABC中，由余弦定理得AB＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos60°＝206(海里)．故选A.触类旁通求距离问题的注意事项(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定的三角形中求解．确定用正弦定理还是余弦定理，如都可用，就选便于计算的定理.即时训练1.如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在岸边定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，试求AB的长．5解在△ACD中，已知CD＝a，∠ACD＝60°，∠ADC＝60°，所以AC＝a.①在△BCD中，由正弦定理可得BC＝asin105°sin45°＝3＋12a.②在△ABC中，已经求得AC和BC，又因为∠ACB＝30°，所以利用余弦定理可以求得A，B两点之间的距离为AB＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos30°＝22a.考向二测量高度问题例2(2019·湖北模拟)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.答案1006解析依题意有AB＝600，∠CAB＝30°，∠CBA＝180°－75°＝105°，∠DBC＝30°，DC⊥CB.∴∠ACB＝45°，在△ABC中，由ABsin∠ACB＝CBsin∠CAB，6得600sin45°＝CBsin30°，有CB＝3002，在Rt△BCD中，CD＝CB·tan30°＝1006，则此山的高度CD＝1006m.触类旁通处理高度问题的注意事项(1)在处理有关高度问题时，正确理解仰角、俯角是一个关键．在实际问题中，可能会遇到空间与平面地面同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错.注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题.即时训练2.要测底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，求电视塔的高度．解如图设电视塔AB高为x，则在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°，得BC＝x.在Rt△ADB中，∠ADB＝30°，∴BD＝3x.在△BDC中，由余弦定理，得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°.即(3x)2＝x2＋402－2·x·40·cos120°，解得x＝40，∴电视塔高为40米．考向三测量角度问题例3(2019·沈阳模拟)如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相7距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cosθ的值．解在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800⇒BC＝207.由正弦定理，得ABsin∠ACB＝BCsin∠BAC⇒sin∠ACB＝ABBC·sin∠BAC＝217.由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝277.由θ＝∠ACB＋30°，得cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30°＝2114.触类旁通解决测量角度问题的注意事项(1)首先应明确方位角或方向角的含义．分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步.将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用.即时训练3．(2019·山东泰安模拟)如图，A，B是海面上两个固定观测站，现位于B点南偏东45°且相距56海里的D处有一艘轮船发出求救信号．此时在A处观测到D位于其北偏东30°处，位于A北偏西30°且与A相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？8解由题意可得：BD＝56，AC＝203，∠ABD＝45°，∠BAD＝30°，∠CAD＝60°.在△ABD中，由正弦定理可得：ADsin∠ABD＝BDsin∠BAD，∴AD＝BDsin∠BAD·sin∠ABD＝56sin30°·sin45°＝103.在△ACD中，由余弦定理可得：CD2＝AC2＋AD2－2AC·ADcos∠CAD＝(203)2＋(103)2－2×203×103×12＝900.∴CD＝30.又救援船的速度为30海里/小时，所以救援船到达D点所需时间为1小时．