（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第六章 数列 高考专题突破三 高考中的数列问题教案（含解析

1高考专题突破三高考中的数列问题题型一子数列问题例1设无穷数列{an}满足：∀n∈N*，anan＋1，an∈N*.记bn＝naa，cn＝1naa(n∈N*)．(1)若bn＝3n(n∈N*)，求证：a1＝2，并求c1的值；(2)若{cn}是公差为1的等差数列，问{an}是否为等差数列？证明你的结论．解(1)因为an∈N*，所以若a1＝1，则b1＝aa1＝a1＝1，与b1＝3矛盾，若a1≥3＝1aa，由anan＋1，可得1≥a1≥3矛盾，所以a1＝2.于是a2＝aa1＝3，从而c1＝11aa＝2aa＝b2＝6.(2){an}是公差为1的等差数列，证明如下：由an＋1an，可知当n≥2时，anan－1，所以an≥an－1＋1，所以an≥am＋(n－m)(mn)，所以11naa＋＋≥1naa＋＋an＋1＋1－(an＋1)，即cn＋1－cn≥an＋1－an，由题设，1≥an＋1－an.又an＋1－an≥1，所以an＋1－an＝1，即{an}是等差数列．思维升华子数列问题的关键是找清数列的项an与其序号n的关系，进而写出通项公式．跟踪训练1设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2，S6＝22.(1)求Sn；(2)若从{an}中抽取一个公比为q的等比数列{nka}，其中k1＝1，且k1k2…kn…，kn∈N*，当q取最小值时，求{kn}的通项公式．解(1)设等差数列的公差为d，则S6＝6a1＋15d＝22.因为a1＝2，解得d＝23，所以an＝23n＋43，Sn＝12n23n＋43＋2＝nn＋53(n∈N*)．(2)因为数列{an}是正项递增等差数列，所以数列{nka}的公比q1.2要使q最小，只需要k2最小即可．若k2＝2，则由a2＝83，得q＝a2a1＝43，此时3ka＝2×432＝329.由329＝23(n＋2)，解得n＝103∉N*，所以k22.同理k23.若k2＝4，则由a4＝4，得q＝2，此时nka＝2n.因为nka＝23(kn＋2)，所以23(kn＋2)＝2n，即kn＝3×2n－1－2，所以对任何正整数n，nka是数列{an}的第3×2n－1－2项，且最小的公比q＝2，则kn＝3×2n－1－2(n∈N*)．题型二新数列问题例2(2018·扬州模拟)对于数列{xn}，若对任意n∈N*，都有xn＋2－xn＋1xn＋1－xn成立，则称数列{xn}为“增差数列”．设an＝t3n＋n2－13n，若数列a4，a5，a6，…，an(n≥4，n∈N*)是“增差数列”，则实数t的取值范围是________．答案215，＋∞解析数列a4，a5，a6，…，an(n≥4，n∈N*)是“增差数列”，故得到an＋2＋an2an＋1(n≥4，n∈N*)，即t[3n＋2＋n＋22]－13n＋2＋t3n＋n2－13n2t[3n＋1＋n＋12]－13n＋1(n≥4，n∈N*)，化简得到(2n2－4n－1)t2(n≥4，n∈N*)，即t22n2－4n－1对于n≥4恒成立，当n＝4时，2n2－4n－1有最小值15，故实数t的取值范围是215，＋∞.思维升华根据新数列的定义建立条件和结论间的联系是解决此类问题的突破口，灵活对新数列的特征进行转化是解题的关键．跟踪训练2(1)(2018·江苏省海门中学考试)定义“等积数列”，在一个数列中，如果每一项3与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积．已知数列{an}是等积数列且a1＝2，前21项的和为62，则这个数列的公积为________．答案0或8解析当公积为0时，数列a1＝2，a2＝0，a3＝60，a4＝a5＝…＝a21＝0满足题意；当公积不为0时，应该有a1＝a3＝a5＝…＝a21＝2，且a2＝a4＝a6＝…＝a20，由题意可得，a2＋a4＋a6＋…＋a20＝62－2×11＝40，则a2＝a4＝a6＝…＝a20＝4010＝4，此时数列的公积为2×4＝8.综上可得，这个数列的公积为0或8.(2)(2018·盐城模拟)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1,1,2,3,5,8,13，….该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”若{an}是“斐波那契数列”，则(a1a3－a22)(a2a4－a23)(a3a5－a24)…·(a2017·a2019－a22018)的值为________．答案1解析因为a1a3－a22＝1×2－12＝1，a2a4－a23＝1×3－22＝－1，a3a5－a24＝2×5－32＝1，a4a6－a25＝3×8－52＝－1，…，a2017a2019－a22018＝1，共有2017项，所以(a1a3－a22)(a2a4－a23)(a3a5－a24)…(a2017a2019－a22018)＝1.题型三数列与不等式例3已知数列{an}中，a1＝12，其前n项的和为Sn，且满足an＝2S2n2Sn－1(n≥2，n∈N*)．(1)求证：数列1Sn是等差数列；(2)证明：S1＋12S2＋13S3＋…＋1nSn1.证明(1)当n≥2时，Sn－Sn－1＝2S2n2Sn－1，整理得Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1(n≥2)，又S1＝a1＝12，4∴1Sn－1Sn－1＝2，从而1Sn构成以2为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)可知，1Sn＝2＋(n－1)×2＝2n，∴Sn＝12n.