2020版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数教

1§4.1任意角、弧度制及任意角的三角函数最新考纲考情考向分析1.了解任意角的概念和弧度制的概念．2.能进行弧度与角度的互化．3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.以理解任意角三角函数的概念、能进行弧度与角度的互化和扇形弧长、面积的计算为主，常与向量、三角恒等变换相结合，考查三角函数定义的应用及三角函数的化简与求值，考查分类讨论思想和数形结合思想的应用意识．题型以选择题为主，低档难度.1.角的概念(1)角的分类(按旋转的方向)角正角：按照逆时针方向旋转而成的角.负角：按照顺时针方向旋转而成的角.零角：射线没有旋转.(2)象限角象限角象限角α的集合表示第一象限角{α|k·360°αk·360°＋90°，k∈Z}第二象限角{α|k·360°＋90°αk·360°＋180°，k∈Z}第三象限角{α|k·360°＋180°αk·360°＋270°，k∈Z}第四象限角{α|k·360°＋270°αk·360°＋360°，k∈Z}(3)终边相同的角所有与α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.2.弧度制(1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，正角的弧度数是正数，负2角的弧度数是负数，零角的弧度数是零.(2)角度制和弧度制的互化：180°＝πrad，1°＝π180rad，1rad＝180π°.(3)扇形的弧长公式：l＝|α|r，扇形的面积公式：S＝12lr＝12|α|r2.3.任意角的三角函数的定义α为任意角，α的终边上任意一点P(异于原点)的坐标(x，y)，它与原点的距离OP＝r＝x2＋y2(r0)，则sinα＝yr；cosα＝xr；tanα＝yx；cotα＝xy；secα＝rx；cscα＝ry.4.三角函数在各象限的符号规律及三角函数线(1)三角函数在各象限的符号：象限符号函数ⅠⅡⅢⅣsinα，cscα＋＋－－cosα，secα＋－－＋tanα，cotα＋－＋－(2)三角函数线：正弦线如图，角α的正弦线为MP→.余弦线如图，角α的余弦线为OM→.正切线如图，角α的正切线为AT→.概念方法微思考1．总结一下三角函数值在各象限的符号规律．提示一全正、二正弦、三正切、四余弦．32．三角函数坐标法定义中，若取点P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，怎样定义角α的三角函数？提示设点P到原点O的距离为r，则sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx(x≠0)．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．(×)(2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．(√)(3)不相等的角终边一定不相同．(×)(4)若α为第一象限角，则sinα＋cosα1.(√)题组二教材改编2．角－225°＝弧度，这个角在第象限．答案－5π4二3．若角α的终边经过点Q－22，22，则sinα＝，cosα＝.答案22－224．一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为弧度．答案π3题组三易错自纠5．集合αkπ＋π4≤α≤kπ＋π2，k∈Z中的角所表示的范围(阴影部分)是()答案C解析当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋π4≤α≤2nπ＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋π4≤α≤2nπ＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样，故选C.46．已知点P32，－12在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为()A.5π6B.2π3C.11π6D.5π3答案C解析因为点P32，－12在第四象限，所以根据三角函数的定义可知tanθ＝－1232＝－33，又θ∈3π2，2π，所以θ＝11π6.7．在0到2π范围内，与角－4π3终边相同的角是．答案2π3解析与角－4π3终边相同的角是2kπ＋－4π3(k∈Z)，令k＝1，可得与角－4π3终边相同的角是2π3.8．(2018·赤峰模拟)函数y＝2cosx－1的定义域为．答案2kπ－π3，2kπ＋π3(k∈Z)解析∵2cosx－1≥0，∴cosx≥12.由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，∴x∈2kπ－π3，2kπ＋π3(k∈Z)．5题型一角及其表示1．下列与角9π4的终边相同的角的表达式中正确的是()A．2kπ＋45°(k∈Z)B．k·360°＋9π4(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z)D．kπ＋5π4(k∈Z)答案C解析与角9π4的终边相同的角可以写成2kπ＋9π4(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确．2．设集合M＝xx＝k2·180°＋45°，k∈Z，N＝xx＝k4·180°＋45°，k∈Z，那么()A．M＝NB．M⊆NC．N⊆MD．M∩N＝∅答案B解析由于M中，x＝k2·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇数；而N中，x＝k4·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M⊆N，故选B.3．(2018·沈阳质检)终边在直线y＝3x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为．答案－53π，－23π，π3，43π解析如图，在坐标系中画出直线y＝3x，可以发现它与x轴的夹角是π3，在[0,2π)内，终边在直线y＝3x上的角有两个：π3，43π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－23π，－53π，故满足条件的角α构成的集合为－53π，－23π，π3，43π.64．