2020版高考数学一轮复习 第二章 函数与基本初等函数 第3讲 函数的奇偶性与周期性教案 理（含解析

1第3讲函数的奇偶性与周期性基础知识整合1．函数的奇偶性2．函数的周期性(1)周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有□05f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个□06最小的正数，那么这个□07最小正数就叫做f(x)的最小正周期．1．函数奇偶性的四个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(4)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．周期性的三个常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；(2)若f(x＋a)＝1，则T＝2a；2(3)若f(x＋a)＝－1，则T＝2a(a0)．3．对称性的三个常用结论(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．1．(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝()A．－20B．20C．－12D．12答案D解析f(2)＝－f(－2)＝－[2×(－8)＋4]＝12.故选D.2．(2019·大连测试)下列函数中，与函数y＝－3|x|的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是()A．y＝－1xB．y＝log2|x|C．y＝1－x2D．y＝x3－1答案C解析函数y＝－3|x|为偶函数，在(－∞，0)上为增函数，选项B的函数是偶函数，但其单调性不符合，只有选项C符合要求．3．(2019·石家庄模拟)已知f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，若f(1)1，f(5)＝2a－3a＋1，则实数a的取值范围为()A．(－1,4)B．(－2,1)C．(－1,2)D．(－1,0)答案A解析因为函数f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，所以f(5)＝f(－1)＝f(1)，即2a－3a＋11，化简得(a－4)(a＋1)0，解得－1a4.故选A.4．设函数f(x)＝＋＋x为奇函数，则a＝________.答案－1解析∵f(x)＝＋＋x为奇函数，∴f(1)＋f(－1)＝0，即＋＋1＋－1＋－1＋－1＝0，∴a＝－1.35．(2018·沈阳模拟)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)0，则x的取值范围是________．答案(－1,3)解析∵f(2)＝0，f(x－1)0，∴f(x－1)f(2)，又∵f(x)是偶函数，∴f(|x－1|)f(2)，又f(x)在[0，＋∞)上单调递减，∴|x－1|2，∴－2x－12，∴－1x3，∴x∈(－1,3)．6．(2019·合肥质检)若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f(x)＝－，0≤x≤1，sinπx，1x≤2，则f294＋f416＝________.答案516解析由于函数f(x)是周期为4的奇函数，所以f294＋f416＝f－34＋f－76＝－f34－f76＝－316＋sinπ6＝516.核心考向突破考向一函数奇偶性的判断例1(1)(2017·北京高考)已知函数f(x)＝3x－13x，则f(x)()A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数答案A解析∵函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝3－x－13－x＝13x－3x＝－f(x)，∴函数f(x)是奇函数．∵函数y＝13x在R上是减函数，∴函数y＝－13x在R上是增函数．又∵y＝3x在R上是增函数，∴函数f(x)＝3x－13x在R上是增函数．故选A.(2)如果f(x)是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是()A．y＝x＋f(x)B．y＝xf(x)C．y＝x2＋f(x)D．y＝x2f(x)4答案B解析设g(x)＝xf(x)．因为f(－x)＝－f(x)，所以g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)，所以g(－x)＝g(x)，所以B正确．触类旁通判断函数奇偶性的方法(1)定义法：利用奇、偶函数的定义或定义的等价形式：－＝±1(f(x)≠0)判断函数的奇偶性．(2)图象法：利用函数图象的对称性判断函数的奇偶性．验证法：即判断－是否为0.本例中巧设，使问题变得清晰易懂.即时训练1.(2018·合肥质检)下列函数中，既是偶函数，又在(0，＋∞)上单调递增的函数是()A．y＝x3B．y＝|x|＋1C．y＝－x2＋1D．y＝2－|x|答案B解析因为y＝x3是奇函数，y＝|x|＋1，y＝－x2＋1，y＝2－|x|均为偶函数，所以A错误；又因为y＝－x2＋1，y＝2－|x|＝12|x|在(0，＋∞)上均为减函数，只有y＝|x|＋1在(0，＋∞)上为增函数，所以C，D错误，故选B.2．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数答案C解析由题意可知f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，对于A，f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数，故错误；对于B，|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|g(x)，所以|f(x)|g(x)是偶函数，故错误；对于C，f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是奇函数，故正确；对于D，|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函数，故错误．