2020版高考数学大一轮复习 第六章 数列与数学归纳法 6.4 数学归纳法教案 理（含解析）新人教A

1§6.4数学归纳法最新考纲考情考向分析1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.以了解数学归纳法的原理为主，会用数学归纳法证明与数列有关或与不等式有关的等式或不等式.偶尔在高考中以解答题形式出现，属高档题.数学归纳法一般地，证明一个与自然数相关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N＋)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N＋)时命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对n取第一个值后面的有正整数成立.概念方法微思考1.用数学归纳法证题时，证明当n取第一个值n0(n0∈N＋)时命题成立.因为n0∈N＋，所以n0＝1.这种说法对吗？提示不对，n0也可能是2,3,4，….如用数学归纳法证明多边形内角和定理(n－2)π时，初始值n0＝3.2.数学归纳法的第一个步骤可以省略吗？提示不可以，数学归纳法的两个步骤相辅相成，缺一不可.3.有人说，数学归纳法是合情推理，这种说法对吗？提示不对，数学归纳法是一种证明与自然数有关的命题的方法，它是演绎推理.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.(×)2(2)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.(×)(3)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项.(×)(4)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.(√)(5)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时，n0＝3.(√)题组二教材改编2.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12n(n－3)条时，第一步检验n等于()A.1B.2C.3D.4答案C解析凸n边形边数最小时是三角形，故第一步检验n＝3.3.已知{an}满足an＋1＝a2n－nan＋1，n∈N＋，且a1＝2，则a2＝________，a3＝________，a4＝________，猜想an＝________.答案345n＋1题组三易错自纠4.用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－an＋21－a(a≠1，n∈N＋)，在验证n＝1时，等式左边的项是()A.1B.1＋aC.1＋a＋a2D.1＋a＋a2＋a3答案C解析当n＝1时，n＋1＝2，∴左边＝1＋a1＋a2＝1＋a＋a2.5.对于不等式n2＋nn＋1(n∈N＋)，某同学用数学归纳法证明的过程如下：(1)当n＝1时，12＋11＋1，不等式成立.(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，不等式成立，即k2＋kk＋1，则当n＝k＋1时，k＋12＋k＋1＝k2＋3k＋2k2＋3k＋2＋k＋2＝k＋22＝(k＋1)＋1.∴当n＝k＋1时，不等式成立.则上述证法()A.过程全部正确B.n＝1验证的不正确C.归纳假设不正确3D.从n＝k到n＝k＋1的推理不正确答案D解析在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，不是数学归纳法.6.用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋2n＝2n－1＋22n－1(n∈N＋)时，假设当n＝k时命题成立，则当n＝k＋1时，左端增加的项数是__________.答案2k解析运用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋2n＝2n－1＋22n－1(n∈N＋).当n＝k时，则有1＋2＋3＋…＋2k＝2k－1＋22k－1(k∈N＋)，左边表示的为2k项的和.当n＝k＋1时，则左边＝1＋2＋3＋…＋2k＋(2k＋1)＋…＋2k＋1，表示的为2k＋1项的和，增加了2k＋1－2k＝2k项.题型一用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n2n＋2＝n4n＋1(n∈N＋).证明①当n＝1时，左边＝12×1×2×1＋2＝18.右边＝14×1＋1＝18.左边＝右边，所以等式成立.②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即有12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k2k＋2＝k4k＋1，则当n＝k＋1时，12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k2k＋2＋12k＋1[2k＋1＋2]＝k4k＋1＋14k＋1k＋2＝kk＋2＋14k＋1k＋2＝k＋124k＋1k＋2＝k＋14k＋2＝k＋14k＋1＋1.所以当n＝k＋1时，等式也成立.4由①②可知对于一切n∈N＋等式都成立.思维升华用数学归纳法证明恒等式应注意(1)明确初始值n0并验证当n＝n0时等式成立.(2)由n＝k证明n＝k＋1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标.(3)掌握恒等变形常用的方法：①因式分解；②添拆项；③配方法.题型二用数学归纳法证明不等式例1等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N＋，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b0且b≠1，b，r均为常数)的图象上.(1)求r的值；(2)当b＝2时，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N＋)，证明：对任意的n∈N＋，不等式b1＋1b1·b2＋1b2·…·bn＋1bnn＋1成立.(1)解由题意得，Sn＝bn＋r，当n≥2时，Sn－1＝bn－1＋r.所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1).由于b0且b≠1，所以n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列.又a1＝S1＝b＋r，a2＝b(b－1)，所以当a2a1＝b，即bb－1b＋r＝b，解得r＝－1.