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1§9.1直线的方程最新考纲考情考向分析1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,掌握确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、截距式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.以考查直线方程的求法为主,直线的斜率、倾斜角也是考查的重点.题型主要在解答题中与圆、圆锥曲线等知识交汇出现,有时也会在选择、填空题中出现.1.平面直角坐标系中的基本公式(1)两点的距离公式:已知平面直角坐标系中的两点A(x1,y1),B(x2,y2),则d(A,B)=|AB|=x2-x12+y2-y12.(2)中点公式:已知平面直角坐标系中的两点A(x1,y1),B(x2,y2),点M(x,y)是线段AB的中点,则x=x1+x22,y=y1+y22.2.直线的倾斜角(1)定义:x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角,我们规定,与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角.(2)倾斜角的范围:[0°,180°).3.直线的斜率(1)定义:通常,我们把直线y=kx+b中的系数k叫做这条直线的斜率,垂直于x轴的直线,人们常说它的斜率不存在;(2)计算公式:若由A(x1,y1),B(x2,y2)确定的直线不垂直于x轴,则k=y2-y1x2-x1(x1≠x2).若直线的倾斜角为θθ≠π2,则k=tanθ.24.直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y-y0=k(x-x0)不含直线x=x0斜截式y=kx+b不含垂直于x轴的直线两点式y-y1y2-y1=x-x1x2-x1不含直线x=x1(x1≠x2)和直线y=y1(y1≠y2)截距式xa+yb=1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax+By+C=0(A2+B2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用概念方法微思考1.直线都有倾斜角,是不是都有斜率?倾斜角越大,斜率k就越大吗?提示倾斜角α∈[0,π),当α=π2时,斜率k不存在;因为k=tanαα≠π2.当α∈0,π2时,α越大,斜率k就越大,同样α∈π2,π时也是如此,但当α∈(0,π)且α≠π2时就不是了.2.“截距”与“距离”有何区别?当截距相等时应注意什么?提示“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值,它可正,可负,也可以是零,而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.(√)(2)若直线的斜率为tanα,则其倾斜角为α.(×)(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.(×)(4)经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示.(√)题组二教材改编2.若过点M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于1,则m的值为()A.1B.4C.1或3D.1或4答案A3解析由题意得m-4-2-m=1,解得m=1.3.过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为.答案3x-2y=0或x+y-5=0解析当截距为0时,直线方程为3x-2y=0;当截距不为0时,设直线方程为xa+ya=1,则2a+3a=1,解得a=5.所以直线方程为x+y-5=0.题组三易错自纠4.直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角的取值范围是()A.0,π4B.3π4,πC.0,π4∪π2,πD.π4,π2∪3π4,π答案B解析由直线方程可得该直线的斜率为-1a2+1,又-1≤-1a2+10,所以倾斜角的取值范围是3π4,π.5.如果A·C0且B·C0,那么直线Ax+By+C=0不通过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案C解析由已知得直线Ax+By+C=0在x轴上的截距-CA0,在y轴上的截距-CB0,故直线经过第一、二、四象限,不经过第三象限.6.过直线l:y=x上的点P(2,2)作直线m,若直线l,m与x轴围成的三角形的面积为2,则直线m的方程为.答案x-2y+2=0或x=2解析①若直线m的斜率不存在,则直线m的方程为x=2,直线m,直线l和x轴围成的三角形的面积为2,符合题意;②若直线m的斜率k=0,则直线m与x轴没有交点,不符合题意;③若直线m的斜率k≠0,设其方程为y-2=k(x-2),令y=0,得x=2-2k,依题意有12×2-2k×2=2,即1-1k=1,解得k=12,所以直线m的方程为y-2=12(x-2),即x-2y+2=0.4综上可知,直线m的方程为x-2y+2=0或x=2.题型一直线的倾斜角与斜率例1(1)直线xsinα+y+2=0的倾斜角的范围是()A.[0,π)B.0,π4∪34π,πC.0,π4D.0,π4∪π2,π答案B解析设直线的倾斜角为θ,则有tanθ=-sinα,又sinα∈[-1,1],θ∈[0,π),所以0≤θ≤π4或3π4≤θπ.(2)(2018·抚顺调研)直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,3)为端点的线段有公共点,则直线l斜率的取值范围为.答案(-∞,-3]∪[1,+∞)解析如图,∵kAP=1-02-1=1,kBP=3-00-1=-3,∴k∈(-∞,-3]∪[1,+∞).引申探究1.若将本例(2)中P(1,0)改为P(-1,0),其他条件不变,求直线l斜率的取值范围.解∵P(-1,0),A(2,1),B(0,3),∴kAP=1-02--1=13,kBP=3-00--1=3.5如图可知,直线l斜率的取值范围为13,3.2.若将本例(2)中的B点坐标改为(2,-1),其他条件不变,求直线l倾斜角的取值范围.