2020版高考数学一轮复习 第二章 函数与基本初等函数 第4讲 幂函数与二次函数教案 理（含解析）新

1第4讲幂函数与二次函数基础知识整合1．幂函数(1)定义：形如□01y＝xα的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x12，y＝x－1.(2)性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义．②当α0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增．③当α0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减．2．二次函数的图象和性质21．二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．(3)两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．2．一元二次不等式恒成立的条件(1)“ax2＋bx＋c0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a0且Δ0”．(2)“ax2＋bx＋c0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a0且Δ0”．1．(2018·武汉模拟)如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，那么()A．f(0)f(2)f(－2)B．f(0)f(－2)f(2)C．f(2)f(0)f(－2)D．f(－2)f(0)f(2)答案A解析由f(1＋x)＝f(－x)知函数f(x)图象的对称轴为x＝12，而抛物线的开口向上，且0－12＝12，2－12＝32，－2－12＝52，根据到对称轴的距离远的函数值较大得f(－2)f(2)f(0)．故选A.2．已知幂函数f(x)的图象经过点2，22，则f(x)为()A．偶函数B．奇函数C．增函数D．减函数答案D3解析设幂函数f(x)＝xα，∵其图象过点2，22，∴2α＝22＝2－12，解得α＝－12，∴f(x)＝x－12，∴f(x)为减函数．故选D.3．(2019·河南安阳模拟)已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为()A．1B．0C．－1D．2答案A解析∵f(x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋a＋4，∴函数f(x)＝－x2＋4x＋a在[0,1]上单调递增，∴当x＝0时，f(x)取得最小值，当x＝1时，f(x)取得最大值，∴f(0)＝a＝－2，f(1)＝3＋a＝3－2＝1，故选A.4．(2018·上海高考)已知α∈－2，－1，－12，12，1，2，3.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝________.答案－1解析∵幂函数f(x)＝xα为奇函数，∴α可取－1,1,3，又f(x)＝xα在(0，＋∞)上递减，∴α0，故α＝－1.5．若关于x的不等式x2－4x≥m对任意x∈(0,1]恒成立，则m的取值范围为________．答案(－∞，－3]解析只需要在x∈(0,1]时，(x2－4x)min≥m即可．因为函数f(x)＝x2－4x在(0,1]上为减函数，所以当x＝1时，(x2－4x)min＝1－4＝－3，所以m≤－3.6．(2019·武汉模拟)方程x2＋ax－2＝0在区间[1,5]上有根，则实数a的取值范围为________．答案－235，1解析解法一：由于方程x2＋ax－2＝0有解，设它的两个解分别为x1，x2，则x1·x2＝－20，故方程x2＋ax－2＝0在区间[1,5]上有唯一解．设f(x)＝x2＋ax－2，则f(1)·f(5)0，即(a－1)(5a＋23)≤0，解得－235≤a≤1.解法二：方程x2＋ax－2＝0在区间[1,5]上有根，即方程x＋a－2x＝0，也即方程a＝2x－x在区间[1,5]上有根，而函数y＝2x－x在区间[1,5]上是减函数，所以－235≤y≤1，则－235≤a≤1.核心考向突破考向一幂函数的图象与性质例1(1)(2019·九江模拟)幂函数f(x)＝(m2－4m＋4)xm2－6m＋8在(0，＋∞)上为增函数，4则m的值为()A．1或3B．1C．3D．2答案B解析由题意知m2－4m＋4＝1，m2－6m＋80，解得m＝1.故选B.(2)设a＝2313，b＝1323，c＝1313，则a，b，c的大小关系为()A．acbB．abcC．cabD．bca答案A解析∵013231，指数函数y＝13x在R上单调递减，故13231313.又由于幂函数y＝x13在R上单调递增，故23131313，∴132313132313，即bca，故选A.触类旁通幂函数的图象特征(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x分的区域．根据α0,0α1，α＝1，α1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.即时训练1.已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为()A．－3B．1C．2D．1或2答案B解析由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1符合题意．故选B.2．(2019·昆明模拟)设a＝20.3，b＝30.2，c＝70.1，则a，b，c的大小关系为()A．a＜c＜bB．c＜a＜bC．a＜b＜cD．c＜b＜a答案B解析由已知得a＝80.1，b＝90.1，c＝70.1，构造幂函数y＝x0.1，x∈(0，＋∞)，根据幂函数的单调性，知c＜a＜b.考向二求二次函数的解析式例2已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确5定此二次函数的解析式．解解法一：(利用一般式)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得4a＋2b＋c＝－1，a－b＋c＝－1，4ac－b24a＝8，解得a＝－4，b＝4，c＝7.