（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第五章 平面向量、复数 5.3 平面向量的数量积教案（含解

1§5.3平面向量的数量积考情考向分析主要考查利用数量积的定义解决数量积的运算、求模与夹角等问题，考查利用数量积的坐标表示求两个向量的夹角、模以及判断两个平面向量的平行与垂直关系．一般以填空题的形式考查，偶尔会在解答题中出现，属于中档题．1．向量的夹角已知两个非零向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π]．2．平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b投影|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积拓展：向量数量积不满足：①消去律，即a·b＝a·c⇏b＝c；②结合律，即(a·b)·c⇏a·(b·c)．3．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)＝λa·b.(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.结论几何表示坐标表示模|a|＝a·a|a|＝x21＋y212夹角cosθ＝a·b|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤x21＋y21x22＋y22概念方法微思考1．a在b方向上的投影与b在a方向上的投影相同吗？提示不相同．因为a在b方向上的投影为|a|cosθ，而b在a方向上的投影为|b|cosθ，其中θ为a与b的夹角．2．两个向量的数量积大于0，则夹角一定为锐角吗？提示不一定．当夹角为0°时，数量积也大于0.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(√)(2)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(×)(3)(a·b)c＝a(b·c)．(×)(4)两个向量的夹角的范围是0，π2.(×)(5)若a·b0，则a和b的夹角为锐角；若a·b0，则a和b的夹角为钝角．(×)题组二教材改编2．[P90T18]已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝________.答案12解析∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，∴10＋2－k＝0，解得k＝12.3．[P89T8]已知两个单位向量e1，e2的夹角为π3.若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________.答案－6解析b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，3则b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e21－2e1·e2－8e22.因为e1，e2为单位向量，〈e1，e2〉＝π3，所以b1·b2＝3－2×12－8＝3－1－8＝－6.题组三易错自纠4．已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.答案23解析方法一|a＋2b|＝a＋2b2＝a2＋4a·b＋4b2＝22＋4×2×1×cos60°＋4×12＝12＝23.方法二(数形结合法)由|a|＝|2b|＝2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a＋2b|＝|OC→|.又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝23.5．已知|a|＝3，|b|＝2，若a·b＝－3，则a与b的夹角的大小为________．答案2π3解析设a与b的夹角为θ，则cosθ＝a·b|a||b|＝－33×2＝－12.又0≤θ≤π，所以θ＝2π3.6．已知△ABC的三边长均为1，且AB→＝c，BC→＝a，CA→＝b，则a·b＋b·c＋a·c＝________.答案－32解析∵〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈a，c〉＝120°，|a|＝|b|＝|c|＝1，∴a·b＝b·c＝a·c＝1×1×cos120°＝－12，∴a·b＋b·c＋a·c＝－32.4题型一平面向量数量积的基本运算1．(2018·全国Ⅱ改编)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝________.答案3解析a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b.∵|a|＝1，a·b＝－1，∴原式＝2×12＋1＝3.2．(2018·苏北四市调研)已知平面向量a与b的夹角等于π3，若|a|＝2，|b|＝3，则|2a－3b|＝________.答案61解析由题意可得a·b＝|a|·|b|cosπ3＝3，所以|2a－3b|＝2a－3b2＝4|a|2＋9|b|2－12a·b＝16＋81－36＝61.3．(2018·江苏)在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B(5,0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若AB→·CD→＝0，则点A的横坐标为________．答案3解析设A(a,2a)，则a＞0.又B(5,0)，故以AB为直径的圆的方程为(x－5)(x－a)＋y(y－2a)＝0.由题意知Ca＋52，a.由x－5x－a＋yy－2a＝0，y＝2x，解得x＝1，y＝2或x＝a，y＝2a.∴D(1,2)．又AB→·CD→＝0，AB→＝(5－a，－2a)，CD→＝1－a＋52，2－a，∴(5－a，－2a)·1－a＋52，2－a＝52a2－5a－152＝0，解得a＝3或a＝－1.又a＞0，∴a＝3.4．