解如图,直线PA的倾斜角为45°,直线PB的倾斜角为135°,由图象知l的倾斜角的范围为[0°,45°]∪[135°,180°).思维升华(1)倾斜角α与斜率k的关系①当α∈0,π2时,k∈[0,+∞).②当α=π2时,斜率k不存在.③当α∈π2,π时,k∈(-∞,0).(2)斜率的两种求法①定义法:若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值,一般根据k=tanα求斜率.②公式法:若已知直线上两点A(x1,y1),B(x2,y2),一般根据斜率公式k=y2-y1x2-x1(x1≠x2)求斜率.(3)倾斜角α范围与直线斜率范围互求时,要充分利用y=tanα的单调性.跟踪训练1(1)若平面内三点A(1,-a),B(2,a2),C(3,a3)共线,则a等于()A.1±2或0B.2-52或0C.2±52D.2+52或0答案A解析∵平面内三点A(1,-a),B(2,a2),C(3,a3)共线,∴kAB=kAC,即a2+a2-1=a3+a3-1,即a(a2-2a-1)=0,6解得a=0或a=1±2.故选A.(2)直线l经过点A(3,1),B(2,-m2)(m∈R)两点,则直线l的倾斜角α的取值范围是.答案π4,π2解析直线l的斜率k=1+m23-2=1+m2≥1,所以k=tanα≥1.又y=tanα在0,π2上是增函数,因此π4≤απ2.题型二求直线的方程例2求适合下列条件的直线方程:(1)经过点P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等;(2)过点A(-1,-3),斜率是直线y=3x的斜率的-14;(3)过点A(1,-1)与已知直线l1:2x+y-6=0相交于B点且|AB|=5.解(1)方法一设直线l在x,y轴上的截距均为a,若a=0,即l过点(0,0)和(3,2),∴l的方程为y=23x,即2x-3y=0.若a≠0,则设l的方程为xa+ya=1,∵l过点(3,2),∴3a+2a=1,∴a=5,∴l的方程为x+y-5=0,综上可知,直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0.方法二由题意,所求直线的斜率k存在且k≠0,设直线方程为y-2=k(x-3),令y=0,得x=3-2k,令x=0,得y=2-3k,由已知3-2k=2-3k,解得k=-1或k=23,7∴直线l的方程为y-2=-(x-3)或y-2=23(x-3),即x+y-5=0或2x-3y=0.(2)设所求直线的斜率为k,依题意k=-14×3=-34.又直线经过点A(-1,-3),因此所求直线方程为y+3=-34(x+1),即3x+4y+15=0.(3)过点A(1,-1)与y轴平行的直线为x=1.解方程组x=1,2x+y-6=0,求得B点坐标为(1,4),此时|AB|=5,即x=1为所求.设过A(1,-1)且与y轴不平行的直线为y+1=k(x-1),解方程组2x+y-6=0,y+1=kx-1,得两直线交点为x=k+7k+2,y=4k-2k+2.(k≠-2,否则与已知直线平行).则B点坐标为k+7k+2,4k-2k+2.由已知k+7k+2-12+4k-2k+2+12=52,解得k=-34,∴y+1=-34(x-1),即3x+4y+1=0.综上可知,所求直线的方程为x=1或3x+4y+1=0.思维升华在求直线方程时,应先选择适当的直线方程的形式,并注意各种形式的适用条件.若采用截距式,应注意分类讨论,判断截距是否为零;若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况.跟踪训练2根据所给条件求直线的方程:8(1)直线过点(-4,0),倾斜角的正弦值为1010;(2)经过点P(4,1),且在两坐标轴上的截距相等;(3)直线过点(5,10),到原点的距离为5.解(1)由题设知,该直线的斜率存在,故可采用点斜式.设倾斜角为α,则sinα=1010(0απ),从而cosα=±31010,则k=tanα=±13.故所求直线方程为y=±13(x+4).即x+3y+4=0或x-3y+4=0.(2)设直线l在x,y轴上的截距均为a.若a=0,即l过(0,0)及(4,1)两点,∴l的方程为y=14x,即x-4y=0.若a≠0,则设l的方程为xa+ya=1,∵l过点(4,1),∴4a+1a=1,∴a=5,∴l的方程为x+y-5=0.综上可知,直线l的方程为x-4y=0或x+y-5=0.(3)当斜率不存在时,所求直线方程为x-5=0;当斜率存在时,设其为k,则所求直线方程为y-10=k(x-5),即kx-y+(10-5k)=0.由点到直线的距离公式,得|10-5k|k2+1=5,解得k=34.故所求直线方程为3x-4y+25=0.综上可知,所求直线方程为x-5=0或3x-4y+25=0.题型三直线方程的综合应用命题点1与均值不等式相结合求最值问题例3(2018·包头模拟)已知直线l过点M(2,1),且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A,B9两点,O为坐标原点,求当|MA→|·|MB→|取得最小值时直线l的方程.解设A(a,0),B(0,b),则a0,b0,直线l的方程为xa+yb=1,所以2a+1b=1.|MA→|·|MB→|=-MA→·MB→=-(a-2,-1)·(-2,b-1)=2(a-2)+b-1=2a+b-5=(2a+b)2a+1b-5=2ba+2ab≥4,当且仅当a=b=3时取等号,此时直线l的方程为x+y-3=0.命题点2由直线方程解决参数问题例4已知直线l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4,当0a2时,直线l1,l2与两坐标轴围成一个四边形,当四边形的面积最小时,求实数a的值.解由题意知直线l1,l2恒过定点P(2,2),直线l1在y轴上的截距为2-a,直线l2在x轴上的截距为a2+2,所以四边形的面积S=12×2×(2-a)+12×2×(a2+2)=a2-a+4=a-122+154,当a=12时,四边形的面积最小.思维升华与直线方程
本文标题:2020版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.1 直线的方程教案 理(含解析)新人教A版
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