（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第七章 不等式、推理与证明、数学归纳法 7.1 不等关系与

1第七章不等式、推理与证明、数学归纳法考试内容等级要求基本不等式C一元二次不等式C线性规划A合情推理与演绎推理B分析法与综合法A反证法A数学归纳法的原理A数学归纳法的简单应用B§7.1不等关系与不等式考情考向分析以理解不等式的性质为主，在高考中主要以填空题形式考查不等式的性质；以主观题形式考查不等式与其他知识的综合．属低档题．1．两个实数比较大小的方法(1)作差法a－b0⇔aba－b＝0⇔a＝ba－b0⇔ab(a，b∈R)(2)作商法ab1⇔abab＝1⇔a＝bab1⇔ab(a∈R，b0)2．不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性ab⇔ba⇔传递性ab，bc⇒ac⇒2可加性ab⇔a＋cb＋c⇔同向可加性错误!⇒a＋cb＋d⇒可乘性错误!⇒acbc注意c的符号错误!⇒acbc同向同正可乘性错误!⇒acbd⇒可乘方性ab0⇒anbn(n∈N，n1)a，b同为正数可开方性ab0⇒nanb(n∈N，且n1)a，b同为正数概念方法微思考1．若ab，且a与b都不为0，则1a与1b的大小关系确定吗？提示不确定．若ab，ab0，则1a1b，即若a与b同号，则分子相同，分母大的反而小；若a0b，则1a1b，即正数大于负数．2．两个同向不等式可以相加和相乘吗？提示可以相加但不一定能相乘，例如2－1，－1－3.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a，b之间，有且只有ab，a＝b，ab三种关系中的一种．(√)(2)若ab1，则ab.(×)(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．(×)(4)ab0，cd0⇒adbc.(√)(5)ab0，ab⇔1a1b.(√)题组二教材改编2．[P3练习T1]若a，b都是实数，则“a－b0”是“a2－b20”的________条件．答案充分不必要解析a－b0⇒ab⇒ab⇒a2b2，但由a2－b20≠a－b0.3．[P66练习T1]雷电的温度大约是28000℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面3温度为t℃，那么t应满足的关系式是________．答案4.5t28000解析由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t28000.题组三易错自纠4．若ab0，cd0，则下列一定正确的序号为________．①ac－bd0；②ac－bd0；③adbc；④adbc.答案④解析∵cd0，∴0－d－c，又0ba，∴－bd－ac，即bdac，又∵cd0，∴bdcdaccd，即bcad.当a＝5，c＝－5，b＝4，d＝－4时，易知①②不正确．5．设a，b∈R，则“a2且b1”是“a＋b3且ab2”的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)答案充分不必要解析若a2且b1，则由不等式的同向可加性可得a＋b2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab2×1＝2.即“a2且b1”是“a＋b3且ab2”的充分条件；反之，若“a＋b3且ab2”，则“a2且b1”不一定成立，如a＝6，b＝12.所以“a2且b1”是“a＋b3且ab2”的充分不必要条件．6．若－π2αβπ2，则α－β的取值范围是__________．答案(－π，0)解析由－π2απ2，－π2－βπ2，αβ，得－πα－β0.题型一比较两个数(式)的大小例1(1)若a0，b0，则p＝b2a＋a2b与q＝a＋b的大小关系为________．答案p≤q4解析(作差法)p－q＝b2a＋a2b－a－b＝b2－a2a＋a2－b2b＝(b2－a2)·1a－1b＝b2－a2b－aab＝b－a2b＋aab，因为a0，b0，所以a＋b0，ab0.若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；若a≠b，则p－q0，故pq.综上，p≤q.(2)若P＝a＋3－a＋2，Q＝a＋2－a＋1(a0)，则P，Q的大小关系是________．答案PQ解析Q－P＝(a＋2－a＋1)－(a＋3－a＋2)＝1a＋2＋a＋1－1a＋3＋a＋20，所以PQ.(3)若a＝ln33，b＝ln44，c＝ln55，则a，b，c的大小关系为________．答案cba解析方法一易知a，b，c都是正数，ba＝3ln44ln3＝log81641，所以ab；bc＝5ln44ln5＝log62510241，所以bc.即cba.方法二对于函数y＝f(x)＝lnxx，y′＝1－lnxx2，易知当xe时，函数f(x)单调递减．因为e345，所以f(3)f(4)f(5)，即cba.(4)已知ab0，比较aabb与abba的大小．解∵aabbabba＝aa－bba－b＝aba－b，又ab0，故ab1，a－b0，5∴aba－b1，即aabbabba1，又abba0，∴aabbabba，∴aabb与abba的大小关系为aabbabba.思维升华比较大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④结论．(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论．(3)函数的单调性法．跟踪训练1(1)已知p∈R，M＝(2p＋1)(p－3)，N＝(p－6)(p＋3)＋10，则M，N的大小关系为________．答案MN解析因为M－N＝(2p＋1)(p－3)－[(p－6)(p＋3)＋10]＝p2－2p＋5＝(p－1)2＋40，所以MN.