2020版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第1讲 空间几何体的结构及其三视图和直观图教案 理（含

1第1讲空间几何体的结构及其三视图和直观图基础知识整合1．简单几何体(1)简单旋转体的结构特征①圆柱可以由□01矩形绕其任一边旋转得到；②圆锥可以由直角三角形绕其□02直角边旋转得到；③圆台可以由直角梯形绕□03直角腰或等腰梯形绕□04上、下底中点连线旋转得到，也可由□05平行于圆锥底面的平面截圆锥得到；④球可以由半圆或圆绕□06直径旋转得到．(2)简单多面体的结构特征①棱柱的侧棱都□07平行且相等，上下底面是□08全等的多边形；②棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个□09公共点的三角形；③棱台可由□10平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面是□11相似多边形．2．直观图(1)画法：常用□12斜二测画法．(2)规则①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为□1345°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面□14垂直．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍□15平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度□16不变，平行于y轴的线段长度在直观图中□17变为原来的一半．3．三视图(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的□18正前方、□19正左方、□20正上方观察几何体画出的轮廓线．说明：正视图也称主视图，侧视图也称左视图．(2)三视图的画法①基本要求：□21长对正，□22高平齐，□23宽相等．②画法规则：□24正侧一样高，□25正俯一样长，□26侧俯一样宽；看不到的线画□27虚线．1．斜二测画法中的“三变”与“三不变”“三变”坐标轴的夹角改变，与y轴平行的线段的长度变为原来的一半，图形改变.2“三不变”平行性不改变，与x，z轴平行的线段的长度不改变，相对位置不改变.2．直观图与原图形面积的关系S直观图＝24S原图形(或S原图形＝22S直观图)．1．给出下列命题：①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；③长方体一定是正四棱柱．其中正确的命题个数是()A．0B．1C．2D．3答案A解析①直平行六面体底面是菱形，满足条件但不是正棱柱；②底面是等腰梯形的直棱柱，满足条件但不是长方体；③显然错误．2．(2019·河北唐山五校联考)如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为()答案A解析由正视图和俯视图可知，该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的，结合正视图的宽及俯视图的直径可知侧视图应为A，故选A.3．如图，直观图所表示的平面图形是()3A．正三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形答案D解析由直观图中，A′C′∥y′轴，B′C′∥x′轴，还原后如图AC∥y轴，BC∥x轴．所以△ABC是直角三角形．故选D.4．(2019·湖南长沙模拟)如图是一个正方体，A，B，C为三个顶点，D是棱的中点，则三棱锥A－BCD的正视图、俯视图是(注：选项中的上图为正视图，下图为俯视图)()答案A解析正视图和俯视图中棱AD和BD均看不见，为虚线，故选A.5．(2018·北京高考)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为()4A．1B．2C．3D．4答案C解析根据三视图，还原四棱锥，如图．在四棱锥S－ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥CD，AD⊥DC.AB＝1，AD＝DC＝SD＝2.显然△SDA，△SDC是直角三角形．另外SD⊥AB，AB⊥AD，SD∩AD＝D，∴AB⊥平面SAD.又SA⊂平面SAD，∴AB⊥SA，即△SAB是直角三角形．又计算△SBC的三边长并由勾股定理知其不是直角三角形．故选C.6．(2019·四川模拟)已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．答案335解析在长方体(长为23，宽、高均为1)中作出此三棱锥，如图所示，则VP－ABC＝13×12×23×1×1＝33.核心考向突破考向一空间几何体的结构特征例1下列说法正确的是()A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点答案B解析A错误，如图1；B正确，如图2，其中底面ABCD是矩形，可证明∠PAB，∠PCB都是直角，这样四个侧面都是直角三角形；C错误，如图3；D错误，由棱台的定义知，其侧棱必相交于同一点．触类旁通解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧(1)熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．通过反例对结构特征进行辨析，要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可.6即时训练1.以下命题：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为()A．0B．1C．2D．3答案A解析命题①错误，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥；命题②错误，因为这条腰必须是垂直于两底的腰；命题③错误，因为圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；命题④错误，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以．故选A.考向二平面图形与某直观图的关系例2(1)如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝2，则原图形OABC的面积为()A．242B．122C．482D．202答案A解析由题意知原图形OABC是平行四边形，且OA＝BC＝6，设平行四边形OABC的高为OE，则OE×12×22＝O′C′，∵O′C′＝2，∴OE＝42，∴S▱OABC＝6×42＝242.故选A.(2)在等腰梯形ABCD中，上底CD＝1，腰AD＝CB＝2，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________．答案22解析因为OE＝2－12＝1，所以O′E′＝12，E′F′＝24，所以直观图A′B′C′D′的面积为S′＝12×(1＋3)×24＝22.7触类旁通画几何体的直观图一般采用斜二测画法，其规则可以用“斜两坐标轴成45°或和“二测平行于y轴的线段长度减半，平行于x轴和z轴的线段长度不变来掌握.对直观图的考查有两个方向，一是已知原图形求直观图的相关量，二是已知直观图求原图形中的相关量.即时训练2.(2019·桂林模拟)已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为()A.34a2B.38a2C.68a2D.616a2答案D解析如图①、②所示的平面图形和直观图．由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝12OC＝34a，在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝22O′C′＝68a.∴S△A′B′C′＝12A′B′·C′D′＝12×a×68a＝616a2.3.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为22cm2，则原平面图形的面积为________．8答案8cm2解析解法一：依题意可知∠BAD＝45°，则原平面图形为直角梯形，上下底面的长与BC，AD相等，高为梯形ABCD的高的22倍，所以原平面图形的面积为8cm2.解法二：依题意可知，S直观图＝22cm2，故S原图形＝22S直观图＝8cm2.考向三空间几何体的三视图角度1