(2018·江苏淮安清江中学调研)如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，D为BC边上的点，且AD→·BC→＝0，CE→＝2EB→，则AD→·AE→＝________.5答案1解析∵AD→·BC→＝0，∴AD→⊥BC→，且D为BC的中点，∠B＝∠C＝30°，∴在Rt△ADB中可求得AD＝1，AD→·DE→＝0，∵AD→·AE→＝AD→·(AD→＋DE→)＝AD→2＋AD→·DE→，∴AD→·AE→＝1.思维升华平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.(3)利用数量积的几何意义求解．题型二平面向量数量积的应用命题点1求向量的模与夹角例1(1)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝5，AC＝6，D是AB上一点，且AB→·CD→＝－5，则|BD→|＝________.答案3解析如图所示，设AD→＝kAB→，所以CD→＝AD→－AC→＝kAB→－AC→，所以AB→·CD→＝AB→·(kAB→－AC→)＝kAB→2－AB→·AC→＝25k－5×6×12＝25k－15＝－5，6解得k＝25，所以|BD→|＝1－25|AB→|＝3.(2)设向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·(a－b)＝3，则a与b的夹角为________．答案π3解析由题意得a·(a－b)＝a2－a·b＝4－2×1×cosα＝4－2cosα＝3，∴cosα＝12，∵0≤α≤π，∴α＝π3.(3)设向量a，b，c满足|a|＝|b|＝2，a·b＝－2，〈a－c，b－c〉＝60°，则|c|的最大值为________．答案4解析因为|a|＝|b|＝2，a·b＝－2，所以cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝－12，〈a，b〉＝120°.如图所示，设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，则CA→＝a－c，CB→＝b－c，∠AOB＝120°.所以∠ACB＝60°，所以∠AOB＋∠ACB＝180°，所以A，O，B，C四点共圆．不妨设为圆M，因为AB→＝b－a，所以AB→2＝a2－2a·b＋b2＝12.所以|AB→|＝23，由正弦定理可得△AOB的外接圆即圆M的直径为2R＝|AB→|sin∠AOB＝4.所以当|OC→|为圆M的直径时，|c|取得最大值4.命题点2平面向量的平行与垂直例2在平面直角坐标系xOy中，已知向量AB→＝(6,1)，BC→＝(x，y)，CD→＝(－2，－3)，且AD→∥BC→.7(1)求x与y之间的关系式；(2)若AC→⊥BD→，求四边形ABCD的面积．解(1)由题意得AD→＝AB→＋BC→＋CD→＝(x＋4，y－2)，BC→＝(x，y)．因为AD→∥BC→，所以(x＋4)y－(y－2)x＝0，即x＋2y＝0.(2)由题意AC→＝AB→＋BC→＝(x＋6，y＋1)，BD→＝BC→＋CD→＝(x－2，y－3)．因为AC→⊥BD→，所以(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0，即x2＋y2＋4x－2y－15＝0，联立x＋2y＝0，x2＋y2＋4x－2y－15＝0，解得x＝2，y＝－1或x＝－6，y＝3，当x＝2，y＝－1时，AC→＝(8,0)，BD→＝(0，－4)，S四边形ABCD＝12×AC×BD＝16；当x＝－6，y＝3时，AC→＝(0,4)，BD→＝(－8,0)，S四边形ABCD＝12×AC×BD＝16.所以四边形ABCD的面积为16.思维升华(1)求解平面向量模的方法①利用公式|a|＝x2＋y2.②利用|a|＝a2.(2)求平面向量的夹角的方法①定义法：cosθ＝a·b|a||b|，θ的取值范围为[0，π]．②坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.③解三角形法：把两向量的夹角放到三角形中．跟踪训练1(1)(2018·江苏无锡梅村高中模拟)如图，在平面四边形ABCD中，AB＝2，△BCD8是等边三角形，若AC→·BD→＝1，则AD的长为________．答案6解析取BD的中点H，连结AH，CH，由△BCD为等边三角形，可得CH⊥BD，由AC→·BD→＝1，可得(AH→＋HC→)·BD→＝AH→·BD→＋HC→·BD→＝AH→·BD→＝12(AD→＋AB→)·(AD→－AB→)＝12(AD→2－AB→2)＝1，可得AD→2＝AB→2＋2＝4＋2＝6，所以|AD→|＝6.(2)已知平面向量α，β满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，则α的模的取值范围是________．答案0，233解析设在△ABC中，a＝|β|＝1，A＝60°，|α|＝c，由正弦定理得asinA＝csinC，则asinCsinA＝c，即c＝233sinC.又0sinC≤1，即c的取值范围是0，233，则α的模的取值范围是0，233.(3)设a，b，c是同一平面内的三个向量，a＝(1,2)．①若|c|＝25，且c∥a，求c的坐标；9②若|b|＝52，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.解①因为c∥a，设c＝λa＝(λ，2λ)，又|c|＝25，所以5λ2＝20，解得λ＝±2，所以c＝(2,4)或(－2，－4)．②因为(a＋2b)·(2a－b)＝0，所以2a2－a·b＋4a·b－2b2＝0，解得a·b＝－52，即5·52·cosθ＝－52，又0≤θ≤π，所以θ＝π.题型三平面向量与三角函数例3如图，A是单位圆与x轴正半轴的交点，点B，P在单位圆上，且B－35，45，∠AOB＝α，∠AOP＝θ(0θπ)，OQ→＝OA→＋OP→，四边形OAQP的面积为S.(1)求cosα＋sinα；(2)求OA→·OQ→＋S的最大值及此时θ的值θ0.解(1)∵B－35，45，∠AOB＝α，∴cosα＝－35，sinα＝45，∴cosα＋sinα＝15.(2)由已知得A(1,0)，P(cosθ，sinθ)，∴OQ→＝(1＋cosθ，sinθ)，OA→·OQ→＝1＋cosθ，又S＝sinθ，∴OA→·OQ→＋