∴当n＝1时，1nSn＝121，方法一当n≥2时，1nSn＝12n212·1nn－1＝121n－1－1n，∴S1＋12S2＋13S3＋…＋1nSn12＋121－12＋12－13＋…＋1n－1－1n＝1－12n1.∴原不等式得证．方法二当n≥2时，12n212n2－1＝141n－1－1n＋1，∴S1＋12S2＋13S3＋…＋1nSn12＋141－13＋12－14＋13－15＋…＋1n－2－1n＋1n－1－1n＋1＝12＋141＋12－1n－1n＋1，12＋141＋12＝781.∴原不等式得证．思维升华数列与不等式的交汇问题(1)函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式；(2)放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到．跟踪训练3已知数列{an}为等比数列，数列{bn}为等差数列，且b1＝a1＝1，b2＝a1＋a2，a3＝2b3－6.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设cn＝1bnbn＋2，数列{cn}的前n项和为Tn，证明：15≤Tn13.(1)解设数列{an}的公比为q，数列{bn}的公差为d，5由题意得1＋d＝1＋q，q2＝2(1＋2d)－6，解得d＝q＝2，所以an＝2n－1，bn＝2n－1，n∈N*.(2)证明因为cn＝1bnbn＋2＝12n－12n＋3＝1412n－1－12n＋3，所以Tn＝141－15＋13－17＋…＋12n－3－12n＋1＋12n－1－12n＋3＝141＋13－12n＋1－12n＋3＝13－1412n＋1＋12n＋3，因为1412n＋1＋12n＋30，所以Tn13.又因为Tn在[1，＋∞)上单调递增，所以当n＝1时，Tn取最小值T1＝15，所以15≤Tn13.题型四数列应用问题例4某企业在第1年年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年年初M的价值比上年年初减少10万元；从第7年开始，每年年初M的价值为上年年初的75%.(1)求第n年年初M的价值an的表达式．(2)设An＝a1＋a2＋…＋ann，若An大于80万，则M继续使用；否则，必须在第n年年初对M更新．证明：必须在第9年年初对M更新．(1)解当n≤6时，数列{an}是首项为120，公差为－10的等差数列，an＝120－10(n－1)＝130－10n；当n≥7时，数列{an}是以34a6为首项，公比为34的等比数列，又a6＝70，所以an＝70×34n－6.因此，第n年年初M的价值an的表达式为6an＝130－10n，n≤6，n∈N*，70×34n－6，n≥7，n∈N*.(2)证明设Sn表示数列{an}的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得当1≤n≤6时，Sn＝120n－5n(n－1)，An＝120－5(n－1)＝125－5n；当n≥7时，由于S6＝570，故Sn＝S6＋(a7＋a8＋…＋an)＝570＋70×34×4×1－34n－6＝780－210×34n－6，An＝780－210×34n－6n，因为{an}是递减数列，所以{An}也是递减数列．又A8＝780－210×3428＝82476480，A9＝780－210×3439＝76799680，所以必须在第9年年初对M进行更新．思维升华数列应用题要找准题中的变化关系，提炼出an和n的关系，建立数列模型．跟踪训练4(1)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有________盏灯．答案3解析设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则由题意知S7＝381，q＝2，∴S7＝a11－q71－q＝a11－271－2＝381，解得a1＝3.(2)气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为n＋4910元(n∈N*)，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少)为止，一共使用了________天．答案800解析由第n天的维修保养费为n＋4910元(n∈N*)，可以得出观测仪的整个耗资费用，由平均费用最少而求得最小值成立时相应n的值．设一共使用了n天，则使用n天的平均耗资为3.2×104＋5＋n＋4910n2n＝3.2×104n＋n20＋4.95，当且仅当3.2×104n＝n20时，取得最小值，此7时n＝800.1．(2018·江苏省如皋中学月考)已知数列{an}的首项a1＝35，an＋1＝3an2an＋1，n∈N*.(1)求证：数列1an－1为等比数列；(2)问：是否存在互不相等的正整数m，s，n，使得m，s，n成等差数列，且am－1，as－1，an－1成等比数列？如果存在，请给予证明；如果不存在，请说明理由．(1)证明∵a1＝35，an＋1＝3an2an＋1，∴1an＋1＝23＋13an，∴1an＋1－1＝131an－1，又1a1－1＝23，∴1an－1是以23为首项，13为公比的等比数列．(2)解假设存在，则有m＋n＝2s，①as－12＝am－1an－1，②由(1)可知1an－1＝23×13n－1，∴an＝3n3n＋2，代入②得3s3s＋2－12＝3m3m＋2－13n3n＋2－1，化简得2·3s＝3m＋3n，又由①3m＋3n≥23m＋n＝2·3s，当且仅当m＝n时，等号成立．又m，n，s互不相等，8故2·3s＝3m＋3n不成立．因此不存在互不相等的正整数m，s，n，使m，s，n成等差数列，且am－1，as－1，an－1成等比数列．2．某企业2018年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降，若不进行技术改造，预测从今年起每