∴所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.解法二：(利用顶点式)设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线的对称轴为x＝2＋－2＝12.∴m＝12.又根据题意函数有最大值8，∴n＝8.∴y＝f(x)＝ax－122＋8.∵f(2)＝－1，∴a2－122＋8＝－1，解得a＝－4，∴f(x)＝－4x－122＋8＝－4x2＋4x＋7.解法三：(利用两根式)由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值f(x)max＝8，即－2a－－a24a＝8.解得a＝－4或a＝0(舍)．∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.触类旁通确定二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：6即时训练3.已知二次函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(0)＝0，f(1)＝1，求f(x)的解析式．解解法一：(一般式)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则c＝0，a＋b＋c＝1，－b2a＝1⇒a＝－1，b＝2，c＝0，∴f(x)＝－x2＋2x.解法二：(两根式)∵对称轴方程为x＝1，∴f(2)＝f(0)＝0，f(x)＝0的两根分别为0,2.∴可设其解析式为f(x)＝ax(x－2)．又∵f(1)＝1，可得a＝－1，∴f(x)＝－x(x－2)＝－x2＋2x.解法三：(顶点式)由已知，可得顶点为(1,1)，∴可设其解析式为f(x)＝a(x－1)2＋1.又由f(0)＝0，可得a＝－1，∴f(x)＝－(x－1)2＋1＝－x2＋2x.考向三二次函数的图象与性质角度1二次函数的单调性例3(1)函数f(x)＝ax2－2x＋3在区间[1,3]上为增函数的充要条件是()A．a＝0B．a0C．0a≤13D．a≥1答案D解析当a＝0时，f(x)为减函数，不符合题意；当a≠0时，函数f(x)＝ax2－2x＋3的图象的对称轴方程为x＝1a，要使f(x)在区间[1,3]上为增函数，则a0，1a≥3或7a0，1a≤1，解得a≥1.故选D.(2)已知函数f(x)＝－2x2＋bx，若对任意的实数t都有f(4＋t)＝f(4－t)，则f(－2)，f(4)，f(5)的大小关系为()A．f(5)f(－2)f(4)B．f(4)f(5)f(－2)C．f(4)f(－2)f(5)D．f(－2)f(4)f(5)答案B解析因为对任意的实数t都有f(4＋t)＝f(4－t)，所以函数f(x)＝－2x2＋bx的图象关于直线x＝4对称，所以f(－2)＝f(10)，又函数f(x)＝－2x2＋bx的图象开口向下，所以函数f(x)在[4，＋∞)上是减函数，因为4510，所以f(4)f(5)f(10)，即f(4)f(5)f(－2)．触类旁通对于二次函数的单调性，关键是开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解.利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的对称性转化到同一单调区间上比较.即时训练4.已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；(2)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．解(1)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.(2)当a＝1时，f(x)＝x2＋2x＋3，∴f(|x|)＝x2＋2|x|＋3，此时定义域为x∈[－4,6]，且f(x)＝x2＋2x＋3，x0，6]，x2－2x＋3，x∈[－4，0].∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－4,0]．角度2二次函数的最值问题例4(1)(2017·浙江高考)若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0,1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m()A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关答案B解析解法一：设x1，x2分别是函数f(x)在[0,1]上的最小值点与最大值点，则m＝x21＋ax1＋b，M＝x22＋ax2＋b.∴M－m＝x22－x21＋a(x2－x1)，显然此值与a有关，与b无关．故选B.解法二：由题意可知，函数f(x)的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一8定．随着b的变动，相当于图象上下移动，若b增大k个单位，则最大值与最小值分别变为M＋k，m＋k，而(M＋k)－(m＋k)＝M－m，故与b无关．随着a的变动，相当于图象左右移动，则M－m的值在变化，故与a有关．故选B.(2)(2019·南昌模拟)如果函数f(x)＝x2－ax－a在区间[0,2]上的最大值为1，那么实数a＝________.答案1解析因为函数f(x)＝x2－ax－a的图象为开口向上的抛物线，所以函数的最大值在区间的端点取得．因为f(0)＝－a，f(2)＝4－3a，所以－a4－3a，－a＝1或－a≤4－3a，4－3a＝1，解得a＝1.触类旁通二次函数最值问题的类型及求解策略(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．求解策略：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.即时训练5.已知函数f(x)＝x2－2x－3，x∈[t，t＋2]．(1)求f(x)的最值；(2)当f(x)的最大值为5时，求t的值．解f(x)＝x2－2x－3＝(x－1)2－4的对称轴为直线x＝1.(1)①若t1，则当x＝t时，f(x)m