2020版高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ2.8 函数与方程教案 理（含解析）新

1§2.8函数与方程最新考纲考情考向分析结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.利用函数零点的存在性定理或函数的图象，对函数是否存在零点进行判断或利用零点(方程实根)的存在情况求相关参数的范围，是高考的热点，题型以选择、填空题为主，也可和导数等知识交汇出现解答题，中高档难度.1．函数的零点一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点．2．零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)f(b)0，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0.如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点．3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与零点的关系Δ0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数210概念方法微思考函数f(x)的图象连续不断，是否可得到函数f(x)只有一个零点？提示不能．2题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(×)(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)0.(×)(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac0时没有零点．(√)(4)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)f(x)g(x)．(√)题组二教材改编2．函数f(x)＝lnx－2x的零点所在的大致区间是()A．(1,2)B．(2,3)C.1e，1和(3,4)D．(4，＋∞)答案B解析∵f(2)＝ln2－10，f(3)＝ln3－230且函数f(x)的图象在(0，＋∞)上连续不断，f(x)为增函数，∴f(x)的零点在区间(2,3)内．3．函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是()A．0B．1C．2D．3答案B解析由f′(x)＝ex＋30，得f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝1e－30，f(0)＝10，因此函数f(x)有且只有一个零点．题组三易错自纠4．函数f(x)＝ln2x－3lnx＋2的零点是()A．(e,0)或(e2,0)B．(1,0)或(e2,0)C．(e2,0)D．e或e2答案D解析f(x)＝ln2x－3lnx＋2＝(lnx－1)(lnx－2)，由f(x)＝0得x＝e或x＝e2.5．已知函数f(x)＝x－x(x0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋lnx(x0)的零点分别为x1，x2，x3，则()3A．x1x2x3B．x2x1x3C．x2x3x1D．x3x1x2答案C解析作出y＝x与y＝x(x0)，y＝－ex，y＝－lnx(x0)的图象，如图所示，可知选C.6．若二次函数f(x)＝x2－2x＋m在区间(0,4)上存在零点，则实数m的取值范围是________．答案(－8,1]解析m＝－x2＋2x在(0,4)上有解，又－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，∴y＝－x2＋2x在(0,4)上的值域为(－8,1]，∴－8m≤1.题型一函数零点所在区间的判定1．函数f(x)＝lnx－2x－1的零点所在的区间是()A．(1,2)B．(2,3)C．(3,4)D．(4,5)答案B解析函数f(x)＝lnx－2x－1在(1，＋∞)上是增函数，且在(1，＋∞)上连续．因为f(2)＝ln2－20，f(3)＝ln3－10，所以f(2)f(3)0，所以函数的零点所在的区间是(2,3)．2．若abc，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内答案A解析∵abc，∴f(a)＝(a－b)(a－c)0，f(b)＝(b－c)(b－a)0，f(c)＝(c－a)(c－b)0，由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点．因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选A.3．已知函数f(x)＝logax＋x－b(a0且a≠1)．当2a3b4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N＋，则n＝________.4答案2解析对于函数y＝logax，当x＝2时，可得y1，当x＝3时，可得y1，在同一坐标系中画出函数y＝logax，y＝－x＋b的图象，判断两个函数图象的交点的横坐标在(2,3)内，∴函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)时，n＝2.思维升华判断函数零点所在区间的基本依据是零点存在性定理．对于含有参数的函数的零点区间问题，往往要结合图象进行分析，一般是转化为两函数图象的交点，分析其横坐标的情况进行求解．题型二函数零点个数的判断例1(1)函数f(x)＝x2－2，x≤0，2x－6＋lnx，x0的零点个数是________．答案2解析当x≤0时，令x2－2＝0，解得x＝－2(正根舍去)，所以在(－∞，0]上，f(x)有一个零点；当x0时，f′(x)＝2＋1x0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．又因为f(2)＝－2＋ln20，f(3)＝ln30，所以f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2.