2020年高考数学一轮复习 考点07 二次函数与幂函数必刷题 理（含解析）

1考点07二次函数与幂函数1．(2017·浙江卷)若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m()A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关【答案】B【解析】设x1，x2分别是函数f(x)在[0，1]上的最小值点与最大值点，则m＝x21＋ax1＋b，M＝x22＋ax2＋b.∴M－m＝x22－x21＋a(x2－x1)，显然此值与a有关，与b无关．故选B.2．函数在区间的最大值是()A．0B．C．D．1【答案】C【解析】y=log（x2﹣6x+10），可令t=x2﹣6x+10，对称轴为x=3，函数t在[1，2]递减，且y=logt在（0，+∞）递减，可得y=log（x2﹣6x+10）在[1，2]递增，可得x=2时，函数y取得最大值log（22﹣12+10）=﹣log32，故选：C．3．已知函数在R上是减函数，则的取值范围是A．B．C．D．【答案】B【解析】由f（x）=ax3+3x2﹣x+2，得到=3ax2+6x﹣1，因为函数在R上是减函数，所以=3ax2+6x﹣1≤0恒成立，2所以，由△=36+12a≤0，解得a≤﹣3，则a的取值范围是（﹣∞，﹣3]．故答案为：B.4．，若方程f(x)=x无实根，则方程f(f(x))=x()A．有四个相异实根B．有两个相异实根C．有一个实根D．无实数根【答案】D【解析】∵f（x）=ax2+bx+c（a≠0）方程f（x）=x即f（x）-x=ax2+（b-1）x+c=0无实根，f（x）-x仍是二次函数，f（x）-x=0仍是二次方程，且无实根，∴△＜0．若a＞0，则函数y=f（x）-x的图象在x轴上方，∴y＞0，即f（x）-x＞0恒成立，即：f（x）＞x对任意实数x恒成立．∴对f（x），有f（f（x））＞f（x）＞x恒成立，∴f（f（x））=x无实根．故选D.5．函数的值域为A．B．C．D．【答案】D【解析】设μ=﹣x2﹣6x﹣5（μ≥0），则原函数可化为y=．又∵μ=﹣x2﹣6x﹣5=﹣（x+3）2+4≤4，∴0≤μ≤4，故∈[0，2]，∴y=的值域为[0，2]．故选：D．6．平行四边形中，点在边上，则的最大值为A．2B．C．0D．【答案】A3【解析】∵平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，，点M在边CD上，∴=﹣1，cos∠A=﹣1，∴cosA=﹣，∴A=120°，以A为原点，以AB所在的直线为x轴，以AB的垂线为y轴，建立如图所示的坐标系，∴A（0，0），B（2，0），D（﹣，），设M（x，），则﹣≤x≤，∴=（﹣x，﹣），=（2﹣x，﹣），∴=x（x﹣2）+=x2﹣2x+=（x﹣1）2﹣，设f（x）=（x﹣1）2﹣，则f（x）在[﹣，1）上单调递减，在[1，]上单调递增，∴f（x）min=f（1）=﹣，f（x）max=f（﹣）=2，则的最大值是2，故答案为：A7．中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下袤从之。亦倍下袤，上袤从之。各以其广乘之，并以高乘之，皆六而一。”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一。已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形，上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，则该“刍童”的体积的最大值为A．B．C．39D．【答案】D【解析】设下底面的长宽分别为，有4则“刍童”的体积为,当时，“刍童”的体积取最大值，选D.8．