(2)证明由(1)及b＝2知an＝2n－1.因此bn＝2n(n∈N＋)，所证不等式为2＋12·4＋14·…·2n＋12nn＋1.①当n＝1时，左式＝32，右式＝2，左式右式，所以结论成立.②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时结论成立，即2＋12·4＋14·…·2k＋12kk＋1，则当n＝k＋1时，2＋12·4＋14·…·2k＋12k·2k＋32k＋1k＋1·2k＋32k＋1＝2k＋32k＋1，要证当n＝k＋1时结论成立，只需证2k＋32k＋1≥k＋2，5即证2k＋32≥k＋1k＋2，由均值不等式得2k＋32＝k＋1＋k＋22≥k＋1k＋2成立，故2k＋32k＋1≥k＋2成立，所以当n＝k＋1时，结论成立.由①②可知，当n∈N＋时，不等式b1＋1b1·b2＋1b2·…·bn＋1bnn＋1成立.思维升华用数学归纳法证明与n有关的不等式，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用均值不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化.跟踪训练1数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式1＋131＋15·…·1＋12n－12n＋12均成立.证明①当n＝2时，左边＝1＋13＝43，右边＝52.∵左边右边，∴不等式成立.②假设当n＝k(k≥2，且k∈N＋)时不等式成立，即1＋131＋15·…·1＋12k－12k＋12.则当n＝k＋1时，1＋131＋15·…·1＋12k－11＋12k＋1－12k＋12·2k＋22k＋1＝2k＋222k＋1＝4k2＋8k＋422k＋14k2＋8k＋322k＋1＝2k＋32k＋122k＋1＝2k＋1＋12.∴当n＝k＋1时，不等式也成立.由①②知对一切大于1的自然数n，不等式都成立.题型三归纳—猜想—证明命题点1与函数有关的证明问题6例2设函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的导函数.(1)令g1(x)＝g(x)，gn＋1(x)＝g(gn(x))，n∈N＋，求gn(x)的表达式；(2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求实数a的取值范围.解由题设得g(x)＝x1＋x(x≥0).(1)由已知，得g1(x)＝x1＋x，g2(x)＝g(g1(x))＝x1＋x1＋x1＋x＝x1＋2x，g3(x)＝x1＋3x，…，可猜想gn(x)＝x1＋nx.下面用数学归纳法证明.①当n＝1时，g1(x)＝x1＋x，结论成立.②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时结论成立，即gk(x)＝x1＋kx.则当n＝k＋1时，gk＋1(x)＝g(gk(x))＝gkx1＋gkx＝x1＋kx1＋x1＋kx＝x1＋k＋1x，即结论成立.由①②可知，结论对n∈N＋恒成立.(2)已知f(x)≥ag(x)恒成立，即ln(1＋x)≥ax1＋x恒成立.设φ(x)＝ln(1＋x)－ax1＋x(x≥0)，则φ′(x)＝11＋x－a1＋x2＝x＋1－a1＋x2，当a≤1时，φ′(x)≥0(当且仅当x＝0，a＝1时等号成立)，∴φ(x)在[0，＋∞)上单调递增.又φ(0)＝0，∴φ(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，∴当a≤1时，ln(1＋x)≥ax1＋x恒成立(当且仅当x＝0时等号成立).7当a1时，对x∈(0，a－1]，有φ′(x)≤0，∴φ(x)在(0，a－1]上单调递减，∴φ(a－1)φ(0)＝0.即当a1时，存在x0，使φ(x)0，∴ln(1＋x)≥ax1＋x不恒成立.综上可知，a的取值范围是(－∞，1].命题点2与数列有关的证明问题例3已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－23，且Sn＋1Sn＋2＝an(n≥2).(1)计算S1，S2，S3，S4的值，猜想Sn的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论.(1)解S1＝a1＝－23，S2＋1S2＋2＝S2－S1⇒S2＝－34，S3＋1S3＋2＝S3－S2⇒S3＝－45，S4＋1S4＋2＝S4－S3⇒S4＝－56.由此猜想：Sn＝－n＋1n＋2(n∈N＋).(2)证明①当n＝1时，左边＝S1＝a1＝－23，右边＝－1＋11＋2＝－23.∵左边＝右边，∴原等式成立.②当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，假设Sk＝－k＋1k＋2成立，则当n＝k＋1时，Sk＋1＋1Sk＋1＋2＝Sk＋1－Sk，得1Sk＋1＝－Sk－2＝k＋1k＋2－2＝k＋1－2k－4k＋2＝－k－3k＋2＝－k＋3k＋2，∴Sk＋1＝－k＋2k＋3＝－k＋1＋1k＋1＋2，∴当n＝k＋1时，原等式也成立.8综合①②得对一切n∈N＋，Sn＝－n＋1n＋2成立.命题点3存在性问题的证明例4是否存在a，b，c使等式1n2＋2n2＋3n2＋…＋nn2＝an2＋bn＋cn对一切n∈N＋都成立，若不存在，说明理由；若存在，请用数学归纳法证明你的结论.解取n＝1,2,3，可得a＋b＋c＝1，8a＋4b＋2c＝5，27a＋9b＋3c＝14，解得a＝13，b＝12，c＝16.下面用数学归纳法证明1n2＋2n2＋3n2＋…＋nn2＝2n2＋3n＋16n＝n＋12n＋16n.即证12＋22＋…＋n2＝16n(n＋1)(2n＋1)，①当n＝1时，左边＝1，右边＝1，∴等式成立；②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即12＋22＋…＋k2＝16k(k＋1)·(2k＋1)成立，则当n＝k＋1时，等式左边＝12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＝16k(k＋1)(2k＋1)＋(k＋1)2＝16[k(k＋1)(2k＋1)＋6(k＋1)2]＝16(k＋1)(2k2＋7k＋6)＝16(k＋1)(k＋2)·(2k＋3)，∴当n＝k＋1时等式成立；综合①②得当n∈N＋时等式成立，故存在a＝13，b＝12，c＝16使已知等式成立.思维升华“归纳—猜想—证明”属于探索性问题的一种，一般要经过计算、观察、归纳，然后猜想出结论，再用数学归纳法证明.在用这种方法解决问题时，应保证猜想的正确性和数学归纳法步骤的完整性.跟踪训练2已知正项数列{an}中，对于一切的n∈N＋均有a2n≤an－an＋1成立.9(1)证明：数列{an}中的任意一项都小于1；(2)探究an与1n的大小关