2020版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第1讲 导数的概念及运算教案 理（含解析）新人教A

1第1讲导数的概念及运算基础知识整合1．导数的概念(1)f(x)在x＝x0处的导数就是f(x)在x＝x0处的□01瞬时变化率，记作：y′|x＝x0或f′(x0)，即f′(x0)＝limΔx→0＋－Δx.(2)当把上式中的x0看作变量x时，f′(x)即为f(x)的导函数，简称导数，即y′＝f′(x)＝□02limΔx→0＋－Δx.2．导数的几何意义函数f(x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f(x)在点□03P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k＝f′(x0)，切线方程为□04y－y0＝f′(x0)(x－x0)．3．基本初等函数的导数公式(1)C′＝□050(C为常数)；(2)(xn)′＝□06nxn－1(n∈Q*)；(3)(sinx)′＝□07cosx；(4)(cosx)′＝□08－sinx；(5)(ax)′＝□09axln_a；(6)(ex)′＝□10ex；(7)(logax)′＝1xlna；(8)(lnx)′＝□111x.4．导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝□12f′(x)±g′(x)．(2)[f(x)·g(x)]′＝□13f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．特别地：[C·f(x)]′＝□14Cf′(x)(C为常数)．(3)′＝□15－(g(x)≠0)．5．复合函数的导数设函数u＝φ(x)在点x处有导数u′＝φ′(x)，函数y＝f(u)在点x的对应点u处有导数y′＝f′(u)，则复合函数y＝f[φ(x)]在点x处也有导数y′x＝f′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．1．f′(x0)与x0的值有关，不同的x0，其导数值一般也不同．2．f′(x0)不一定为0，但[f(x0)]′一定为0.3．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．4．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．21．(2019·海南模拟)曲线y＝x2x－1在点(1,1)处的切线方程为()A．x－y－2＝0B．x＋y－2＝0C．x＋4y－5＝0D．x－4y－5＝0答案B解析y′＝2x－1－2x－＝－1－，当x＝1时，y′＝－1，所以切线方程是y－1＝－(x－1)，整理得x＋y－2＝0.故选B.2．函数f(x)＝x(2017＋lnx)，若f′(x0)＝2018，则x0的值为()A．e2B．1C．ln2D．e答案B解析f′(x)＝2017＋lnx＋x·1x＝2018＋lnx，故由f′(x0)＝2018，得2018＋lnx0＝2018，则lnx0＝0，解得x0＝1.故选B.3．若曲线y＝ex＋ax＋b在点(0,2)处的切线l与直线x＋3y＋1＝0垂直，则a＋b＝()A．3B．－1C．1D．－3答案A解析因为直线x＋3y＋1＝0的斜率为－13，所以切线l的斜率为3，即y′|x＝0＝e0＋a＝1＋a＝3，所以a＝2；又曲线过点(0,2)，所以e0＋b＝2，解得b＝1.故选A.4．(2019·河北质检)已知直线y＝kx是曲线y＝lnx的切线，则k的值是()A．eB．－eC.1eD．－1e答案C解析依题意，设直线y＝kx与曲线y＝lnx切于点(x0，kx0)，则有kx0＝lnx0，k＝1x0，由此得lnx0＝1，x0＝e，k＝1e.故选C.5．f(x)＝2x＋3x的图象在点(1，f(1))处的切线方程为________．答案x－y＋4＝0解析f′(x)＝－2x2＋3，f′(1)＝1，即切线的斜率为1，又f(1)＝5，即切点坐标为(1,5)，故切线方程为y－5＝x－1，即x－y＋4＝0.6．(2019·郑州模拟)直线x－2y＋m＝0与曲线y＝x相切，则切点的坐标为________．答案(1,1)3解析∵y＝x＝x12，∴y′＝12x－12，令y′＝12x－12＝12，则x＝1，则y＝1＝1，即切点坐标为(1,1)．核心考向突破考向一导数的基本运算例1求下列函数的导数：(1)y＝cosxex；(2)y＝xx2＋1x＋1x3；(3)y＝sin3x＋sin3x；(4)y＝1－.解(1)y′＝cosxex′＝－＝－sinx＋cosxex.(2)因为y＝x3＋1x2＋1，所以y′＝3x2－2x3.(3)y′＝(sin3x)′＋(sin3x)′＝3sin2xcosx＋3cos3x.(4)y′＝1－′＝[(2x－1)－3]′＝－3(2x－1)－4×2＝－6(2x－1)－4.触类旁通导数的运算方法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导．分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导.对数形式：先化为和、差的形式，再求导.根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导.三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导.复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导.即时训练1.求下列函数的导数：(1)y＝(3x2－4x)(2x＋1)；(2)y＝x2sinx；(3)y＝11－2x；(4)y＝lnxx2＋1.解(1)因为y＝(3x2－4x)(2x＋1)＝6x3＋3x2－8x2－4x＝6x3－5x2－4x，所以y′＝18x2－10x－4.(2)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.4(3)y′＝[(1－2x)－12]′＝－12(1－2x)－32×(－2)＝(1－2x)－32.(4)y′＝＋－＋＋＝1x＋－2xlnx＋＝x2＋1－2x2lnx＋.考向二导数的几何意义角度1求切线的方程例2(1)(2019·四川成都模拟)曲线y＝xsinx在点P(π，0)处的切线方程是()A．