（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第五章 平面向量、复数 5.1 平面向量的概念及线性运算教

1第五章平面向量、复数考试内容等级要求平面向量的概念B平面向量的加法、减法及数乘运算B平面向量的坐标表示B平面向量的数量积C平面向量的平行与垂直B平面向量的应用A复数的概念B复数的四则运算B复数的几何意义A§5.1平面向量的概念及线性运算考情考向分析主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、共线向量定理，常与三角函数、解析几何交汇考查，有时也会有新定义问题；题型以填空题为主，属于中低档题目．偶尔会在解答题中作为工具出现．1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行或共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律2加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ0时，λa与a的方向相同；当λ0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb口诀：(加法三角形)首尾连，连首尾；(加法平行四边形)起点相同连对角；(减法三角形)共起点，连终点，指向被减．3．向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.概念方法微思考1．若b与a共线，则存在实数λ使得b＝λa，对吗？提示不对，因为当a＝0，b≠0时，不存在λ满足b＝λa.2．如何理解数乘向量？提示λa的大小为|λa|＝|λ||a|，方向要分类讨论：当λ0时，λa与a同方向；当λ0时，λa与a反方向；当λ＝0或a为零向量时，λa为零向量，方向不确定．3．如何理解共线向量定理？提示如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使得a＝λb.题组一思考辨析31．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．(√)(2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关．(√)(3)若a∥b，b∥c，则a∥c.(×)(4)若向量AB→与向量CD→是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(×)(5)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．(√)(6)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．(×)题组二教材改编2．[P72T8]已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且OA→＝a，OB→＝b，则DC→＝________，BC→＝________.(用a，b表示)答案b－a－a－b解析如图，DC→＝AB→＝OB→－OA→＝b－a，BC→＝OC→－OB→＝－OA→－OB→＝－a－b.3．[P73T13]在平行四边形ABCD中，若|AB→＋AD→|＝|AB→－AD→|，则四边形ABCD的形状为________．答案矩形解析如图，因为AB→＋AD→＝AC→，AB→－AD→＝DB→，所以|AC→|＝|DB→|.由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，平行四边形ABCD是矩形．题组三易错自纠4．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案充分不必要解析若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b.若a∥b，则a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．45．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____________.答案12解析∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b与a＋2b平行，则存在唯一的实数μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，则λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12.6．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若DE→＝λ1AB→＋λ2AC→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．答案12解析∵DE→＝DB→＋BE→＝12AB→＋23BC→＝12AB→＋23(BA→＋AC→)＝－16AB→＋23AC→，∴λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.题型一平面向量的概念1．给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；③若A，B，C，D是不共线的四点，且AB→＝DC→，则四边形ABCD为平行四边形；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；⑤已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中真命题的序号是________．答案③解析①错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；②错误，若b＝0，则a与c不一定共线；③正确，因为AB→＝DC→，所以|AB→|＝|DC→|且AB→∥DC→；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；④错误，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件；5⑤错误，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．2．给出下列四个命题：①若a∥b，则a＝b；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若|a|＝|b|，则a∥b；④若a＝b，则|a|＝|b|.