（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第十二章 系列4选讲 12.2 坐标系与参数方程（第1课时

1第1课时坐标系考情考向分析极坐标方程与直角坐标方程互化是重点，主要与参数方程相结合进行考查，以解答题的形式考查，属于低档题．1．平面直角坐标系在平面上，取两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定一个长度单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系．它使平面上任意一点P都可以由唯一的有序实数对(x，y)确定，(x，y)称为点P的坐标．2．极坐标系(1)极坐标与极坐标系的概念一般地，在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．点O称为极点，射线Ox称为极轴．平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从射线Ox到射线OM的角度θ来刻画(如图所示)．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系．我们约定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角．(2)极坐标与直角坐标的互化设M为平面内的任一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面关系式2成立：x＝ρcosθ，y＝ρsinθ或ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yxx≠0，这就是极坐标与直角坐标的互化公式．3．常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆ρ＝r(0≤θ2π)圆心为(r,0)，半径为r的圆ρ＝2rcos_θ－π2≤θπ2圆心为r，π2，半径为r的圆ρ＝2rsin_θ(0≤θπ)过极点，倾斜角为α的直线θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)过点(a,0)，与极轴垂直的直线ρcosθ＝a－π2θπ2过点a，π2，与极轴平行的直线ρsin_θ＝a(0θπ)题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．(×)(2)若点P的直角坐标为(1，－3)，则点P的一个极坐标是2，－π3.(√)(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．(√)(4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．(×)题组二教材改编2．[P11例5]在直角坐标系中，若点P的坐标为(－2，－6)，则点P的极坐标为________．3答案22，4π3解析ρ＝－22＋－62＝22，tanθ＝－6－2＝3，又点P在第三象限，得θ＝4π3，即P22，4π3.3．[P32习题T4]若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为________________________．答案ρ＝1cosθ＋sinθ0≤θ≤π2解析∵y＝1－x(0≤x≤1)，∴ρsinθ＝1－ρcosθ(0≤ρcosθ≤1)，∴ρ＝1sinθ＋cosθ0≤θ≤π2.4．[P32习题T5]在极坐标系中，圆ρ＝－2sinθ(ρ≥0,0≤θ2π)的圆心的极坐标是________．答案1，3π2解析由ρ＝－2sinθ，得ρ2＝－2ρsinθ，化成直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，化成标准方程为x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为1，3π2.题组三易错自纠5．在极坐标系中，已知点P2，π6，则过点P且平行于极轴的直线方程是________．答案ρsinθ＝1解析先将极坐标化成直角坐标，P2，π6转化为直角坐标为x＝ρcosθ＝2cosπ6＝3，y＝ρsinθ＝2sinπ6＝1，即P(3，1)，过点P(3，1)且平行于x轴的直线为y＝1，再化为极坐标为ρsinθ＝1.6．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ，则曲线C的直角坐标方程为____________．答案x2＋y2－2y＝0解析由ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ，所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0.7．在极坐标系下，若点P(ρ，θ)的一个极坐标为4，2π3，求以ρ2，θ2为坐标的不同的点的极坐标．4解∵4，2π3为点P(ρ，θ)的一个极坐标．∴ρ＝4或ρ＝－4.当ρ＝4时，θ＝2kπ＋2π3(k∈Z)，∴ρ2＝2，θ2＝kπ＋π3(k∈Z)．当ρ＝－4时，θ＝2kπ＋5π3(k∈Z)，∴ρ2＝－2，θ2＝kπ＋5π6(k∈Z)．∴ρ2，θ2有四个不同的点：P12，2kπ＋π3(k∈Z)，P22，2kπ＋4π3(k∈Z)，P3－2，2kπ＋5π6(k∈Z)，P4－2，2kπ＋11π6(k∈Z)．题型一极坐标与直角坐标的互化1．(2018·南京模拟)在极坐标系中，已知圆C经过点P2，π3，圆心C为直线ρsinθ－π3＝－3与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．解以极点为坐标原点，极轴为x轴建立平面直角坐标系，则直线方程为y＝3x－23，点P的直角坐标为(1，3)，令y＝0，得x＝2，所以C(2,0)，所以圆C的半径PC＝2－12＋0－32＝2，所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－0)2＝4，即x2＋y2－4x＝0，所以圆C的极坐标方程为ρ＝4cosθ.2．(2019·江苏省徐州一中月考)在极坐标系中，已知圆C：ρ＝4cosθ被直线l：ρsinθ－π6＝a截得的弦长为23，求实数a的值．解因为圆C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4，直线l的直角坐标方程为x－3y＋2a＝0，所以圆心C到直线l的距离d＝|2＋2a|2＝|1＋a|，5因为圆C被直线l截得的弦长为23，所以r2－d2＝3.