在区间上任取一个数，则函数在上的最大值是的概率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】在区间[﹣2，2]上任取一个数a，基本事件空间对应区间的长度是4，由y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，x∈[0，4]，得y∈[﹣1，3]，∴﹣1﹣a≤x2﹣4x+3﹣a≤3﹣a，∴|x2﹣4x+3﹣a|的最大值是|3﹣a|或|﹣1﹣a|，即最大值是|3﹣a|或|1+a|；令|3﹣a|≥|1+a|，得（3﹣a）2≥（1+a）2，解得a≤1；又a∈[﹣2，2]，∴﹣2≤a≤1；∴当a∈[﹣2，1]时，|3﹣a|=3﹣a，∴f（x）=|x2﹣4x+3﹣a|+a在x∈[0，4]上的最大值是3﹣a+a=3，满足题意；当a∈（1，2]时，|1+a|=a+1，函数f（x）=|x2﹣4x+3﹣a|+a在x∈[0，4]上的最大值是2a+1，由1＜a≤2，得3＜2a+1≤5，f（x）的最大值不是3.则所求的概率为P=．故答案为：A.9．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且a＞b＞c，a＋b＋c＝0，集合A＝{m|f(m)＜0}，则()A．∀m∈A，都有f(m＋3)＞0B．∀m∈A，都有f(m＋3)＜0C．∃m0∈A，使得f(m0＋3)＝0D．∃m0∈A，使得f(m0＋3)＜0【答案】A【解析】由a＞b＞c，a＋b＋c＝0可知a＞0，c＜0，且f(1)＝0，f(0)＝c＜0，即1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，5当x＞1时，f(x)＞0.由a＞b，得1＞ba，设方程ax2＋bx＋c＝0的另一个根为x1，则x1＋1＝－ba＞－1，即x1＞－2，由f(m)＜0可得－2＜m＜1，所以1＜m＋3＜4，由抛物线图象可知，f(m＋3)＞0，选A.10．已知函数，对任意不等实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】对任意两个不等的实数，都有不等式恒成立，则当时，恒成立，即在上恒成立，则故选D．11．二次函数的导数为，对一切，，又，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵f（x）=ax2+bx+c，∴f′（x）=2ax+b，f′（0）=b＞0，∵对任意实数x都有f（x）≥0，∴a＞0，c＞0，b2-4ac≤0即而，故答案为：A.12．已知函数f(x)＝tx，g(x)＝(2－t)x2－4x＋1.若对于任意实数x，f(x)与g(x)中至少有一个为正数，6则实数t的取值范围是()A．(－∞，－2)∪(0，2]B．(－2，2]C．(－∞，－2)D．(0，＋∞)【答案】A【解析】对于(2－t)x2－4x＋1＝0，Δ＝16－4(2－t)×1＝8＋4t.当t＝0时，f(x)＝0，Δ＞0，g(x)有正有负，不符合题意，故排除B；当t＝2时，f(x)＝2x，g(x)＝－4x＋1，符合题意，故排除C；当t＞2时，f(x)＝tx，g(x)＝(2－t)x2－4x＋1，当x趋近于－∞时，f(x)与g(x)都为负值，不符合题意，故排除D，选A.13．已知抛物线的焦点为，点为上一动点，，,且的最小值为，则等于A．4B．C．5D．【答案】B【解析】设点，则．∴，∴当时，有最小值，且最小值为．由题意得，整理得，解得或．又，∴，∴点B坐标为．∴由抛物线的定义可得．故选B．14．已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1，1]上恒小于零，则实数a的取值范围是________．【答案】－∞，12【解析】由题意知2ax2＋2x－3＜0在[－1，1]上恒成立．7当x＝0时，－3＜0，符合题意；当x≠0时，a＜321x－132－16，因为1x∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，所以当x＝1时，右边取最小值12，所以a＜12.综上，实数a的取值范围是－∞，12.15．已知函数,则该函数的最小值是________.【答案】2【解析】设，则，此时，当时，即，函数取得最小值，此时最小值为．16．已知二次函数f（x）=ax2+2x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则的最小值为_____．【答案】4【解析】由题意知，则当且仅当时取等号．∴的最小值为4．17．已知关于x的不等式＞0在[1，2]上恒成立，则实数m的取值范围为___________【答案】【解析】①当时，函数外层单调递减，内层二次函数：当，即时，二次函数在区间内单调递增，函数单调递减，，解得：；当，即时，无意义；当，，即时，二次函数在区间内先递减后递增，函数先递增后递减，8则需，无解；当，即时，二次函数在区间内单调递减，函数单调递增，，无解.