其中正确命题的个数是________．答案1解析只有④正确．思维升华向量有关概念的关键点(1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线．题型二平面向量的线性运算命题点1向量的线性运算例1(1)在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，设AB→＝a，AD→＝b，则向量BF→＝________.(用向量a，b表示)答案－13a＋23b解析BF→＝23BE→＝23(BC→＋CE→)＝23b－12a＝－13a＋23b.(2)(2018·全国Ⅰ改编)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则用向量AB→，AC→表示EB→为________．答案EB→＝34AB→－14AC→解析作出示意图如图所示．6EB→＝ED→＋DB→＝12AD→＋12CB→＝12×12(AB→＋AC→)＋12(AB→－AC→)＝34AB→－14AC→.命题点2根据向量线性运算求参数例2(1)如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点．若BE→＝λBA→＋μBD→(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________.答案34解析∵E为线段AO的中点，∴BE→＝12BA→＋12BO→＝12BA→＋1212BD→＝12BA→＋14BD→＝λBA→＋μBD→，∴λ＋μ＝12＋14＝34.(2)在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝23，BC＝2，点E在线段CD上，若AE→＝AD→＋μAB→，则μ的取值范围是________．答案0，12解析由题意可求得AD＝1，CD＝3，∴AB→＝2DC→.∵点E在线段CD上，∴DE→＝λDC→(0≤λ≤1)．∵AE→＝AD→＋DE→＝AD→＋λDC→，又AE→＝AD→＋μAB→＝AD→＋2μDC→，∴2μ＝λ，即μ＝λ2.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤12.7思维升华平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法和减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．(2)求已知向量的和．共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．跟踪训练1(1)在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且BD→＝2DC→，CE→＝3EA→，若AB→＝a，AC→＝b，则DE→＝________.(用向量a，b表示)答案－13a－512b解析DE→＝DC→＋CE→＝13BC→＋34CA→＝13(AC→－AB→)－34AC→＝－13AB→－512AC→＝－13a－512b.(2)在平行四边形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，若AB→＝xAE→＋yAF→(x，y∈R)，则x－y＝________.答案2解析由题意得AE→＝AB→＋BE→＝AB→＋12AD→，AF→＝AD→＋DF→＝AD→＋12AB→，因为AB→＝xAE→＋yAF→，所以AB→＝x＋y2AB→＋x2＋yAD→，所以x＋y2＝1，x2＋y＝0，解得x＝43，y＝－23，所以x－y＝2.8题型三共线定理的应用例3(1)已知D为△ABC的边AB的中点．点M在DC上且满足5AM→＝AB→＋3AC→，则△ABM与△ABC的面积比为________．答案3∶5解析由5AM→＝AB→＋3AC→，得2AM→＝2AD→＋3AC→－3AM→，即2(AM→－AD→)＝3(AC→－AM→)，即2DM→＝3MC→，故DM→＝35DC→，故△ABM与△ABC同底且高的比为3∶5，故S△ABM∶S△ABC＝3∶5.(2)(2018·盐城模拟)如图，经过△OAB的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设OP→＝mOA→，OQ→＝nOB→，m，n∈R，则1n＋1m的值为________．答案3解析设OA→＝a，OB→＝b，由题意知OG→＝23×12(OA→＋OB→)＝13(a＋b)，PQ→＝OQ→－OP→＝nb－ma，PG→＝OG→－OP→＝13－ma＋13b.由P，G，Q三点共线，得存在实数λ使得PQ→＝λPG→，即nb－ma＝λ13－ma＋13λb，从而－m＝λ13－m，n＝13λ，消去λ，得1n＋1m＝3.思维升华(1)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区9别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立；若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a，b不共线．跟踪训练2如图，△ABC中，在AC上取一点N，使AN＝13AC；在AB上取一点M，使AM＝13AB；在BN的延长线上取点P，使得NP＝12BN；在CM的延长线上取点Q，使得MQ→＝λCM→时，AP→＝QA→，试确定λ的值．解∵AP→＝NP→－NA→＝12(BN→－CN→)＝12(BN→＋NC→)＝12BC→，QA→＝MA→－MQ→＝12BM→＋λMC→，又AP→＝QA→，∴12BM→＋λMC→＝12BC→，即λMC→＝12MC→，∴λ＝12.1．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，真命题的个数是________．答案0解析向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0模相等，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．2．在四边形ABCD中，若AC→＝AB→＋AD→，则四边形ABCD的形状是________．答案平行四边形解析依题意知AC是以AB，AD为相邻两边的平行四边形的对角线，所以四边形ABCD是平行四边形．3．在△ABC中，AB→＝c，AC→＝b，若点D满足BD→＝2DC→，则AD→＝________.答案23b＋13c10解析如图，因为在△ABC中，AB→＝c，AC→＝b，且点D