即4－(1＋a)2＝3，解得a＝0或a＝－2.3．(2018·苏州期中)已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为x＝rcosθ＋2，y＝rsinθ＋2(θ为参数，r0)．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρsinθ＋π4＋1＝0.(1)求圆C的圆心的极坐标；(2)当圆C与直线l有公共点时，求r的取值范围．解(1)由C：x＝rcosθ＋2，y＝rsinθ＋2，得(x－2)2＋(y－2)2＝r2，∴曲线C是以(2,2)为圆心，r为半径的圆，∴圆心的极坐标为22，π4.(2)由直线l：2ρsinθ＋π4＋1＝0，得直线l的直角坐标方程为x＋y＋1＝0，从而圆心(2,2)到直线l的距离d＝|2＋2＋1|2＝522.∵圆C与直线l有公共点，∴d≤r，即r≥522.思维升华(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合；③取相同的单位长度．(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x＝ρcosθ及y＝ρsinθ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，进行整体代换．题型二求曲线的极坐标方程例1将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到曲线C.(1)求曲线C的标准方程；(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与直线l垂直的直线的极坐标方程．解(1)设(x1，y1)为圆上的任一点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，依题意，得x＝x1，y＝2y1.6由x21＋y21＝1，得x2＋y22＝1，即曲线C的标准方程为x2＋y24＝1.(2)由x2＋y24＝1，2x＋y－2＝0，解得x＝1，y＝0或x＝0，y＝2.不妨设P1(1,0)，P2(0,2)，则线段P1P2的中点坐标为12，1，所求直线的斜率为k＝12，于是所求直线方程为y－1＝12x－12，化为极坐标方程，并整理得2ρcosθ－4ρsinθ＝－3，故所求直线的极坐标方程为ρ＝34sinθ－2cosθ.思维升华求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点．(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式．(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．跟踪训练1已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆C的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－2y＝0，直线l的参数方程为x＝－1＋t，y＝t(t为参数)，射线OM的极坐标方程为θ＝3π4.(1)求圆C和直线l的极坐标方程；(2)已知射线OM与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．解(1)∵ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，圆C的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－2y＝0，∴ρ2＋2ρcosθ－2ρsinθ＝0，∴圆C的极坐标方程为ρ＝22sinθ－π4.又直线l的参数方程为x＝－1＋t，y＝t(t为参数)，消去t后得y＝x＋1，∴直线l的极坐标方程为sinθ－cosθ＝1ρ.(2)当θ＝3π4时，OP＝22sin3π4－π4＝22，7∴点P的极坐标为22，3π4，OQ＝122＋22＝22，∴点Q的极坐标为22，3π4，故线段PQ的长为322.题型三极坐标方程的应用例2在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ＝4.(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足OM·OP＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为2，π3，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．解(1)设点P的极坐标为(ρ，θ)(ρ0)，点M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ10)．由题意知OP＝ρ，OM＝ρ1＝4cosθ.由OM·OP＝16，得C2的极坐标方程ρ＝4cosθ(ρ0)．因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB0)．由题意，知OA＝2，ρB＝4cosα，于是△OAB的面积S＝12·OA·ρB·sin∠AOB＝4cosα·sinα－π3＝2sin2α－π3－32≤2＋3.当α＝－π12时，S取得最大值2＋3.所以△OAB面积的最大值为2＋3.思维升华极坐标应用中的注意事项(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x轴正半轴重合；③取相同的长度单位．(2)若把直角坐标化为极坐标求极角θ时，应注意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题．(3)由极坐标的意义可知平面上点的极坐标不是唯一的，如果限定ρ取正值，θ∈[0,2π)，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系．跟踪训练2在极坐标系中，求直线ρsinθ＋π4＝2被圆ρ＝4截得的弦长．8解由ρsinθ＋π4＝2，得22(ρsinθ＋ρcosθ)＝2，可化为x＋y－22＝0.圆ρ＝4可化为x2＋y2＝16，圆心(0,0)到直线x＋y－22＝0的距离d＝|22|2＝2，由圆中的弦长公式，得弦长l＝2r2－d2＝242－22＝43.故所求弦长为43.1．(2018·江苏省南京师范大学附属中学模拟)在极坐标系中，已知圆C：ρ＝22cosθ和直线l：θ＝π4(ρ∈R)相交于A，B两点，求线段AB的长．解