②当时，函数外层单调递增，，二次函数单调递增，函数单调递增，所以，解得：.综上所述：或.18．设函数，若，，则对任意的实数，的最小值为_________________．【答案】10【解析】作出的图象，如图，由且得，即，其中，如图圆，易知点在劣弧上，记，则表示点到射线上点的距离的平方，从图中可知最小值为点到原点的距离的平方，即．919．已知实数，且满足，则的取值范围是__________.【答案】【解析】又，，设，a，b是方程的两个实根.，①存在时，使，，，即.②存在时，使，，，即..故答案为：.20．已知函数f(x)＝x2－2tx＋1，在区间[2，5]上单调且有最大值为8，则实数t的值为________．【答案】95【解析】函数f(x)＝x2－2tx＋1图象的对称轴是x＝t，函数在区间[2，5]上单调，故t≤2或t≥5.若t≤2，则函数f(x)在区间[2，5]上是增函数，故f(x)max＝f(5)＝25－10t＋1＝8，解得t＝95；若t≥5，函数f(x)在区间[2，5]上是减函数，此时f(x)max＝f(2)＝4－4t＋1＝8，10解得t＝－34，与t≥5矛盾．综上所述，t＝95.21．已知函数f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a＞0)，对任意的x1∈[－1，2]都存在x0∈[－1，2]，使得g(x1)＝f(x0)，则实数a的取值范围是________．【答案】0，12【解析】当x0∈[－1，2]时，由f(x)＝x2－2x得f(x0)∈[－1，3]，又对任意的x1∈[－1，2]都存在x0∈[－1，2]，使得g(x1)＝f(x0)，所以当x1∈[－1，2]时，g(x1)∈[－1，3]．当a＞0时，－a＋2≥－1，2a＋2≤3，解得a≤12.综上所述，实数a的取值范围是0，12.22．设正实数满足，则的最小值是__________.【答案】【解析】正实数满足，化为，由于关于的方程有正实数根，，解得因此实数y的最小值为.故答案为：.23．已知函数的最小值为，则实数的取值集合为__________．【答案】.【解析】①若，即时，则，∴在上单调递减，最小值为；在上的最小值为．∵函数最小值为，∴．11②当，即时，则，∴在上上先减后增，最小值为；在上的最小值为．∵函数最小值为，∴，解得，不合题意，舍去．③当，即时，则，∴在上上先减后增，最小值为；在上的最小值为．∵函数最小值为，∴，解得或（舍去）．综上可得或，∴实数的取值集合为．24．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a0，b∈R，c∈R)．(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(x)＝f（x），x0，－f（x），x0，求F(2)＋F(－2)的值；(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b的取值范围．【答案】(1)8(2)[－2，0]【解析】(1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，且－b2a＝－1，解得a＝1，b＝2，∴f(x)＝(x＋1)2.∴F(x)＝（x＋1）2，x0，－（x＋1）2，x0.∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)f(x)＝x2＋bx，原命题等价于－1≤x2＋bx≤1在(0，1]上恒成立，即b≤1x－x且b≥－1x－x在(0，1]上恒成立．12又1x－x的最小值为0，－1x－x的最大值为－2.∴－2≤b≤0.故b的取值范围是[－2，0]．25.已知函数f(x)=x2-2ax+5(a1).(1)若f(x)的定义域和值域是[1,a],求实数a的值;(2)若f(x)在(-∞,2]上是减少的,且对任意的x1,x2∈[1,a+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤4,求实数a的取值范围.【答案】(1)2(2)[2,3]【解析】(1)因为f(x)=x2-2ax+5=