若角α是第二象限角，则α2是第象限角．答案一或三解析∵α是第二象限角，∴π2＋2kπαπ＋2kπ，k∈Z，∴π4＋kπα2π2＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，α2是第一象限角；当k为奇数时，α2是第三象限角．综上，α2是第一或第三象限角．思维升华(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角．(2)确定kα，αk(k∈N＋)的终边位置的方法先写出kα或αk的范围，然后根据k的可能取值确定kα或αk的终边所在位置．题型二弧度制及其应用例1已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.若α＝π3，R＝10cm，求扇形的面积．解由已知得α＝π3，R＝10cm，∴S扇形＝12α·R2＝12·π3·102＝50π3(cm2)．引申探究1．若例题条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积．解l＝α·R＝π3×10＝10π3(cm)，S弓形＝S扇形－S三角形＝12·l·R－12·R2·sinπ3＝12·10π3·10－12·102·32＝50π－7533(cm2)．2．若例题条件改为：“若扇形周长为20cm”，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解由已知得，l＋2R＝20，则l＝20－2R(0R10)．所以S＝12lR＝12(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，7所以当R＝5cm时，S取得最大值25cm2，此时l＝10cm，α＝2rad.思维升华应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．跟踪训练1(1)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为()A.π6B.π3C．3D.3答案D解析如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，则线段AB所对的圆心角∠AOB＝2π3，作OM⊥AB，垂足为M，在Rt△AOM中，AO＝r，∠AOM＝π3，∴AM＝32r，AB＝3r，∴l＝3r，由弧长公式得α＝lr＝3rr＝3.(2)一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的23，面积等于圆面积的527，则扇形的弧长与圆周长之比为．答案518解析设圆的半径为r，则扇形的半径为2r3，记扇形的圆心角为α，由扇形面积等于圆面积的527，可得12α2r32πr2＝527，8解得α＝5π6.所以扇形的弧长与圆周长之比为lC＝5π6·2r32πr＝518.题型三三角函数的概念命题点1三角函数定义的应用例2(1)(2018·抚顺模拟)已知角α的终边与单位圆的交点为P－12，y，则sinα·tanα等于()A．－33B．±33C．－32D．±32答案C解析由OP2＝14＋y2＝1，得y2＝34，y＝±32.当y＝32时，sinα＝32，tanα＝－3，此时，sinα·tanα＝－32.当y＝－32时，sinα＝－32，tanα＝3，此时，sinα·tanα＝－32.所以sinα·tanα＝－32.(2)(2018·通辽调研)已知角θ的终边经过点P(4，m)，且sinθ＝35，则m等于()A.－3B.3C.163D.±3答案B解析sinθ＝m16＋m2＝35，且m0，解得m＝3.命题点2三角函数线例3(1)满足cosα≤－12的角的集合是．9答案α2kπ＋23π≤α≤2kπ＋43π，k∈Z解析作直线x＝－12交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为α2kπ＋23π≤α≤2kπ＋43π，k∈Z.(2)若－3π4α－π2，从单位圆中的三角函数线观察sinα，cosα，tanα的大小关系是．答案sinαcosαtanα解析如图，作出角α的正弦线MP→，余弦线OM→，正切线AT→，观察可知sinαcosαtanα.思维升华(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P的坐标．(2)利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的范围．跟踪训练2(1)已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα0.则实数a的取值范围是()A．(－2,3]B．(－2,3)C．[－2,3)D．[－2,3]答案A解析∵cosα≤0，sinα0，∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上．10∴3a－9≤0，a＋20，∴－2a≤3.(2)在(0,2π)内，使得sinxcosx成立的x的取值范围是()A.π4，π2∪π，5π4B.π4，πC.π4，5π4D.π4，π∪5π4，3π2答案C解析当x∈π2，π时，sinx0，cosx≤0，显然sinxcosx成立；当x∈0，π4时，作出三角函数线，如图，OA为x的终边，由三角函数线可知，sinx≤cosx；当x∈π4，π2时，如图，OB为x的终边，由三角函数线可知sinxcosx.同理当x∈π，5π4时，sinxcosx；当x∈5π4，2π时，sinx≤cosx，故选C.1．下列说法中正确的是()A．第一象限角一定不是负角B．不相等的角，它们的终边必不相同C．钝角一定是第二象限角D．终边与始边均相同的两个角一定相等答案C解析因为－330°＝－360°＋30°，所以－330°角是第一象限角，且是负角，所以A错误；同理－330°角和30°角不相等，但它们终边相同，所以B错误；因为钝角的取值范围为(90°，11180°)，所以C正确；0°角和360°角的终边与始边均相同，但它们不相等，所以D错误．2．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是()A．1B．4C．1或4D．2或4答案C解析设扇形的半径为r，弧长为l，则2r＋l＝