y＝－πx＋π2B．y＝πx＋π2C．y＝－πx－π2D．y＝πx－π2答案A解析因为y＝xsinx，所以y′＝sinx＋xcosx，在点P(π，0)处的切线斜率为k＝sinπ＋πcosπ＝－π，所以曲线y＝xsinx在点P(π，0)处的切线方程是y＝－π(x－π)＝－πx＋π2.故选A.(2)曲线y＝f(x)＝e2x＋1在点－12，1处的切线方程为________．答案2x－y＋2＝0解析∵f′(x)＝e2x＋1·(2x＋1)′＝2e2x＋1，∴f′－12＝2e0＝2，∴曲线y＝e2x＋1在点－12，1处的切线方程为y－1＝2x＋12，即2x－y＋2＝0.角度2求切点的坐标例3(1)(2019·陕西模拟)设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝1x(x0)上点P处的切线垂直，则点P的坐标为()A．(1,1)B．(－1，－1)C．(1，－1)D．(－1,1)答案A解析对y＝ex求导得y′＝ex，令x＝0，得曲线y＝ex在点(0,1)处的切线斜率为1，故曲线y＝1x(x0)上点P处的切线斜率为－1，由y′＝－1x2＝－1，得x＝1，则y＝1，所以点P的坐标为(1,1)．故选A.(2)(2018·江西模拟)若曲线y＝xlnx上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．答案(e，e)解析设点P(x0，y0)，∵y＝xlnx，∴y′＝lnx＋x·1x＝1＋lnx．∴曲线y＝xlnx5在点P处的切线斜率k＝1＋lnx0.又k＝2，∴1＋lnx0＝2，∴x0＝e，y0＝elne＝e.∴点P的坐标是(e，e)．角度3求公切线的方程例4(1)已知f(x)＝lnx，g(x)＝12x2＋mx＋72(m＜0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m的值为()A．－1B．－3C．－4D．－2答案D解析∵f′(x)＝1x，∴直线l的斜率为k＝f′(1)＝1，又f(1)＝0，∴切线l的方程为y＝x－1.g′(x)＝x＋m，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝12x20＋mx0＋72，m＜0，于是解得m＝－2.故选D.(2)若直线l与曲线y＝ex及y＝－14x2都相切，则直线l的方程为________．答案y＝x＋1解析设直线l与曲线y＝ex的切点为(x0，ex0)，直线l与曲线y＝－14x2的切点为x1，－x214，因为y＝ex在点(x0，ex0)处的切线的斜率为y′|x＝x0＝ex0，y＝－x24在点x1，－x214处的切线的斜率为y′|x＝x1＝－x2|x＝x1＝－x12，则直线l的方程可表示为y＝ex0x－x0ex0＋ex0或y＝－12x1x＋14x21，所以ex0＝－x12，－x0ex0＋ex0＝x214，所以ex0＝1－x0，解得x0＝0，所以直线l的方程为y＝x＋1.触类旁通(1)求曲线切线方程的步骤①求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率；②由点斜式方程求得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．求曲线fx，gx的公切线l的方程的步骤,①设点求切线，即分别设出两曲线的切点的坐标x0，fx0，x1，gx1，并分别求出两曲线的切线方程；,②建立方程组，即利用两曲线的切线重合，则两切线的斜率及在y轴上的截距都分别相等，得到关于参数x0，x1的方程组，解方程组，求出参数x0，x1的值；,③求切线方程，把所求参数的值代入曲线的切线方程中即可.6即时训练2.(2019·衡水调研)已知曲线y＝x22－3lnx的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为()A．3B．2C．1D.12答案A解析设切点坐标为(x0，y0)，且x00，由y′＝x－3x，得k＝x0－3x0＝2，∴x0＝3.故选A.3．曲线y＝1－2x＋2在点(－1，－1)处的切线方程为()A．y＝2x＋1B．y＝2x－1C．y＝－2x－3D．y＝－2x－2答案A解析∵y＝1－2x＋2＝xx＋2，∴y′＝x＋2－x＋＝2＋，y′|x＝－1＝2，∴曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2，∴所求切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.4．(2016·全国卷Ⅱ)若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________.答案1－ln2解析直线y＝kx＋b与曲线y＝lnx＋2，y＝ln(x＋1)均相切，设切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝lnx＋2得y′＝1x，由y＝ln(x＋1)得y′＝1x＋1，∴k＝1x1＝1x2＋1，∴x1＝1k，x2＝1k－1，∴y1＝－lnk＋2，y2＝－lnk.即A1k，－lnk＋2，B1k－1，－lnk，∵A，B在直线y＝kx＋b上，∴2－lnk＝k·1k＋b，－lnk＝k·1k－1＋b⇒b＝1－ln2，k＝2.考向三求参数的范围例5(1)(2019·沈阳模拟)直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值为()A．1B．2C．5D．－17答案A解析由题意可得3＝k＋1,3＝1＋a＋b，则k＝2.又曲线的导函数y′＝3x2＋a，所以3＋a＝2，解得a＝－1，b＝3，所以2a＋b＝1.故选A.(2)已知函数f(x)＝ex－mx＋1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y＝ex垂直的切线，则实数m的取值范围是________．答案1e，＋∞解析由题意知，方程f′(x)＝－1e有解，即ex－m＝－1e有解，即ex＝m－1e有解，故只要m－1e0，即m1e即可．故填1e，＋∞.触类旁通处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.即时训练5.已知函数f(x)＝ax2＋2blnx，