选C.考向二函数的周期性例2(1)(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝()A．－50B．0C．2D．50答案C解析因为f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，且f(1－x)＝f(1＋x)，所以f(15＋x)＝－f(x－1)，所以f(3＋x)＝－f(x＋1)＝f(x－1)，所以T＝4，因此f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)，因为f(3)＝－f(1)，f(4)＝－f(2)，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，因为f(2)＝f(－2)＝－f(2)，所以f(2)＝0，从而f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝f(1)＝2，选C.(2)(2017·山东高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.答案6解析∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f[(x＋2)＋4]＝f[(x＋2)－2]，即f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)是周期为6的周期函数，∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．又f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6.触类旁通函数周期性问题的求解关键是充分利用题目提供的信息，找到函数的周期，利用周期在已知函数关系的范围上进行求解.本例合理利用已知函数关系和函数奇偶性进行适当变形，准确求出周期.即时训练3.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－1，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2017)＋f(2019)的值为()A．0B．－4C．－2D．2答案A解析当x≥0时，f(x＋2)＝－1，所以f(x＋4)＝f(x)，即4是f(x)(x≥0)的一个周期．所以f(－2017)＝f(2017)＝f(1)＝log22＝1，f(2019)＝f(3)＝－1＝－1，所以f(－2017)＋f(2019)＝0.故选A.4．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当x∈[－3，－1)时，f(x)＝－(x＋2)2，当x∈[－1,3)时，f(x)＝x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)＝________.答案338解析由题意得f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，所以数列{f(n)}从第一项起，每连续6项的和为1，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2019)＝336×1＋2＝338.考向三函数性质的综合应用角度1奇偶性的应用例3(1)(2019·金版创新)已知函数f(x)＝ax3＋bx＋1，若f(2019)＝－1，则f(－2019)6的值为()A．3B．－1C．1D．0答案A解析设F(x)＝f(x)－1＝ax3＋bx，则F(x)为奇函数，所以F(－2019)＝－F(2019)，即f(－2019)－1＝－[f(2019)－1]，所以f(－2019)＝2－f(2019)＝2－(－1)＝3，故选A.(2)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)＝2x2－x，则当x0时，f(x)＝()A．2x2－xB．2x2＋xC．－2x2－xD．－2x2＋x答案C解析当x0时，－x0，f(－x)＝2(－x)2－(－x)＝2x2＋x，因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－2x2－x.故选C.(3)已知函数f(x)＝2×4x－a2x的图象关于原点对称，g(x)＝ln(ex＋1)－bx是偶函数，则logab＝()A．1B．－1C．－12D.14答案B解析由题意得f(0)＝0，∴a＝2.∵g(1)＝g(－1)，∴ln(e＋1)－b＝ln1e＋1＋b，∴b＝12，∴log212＝－1.故选B.触类旁通利用函数的奇偶性可解决的问题(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于fx的方程组，从而得到fx的解析式.求函数解析式中参数的值：利用待定系数法求解，根据fxf－x＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程组，进而得出参数的值.即时训练5.(2019·齐鲁名校模拟)已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，则f(－2)＝()A．－3B．－54C.54D．3答案A解析因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)＝0，即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1，则f(－2)＝－f(2)＝－(22－1)＝－3.6．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，则g(x)＝()A．ex－e－xB.12(ex＋e－x)7C.12(e－x－ex)D.12(ex－e－x)答案D解析由f(x)＋g(x)＝ex①，可得f(－x)＋g(－x)＝e－x.又f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，可得f(x)－g(x)＝e－x②，则两式相减，可得g(x)＝ex－e－x2.选D.7．(2019·海口模拟)设函数f(x)＝x1＋|x|，则使得f(x)f(2x－1)成立的x的取值范围是_______