2020版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第6讲 正弦定理和余弦定理教案 理（含解析）

1第6讲正弦定理和余弦定理基础知识整合1．正弦定理asinA＝□01bsinB＝□02csinC＝2R，其中2R为△ABC外接圆的直径．变式：a＝□032RsinA，b＝□042RsinB，c＝□052RsinC.a∶b∶c＝□06sinA∶□07sinB∶□08sinC.2．余弦定理a2＝□09b2＋c2－2bccosA；b2＝□10a2＋c2－2accosB；c2＝□11a2＋b2－2abcosC.变式：cosA＝□12b2＋c2－a22bc；cosB＝□13a2＋c2－b22ac；cosC＝□14a2＋b2－c22ab.sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA.3．在△ABC中，已知a，b和A时，三角形解的情况24．三角形中常用的面积公式(1)S＝12ah(h表示边a上的高)．(2)S＝12bcsinA＝□2112acsinB＝□2212absinC.(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．31．三角形内角和定理在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：A＋B2＝π2－C2.2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC；(3)sinA＋B2＝cosC2；(4)cosA＋B2＝sinC2.3．三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.1．(2019·北京西城模拟)已知△ABC中，a＝1，b＝2，B＝45°，则A等于()A．150°B．90°C．60°D．30°答案D解析由正弦定理，得1sinA＝2sin45°，得sinA＝12.又ab，∴AB＝45°.∴A＝30°.故选D.2．(2019·广东广雅中学模拟)已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若3bcosC＝c(1－3cosB)，则sinC∶sinA＝()A．2∶3B．4∶3C．3∶1D．3∶2答案C解析由正弦定理得3sinBcosC＝sinC－3sinCcosB,3sin(B＋C)＝sinC，因为A＋B＋C＝π，所以B＋C＝π－A，所以3sinA＝sinC，所以sinC∶sinA＝3∶1，选C.3．在△ABC中，如果sinA＝2sinCcosB，那么这个三角形是()A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形答案C解析∵sinA＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，而sinA＝2sinCcosB，∴2sinCcosB＝sinBcosC＋cosBsinC，即sinCcosB＝sinBcosC，4∴sinBcosC－cosBsinC＝0＝sin(B－C)，又B，C是△ABC的内角，∴B＝C.故△ABC是等腰三角形．4．(2019·南昌模拟)在△ABC中，已知C＝π3，b＝4，△ABC的面积为23，则c＝()A．27B.7C．22D．23答案D解析由S＝12absinC＝2a×32＝23，解得a＝2，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝12，故c＝23.5．(2019·兰州市实战考试)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2＝ac，c＝2a，则cosC＝()A.24B．－24C.34D．－34答案B解析由题意得，b2＝ac＝2a2，b＝2a，所以cosC＝a2＋b2－c22ab＝a2＋2a2－4a22a×2a＝－24，故选B.6．(2018·浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝7，b＝2，A＝60°，则sinB＝________，c＝________.答案2173解析本小题考查正弦定理、余弦定理．由asinA＝bsinB得sinB＝basinA＝217，由a2＝b2＋c2－2bccosA，得c2－2c－3＝0，解得c＝3(负值舍去)．核心考向突破考向一利用正、余弦定理解三角形例1(1)(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中，cosC2＝55，BC＝1，AC＝5，则AB＝()A．42B.30C.29D．25答案A解析因为cosC＝2cos2C2－1＝2×552－1＝－35，所以c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋25－2×1×5×－35＝32，所以c＝42.选A.5(2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c－bc－a＝sinAsinC＋sinB，则B＝()A.π6B.π4C.π3D.3π4答案C解析因为c－bc－a＝sinAsinC＋sinB，所以c－bc－a＝ac＋b，即(c－b)(c＋b)＝a(c－a)，所以a2＋c2－b2＝ac，所以cosB＝12，又B∈(0，π)，所以B＝π3.触类旁通解三角形问题的技巧(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．（2）三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.即时训练1.(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.(1)求cos∠ADB；(2)若DC＝22，求BC.解(1)在△ABD中，由正弦定理，得BDsinA＝ABsin∠ADB.由题设知，5sin45°＝2sin∠ADB，所以sin∠ADB＝25.由题设知，∠ADB90°，所以cos∠ADB＝1－225＝235.(2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝25.在△BCD中，由余弦定理，得BC2＝BD2＋DC2－2BD×DC×cos∠BDC＝25＋8－2×5×22×25＝25.所以BC＝5.考向二利用正、余弦定理判断三角形形状例2(1)(2019·大连模拟)在△ABC中，若tanA＋tanB＋tanC0，则△ABC是()A．锐角三角形B．直角三角形6C．钝角三角形D．形状不确定答案A解析∵A＋B＋C＝π，A＋B＝π－C，tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC，∴tanA＋tanB1－tanA·tanB＝－tanC，∴tanA·tanB·tanC＝tanA＋tanB＋tanC0，∴tanA0，tanB0，tanC0，∴△ABC是锐角三角形．(2)(2018·山西太原模拟)在△ABC中，c－a2c＝sin2B2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形答案A解析由cosB＝1－2sin2B2得sin2B2＝1－cosB2，∴c－a2c＝1－cosB2，即cosB＝ac.解法一：由余弦定理得a2＋c2－b22ac＝ac，即a2＋c2－b2＝2a2，∴a2＋b2＝c2.∴△ABC为直角三角形，又无法判断两直角边是否相等．故选A.解法二：由正弦定理得cosB＝sinAsinC，又sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，∴cosBsinC＝sinBcosC＋cosBsinC，即sinBcosC＝0，又sinB≠0，∴cosC＝0，又角C为三角形的内角，∴C＝π2，∴△ABC为直角三角形，又无法判断两直角边是否相等．故选A.触类旁通判定三角形形状的两种常用途径(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断.提醒：在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件.另外，在变7形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响.即时训练2.(2019·陕西模拟)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定答案B解析∵bcosC＋ccosB＝asinA，由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sinA＝sin2A.又sinA0，∴sinA＝1，∴A＝π2，故△ABC为直角三角形．3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cbcosA，则△ABC为()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形答案A解析根据正弦定理得cb＝sinCsinBcosA，即sinCsinBcosA，∵A＋B＋C＝π，∴sinC＝sin(A＋B)sinBcosA，整理得sinAcosB0，又三角形中sinA0，∴cosB0，π2Bπ.∴△ABC为钝角三角形．考向三正、余弦定理的综合应用角度1.