（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.8 抛物线教案（含解析）

1§9.8抛物线考情考向分析抛物线的方程、几何性质及与抛物线相关的综合问题是命题的热点．题型既有基础性的填空题，又有综合性较强的解答题．1．抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px(p0)y2＝－2px(p0)x2＝2py(p0)x2＝－2py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点坐标O(0,0)对称轴x轴y轴焦点坐标Fp2，0F－p2，0F0，p2F0，－p2离心率e＝1准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下概念方法微思考1．若抛物线定义中定点F在定直线l上时，动点的轨迹是什么图形？提示过点F且与l垂直的直线．2．直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的什么条件？提示直线与抛物线的对称轴平行时，只有一个交点，但不是相切，所以直线与抛物线只有2一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(×)(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是a4，0，准线方程是x＝－a4.(×)(3)AB为抛物线y2＝2px(p0)的过焦点Fp2，0的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝p24，y1y2＝－p2，弦长AB＝x1＋x2＋p.(√)(4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a0)的通径长为2a.(√)题组二教材改编2．[P53练习T2]过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则PQ＝________.答案8解析抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，PQ＝PF＋QF＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.3．[P51T3]已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为____________________．答案y2＝－8x或x2＝－y解析设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)．将P(－2，－4)代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y.4．[P74T14]若抛物线y2＝4x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是________．答案2解析由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由抛物线y2＝4x及直线方程3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离．∴点P到准线l的距离与点P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值为点F(1,0)到直线3x＋4y＋7＝0的距离，即|3＋7|32＋42＝2.题组三易错自纠5．已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是3________．答案y2＝±42x解析由已知可知双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0)．设抛物线方程为y2＝±2px(p0)，则p2＝2，所以p＝22，所以抛物线方程为y2＝±42x.6．(2019·如皋调研)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2px(p0)的焦点在直线2x＋y－2＝0上，则p的值为________．答案2解析直线2x＋y－2＝0与x轴的交点坐标为(1,0)，所以抛物线的焦点坐标为(1,0)，即p2＝1，p＝2.7．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是__________．答案[－1,1]解析Q(－2,0)，当直线l的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k≤1.题型一抛物线的定义和标准方程命题点1定义及应用例1设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3,2)，则PB＋PF的最小值为________．答案4解析如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则P1Q＝P1F.则有PB＋PF≥P1B＋P1Q＝BQ＝4，4即PB＋PF的最小值为4.引申探究1．若将本例中的B点坐标改为(3,4)，试求PB＋PF的最小值．解由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部．∵PB＋PF的最小值即为B，F两点间的距离，F(1,0)，∴PB＋PF≥BF＝22＋42＝25，即PB＋PF的最小值为25.2．若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值．解由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．点P到y轴的距离d1＝PF－1，所以d1＋d2＝d2＋PF－1.易知d2＋PF的最小值为点F到直线l的距离，故d2＋PF的最小值为|1＋5|12＋－12＝32，所以d1＋d2的最小值为32－1.