(2)若a0，且a≠7，则77aa和7aa7的大小关系为________．答案77aa7aa7解析77aa7aa7＝77－aaa－7＝7a7－a，则当a7时，07a1,7－a0，则7a7－a1，∴77aa7aa7；当0a7时，7a1,7－a0，则7a7－a1，∴77aa7aa7.综上，77aa7aa7.题型二不等式的性质1．若1a1b0，则下列不等式：①a＋bab；②|a||b|；③ab；④abb2中，正确的不等式有________．(填序号)答案①④解析因为1a1b0，所以ba0，a＋b0，ab0，所以a＋bab，|a||b|，在ba两边同时乘以b，因为b0，所以abb2.因此正确的是①④.2．已知a，b，c满足cba，且ac0，那么下列不等式中一定成立的是________．(填序号)6①abac；②c(b－a)0；③cb2ab2；④ac(a－c)0.答案①解析由cba且ac0，知c0且a0.由bc，得abac一定成立．3．设ab1，c0，给出下列三个结论：①cacb；②acbc；③logb(a－c)loga(b－c)．其中所有正确结论的序号是________．答案①②③解析由不等式性质及ab1，知1a1b，又c0，∴cacb，①正确；构造函数y＝xc，∵c0，∴y＝xc在(0，＋∞)上是单调递减的，又ab1，∴acbc，②正确；∵ab1，c0，∴a－cb－c1，∴logb(a－c)loga(a－c)loga(b－c)，③正确．思维升华常用方法：一是用性质逐个验证；二是用特殊值法排除．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．题型三不等式性质的应用命题点1应用性质判断不等式是否成立例2已知ab0，给出下列四个不等式：①a2b2；②2a2b－1；③a－ba－b；④a3＋b32a2b.其中一定成立的不等式为________．(填序号)答案①②③解析由ab0可得a2b2，①成立；由ab0可得ab－1，而函数f(x)＝2x在R上是增函数，∴f(a)f(b－1)，即2a2b－1，②成立；∵ab0，∴ab，∴(a－b)2－(a－b)2＝2ab－2b＝2b(a－b)0，7∴a－ba－b，③成立；若a＝3，b＝2，则a3＋b3＝35,2a2b＝36，a3＋b32a2b，④不成立．命题点2求代数式的取值范围例3已知－1x4,2y3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________．答案(－4,2)(1,18)解析∵－1x4,2y3，∴－3－y－2，∴－4x－y2.由－1x4,2y3，得－33x12,42y6，∴13x＋2y18.引申探究1．若将本例条件改为－1xy3，求x－y的取值范围．解∵－1x3，－1y3，∴－3－y1，∴－4x－y4.又∵xy，∴x－y0，∴－4x－y0，故x－y的取值范围为(－4,0)．2．若将本例条件改为－1x＋y4,2x－y3，求3x＋2y的取值范围．解设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，则m＋n＝3，m－n＝2，∴m＝52，n＝12.即3x＋2y＝52(x＋y)＋12(x－y)，又∵－1x＋y4,2x－y3，∴－5252(x＋y)10,112(x－y)32，∴－3252(x＋y)＋12(x－y)232，即－323x＋2y232，∴3x＋2y的取值范围为－32，232.思维升华(1)判断不等式是否成立的方法①逐一给出推理判断或反例说明．②结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断．8(2)求代数式的取值范围一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围．跟踪训练2(1)若ab0，则下列不等式一定成立的是________．(填序号)①1a－b1b；②a2ab；③|b||a||b|＋1|a|＋1；④anbn(n∈N*)．答案③解析(特值法)取a＝－2，b＝－1，逐个检验，可知①②④项均不正确；③项，|b||a||b|＋1|a|＋1⇔|b|(|a|＋1)|a|(|b|＋1)⇔|a||b|＋|b||a||b|＋|a|⇔|b||a|，∵ab0，∴|b||a|成立，故填③.(2)设abc0，x＝a2＋b＋c2，y＝b2＋c＋a2，z＝c2＋a＋b2，则x，y，z的大小关系是________．(用“”连接)答案zyx解析方法一由题易知，x0，y0，z0，又y2－x2＝2c(a－b)0，∴yx.同理，zy，∴zyx.方法二令a＝3，b＝2，c＝1，则x＝18，y＝20，z＝26，故zyx.1．下列命题中，正确的序号是________．①若ab，cd，则acbd；②若acbc，则ab；③若ac2bc2，则ab；④若ab，cd，则a－cb－d.答案③解析①取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，可知①错误；②当c0时，acbc⇒ab，所以②错误；③因为ac2bc2，所以c≠0，9又c20，所以ab，③正确；④取a＝c＝2，b＝d＝1，可知④错误，故填③.2．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)，g(x)的大小关系是________．答案f(x)g(x)解析f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋10，则f(x)g(x)．3．对于0a1，给出下列四个不等式：①loga(1＋a)loga1＋1a；②loga(1＋a)loga1＋1a；③a1＋a11aa；④a1＋a11aa.其中正确的不等式是________．(填序号)答案②④解析当0a1时，函数y＝logax与y＝ax均为(0，＋∞)上的减函数．∵0a1，∴1＋a1＋1a，∴②④正确．4．若6a10，a2≤b≤2a，c＝a＋b，那么c的取值范围是________．答案(9,3