(2)(2018·呼伦贝尔模拟)函数f(x)＝|x－2|－lnx在定义域内的零点的个数为()A．0B．1C．2D．3答案C解析由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y＝|x－2|(x0)，y＝lnx(x0)的图象，如图所示．由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.(3)函数f(x)＝x－cosx在[0，＋∞)内()A．没有零点B．有且仅有一个零点C．有且仅有两个零点D．有无穷多个零点5答案B解析当x∈(0,1]时，因为f′(x)＝12x＋sinx，x0，sinx0，所以f′(x)0，故f(x)在[0,1]上单调递增，且f(0)＝－10，f(1)＝1－cos10，所以f(x)在[0,1]内有唯一零点．当x1时，f(x)＝x－cosx0，故函数f(x)在[0，＋∞)上有且仅有一个零点，故选B.思维升华函数零点个数的判断方法(1)直接求零点．(2)利用零点存在性定理再结合函数的单调性确定零点个数．(3)利用函数图象的交点个数判断．跟踪训练1(1)已知函数f(x)＝x2＋2x，x≤0，|lgx|，x0，则函数g(x)＝f(1－x)－1的零点个数为()A．1B．2C．3D．4答案C解析g(x)＝f(1－x)－1＝1－x2＋21－x－1，1－x≤0，|lg1－x|－1，1－x0＝x2－4x＋2，x≥1，|lg1－x|－1，x1，易知当x≥1时，函数g(x)有1个零点；当x1时，函数g(x)有2个零点，所以函数g(x)的零点共有3个，故选C.(2)函数f(x)＝4cos2x2·cosπ2－x－2sinx－|ln(x＋1)|的零点个数为________．答案2解析f(x)＝2(1＋cosx)sinx－2sinx－|ln(x＋1)|＝sin2x－|ln(x＋1)|，x－1，函数f(x)的零点个数即为函数y1＝sin2x(x－1)与y2＝|ln(x＋1)|(x－1)的图象的交点个数．分别作出两个函数的图象，如图，可知有两个交点，则f(x)有两个零点．题型三函数零点的应用6命题点1根据函数零点个数求参数例2(1)(2018·大连模拟)若函数f(x)＝x2－ax＋1在区间12，3上有零点，则实数a的取值范围是()A．(2，＋∞)B．[2，＋∞)C.2，52D.2，103答案D解析由题意知方程ax＝x2＋1在12，3上有实数解，即a＝x＋1x在12，3上有解，设t＝x＋1x，x∈12，3，则t的取值范围是2，103.所以实数a的取值范围是2，103.(2)已知函数21211log1xxfxxx－，＜，＝，≥，若关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是______．答案(－1,0)解析关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实根，等价于函数y＝f(x)与函数y＝k的图象有三个不同的交点，作出函数的图象如图所示，由图可知实数k的取值范围是(－1,0)．命题点2根据函数零点的范围求参数例3若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋2m＋1的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是____________．答案14，12解析依题意，结合函数f(x)的图象分析可知，m需满足m≠2，f－1·f00，f1·f20，即m≠2，m－2－m＋2m＋12m＋10，m－2＋m＋2m＋1[4m－2＋2m＋2m＋1]0，7解得14m12.思维升华根据函数零点的情况求参数有三种常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．跟踪训练2(1)方程12log(2)2xax－＝＋有解，则a的最小值为________．答案1解析若方程12log(2)2xax－＝＋有解，则122＋x＝a－2x有解，即1412x＋2x＝a有解，因为1412x＋2x≥1，故a的最小值为1.(2)已知函数f(x)＝2x－1，x0，x2＋x，x≤0，若函数g(x)＝f(x)－m有三个零点，则实数m的取值范围是________．答案－14，0解析作出函数f(x)的图象如图所示．当x≤0时，f(x)＝x2＋x＝x＋122－14≥－14，若函数f(x)与y＝m的图象有三个不同的交点，则－14m≤0，即实数m的取值范围是－14，0.利用转化思想求解函数零点问题在求和函数零点有关的参数范围问题中，一般有两种思路：(1)函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，利用数形结合求解参数范围．(2)“a＝f(x)有解”型问题，可以通过求函数y＝f(x)的值域解决．例(1)若函数f(x)＝|logax|－2－x(a0且a≠1)的两个零点是m，n，则()8A．mn＝1B．mn1C．0mn1D．以上都不对答案C解析由题设可得|logax|＝12x，不妨设a1，mn，画出函数y＝|logax|，y＝12x的图象如图所示，结合图象可知0m1，n1，且－logam＝12m，logan＝12n，以上两式两边相减可得loga(mn)＝12n－12m0，所以0mn1，故选C.(2)(2018·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ex，x≤0，lnx，x0，g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A．[－1,0)B．[0，＋∞)C．[－1，＋∞)D．[1，＋∞)答案C解析令h(x)＝－x－a，则g(x)＝f(x)－h(x)．在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)图象的示意图，如图所示．若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点．方法一平移y＝h(x)的图象可知，当直线y＝－x－a过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－a，a＝－1.当y＝－x－a在y