命题点2求标准方程例2设抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点为F，点M在C上，MF＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的标准方程为________________．答案y2＝4x或y2＝16x解析由题意知，Fp2，0，抛物线的准线方程为x＝－p2，则由抛物线的定义知，xM＝5－p2，设以MF为直径的圆的圆心为52，yM2，所以圆的方程为x－522＋y－yM22＝254，又因为圆过点(0,2)，所以yM＝4，又因为点M在C上，所以16＝2p5－p2，解得p＝2或p＝8，所以抛物线C的标准方程为y2＝4x或y2＝16x.思维升华(1)与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径．(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．跟踪训练1(1)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．5答案5解析如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小，显然，连结AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为[1－－1]2＋0－12＝5.(2)如图所示，过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若BC＝2BF，且AF＝3，则此抛物线的标准方程为________．答案y2＝3x解析分别过点A，B作AA1⊥l，BB1⊥l，且垂足分别为A1，B1，由已知条件BC＝2BF，得BC＝2BB1，所以∠BCB1＝30°.又AA1＝AF＝3，所以AC＝2AA1＝6，所以CF＝AC－AF＝6－3＝3，所以F为线段AC的中点．故点F到准线的距离为p＝12AA1＝32，故抛物线的标准方程为y2＝3x.6题型二抛物线的几何性质例3(1)已知抛物线C：y2＝2px(p0)，过焦点F且斜率为3的直线与C相交于P，Q两点，且P，Q两点在准线上的射影分别为M，N两点，则S△MFN＝________.答案233p2解析不妨设P在第一象限，过Q作QR⊥PM，垂足为R，设准线与x轴的交点为E，∵直线PQ的斜率为3，∴直线PQ的倾斜角为60°.由抛物线焦点弦的性质可得PQ＝PF＋QF＝p1－cos60°＋p1＋cos60°＝2psin260°＝83p.在Rt△PRQ中，sin∠RPQ＝QRPQ，∴QR＝PQ·sin∠RPQ＝83p×32＝433p，由题意可知MN＝QR＝433p，∴S△MNF＝12MN·FE＝12×433p×p＝233p2.(2)过点P(－2,0)的直线与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，且PA＝12AB，则点A到抛物线C的焦点的距离为________．答案53解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别过点A，B作直线x＝－2的垂线，垂足分别为点D，E.∵PA＝12AB，∴3x1＋2＝x2＋2，3y1＝y2，又y21＝4x1，y22＝4x2，得x1＝23，则点A到抛物线C的焦点的距离为1＋23＝53.思维升华在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．7跟踪训练2(1)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．答案94解析由已知得焦点坐标为F34，0，因此直线AB的方程为y＝33x－34，即4x－43y－3＝0.方法一联立直线方程与抛物线方程化简得4y2－123y－9＝0，解得yA，B＝123±－1232＋4×4×98＝33±62，即yA＋yB＝33，yA·yB＝－94，故|yA－yB|＝yA＋yB2－4yAyB＝6.因此S△OAB＝12OF·|yA－yB|＝12×34×6＝94.方法二联立直线方程与抛物线方程得x2－212x＋916＝0，即xA，B＝212±－2122－4×9162＝214±27，故xA＋xB＝212.根据抛物线的定义有AB＝xA＋xB＋p＝212＋32＝12，同时原点到直线AB的距离为h＝|－3|42＋－432＝38，因此S△OAB＝12AB·h＝94.(2)抛物线C1：y＝12px2(p0)的焦点与双曲线C2：x23－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝________.答案433解析经过第一象限的双曲线C2的渐近线方程为y＝33x.抛物线C1的焦点为F0，p2，双曲8线C2的右焦点为F2(2,0)．因为y＝12px2，所以y′＝1px.所以抛物线C1在点Mx0，x202p处的切线斜率为33，即1px0＝33，所以x0＝33p.因为F0，p2，F2(2,0)，M33p，p6三点共线，所以p2－00－2＝p6－p233p－0，解得p＝433.题型三直线与抛物线例4设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F在y轴正半轴上，过点F的直线交抛物线于A，B两点，线段AB的长是8，AB的中点到x轴的距离是3.(1)求抛物线的标准方程；(2)设直线m在y轴上的截距为6，且与抛物线交于P，Q两点．连结QF并延长交抛物线的准线于点R，当直线PR恰与抛物线相切时，求直线m的方程．解(1)设抛物线的方程是x2＝2py(p0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义可知y1＋y2＋p＝8，又AB的中点到x轴的距离为3，∴y1＋y2＝6，∴p＝2，∴抛物线的标准方程是x2＝4y.(2)由题意知，直线m的斜率存在，设直线m：y＝kx＋6(k≠0)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，由y＝kx＋6，x2＝4y消去y得x2－4kx－24＝0，∴x3,4＝4k±16k2＋24×42，∴x3＋x4＝4k，x3·x4＝－24.(*)易知抛物线在点Px3，x234处的切线方程为y－x234＝x32(x－x3)，令y＝－1，得x＝x23－42x3，∴Rx23－42x3，－1，又Q，F，R三点共线，∴kQ