（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.7 双曲线教案（含解析）

1§9.7双曲线考情考向分析主要侧重双曲线的方程以及以双曲线方程为载体研究参数a，b，c及与渐近线有关的问题，其中离心率和渐近线是重点．以填空题的形式考查，难度为中低档．解题时应熟练掌握基础内容及双曲线方程的求法，能灵活应用双曲线的几何性质．1．双曲线的定义平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)图形性质范围x≤－a或x≥a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：x轴，y轴对称中心：(0,0)对称轴：x轴，y轴对称中心：(0,0)顶点顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0)顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±baxy＝±abx离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长A1A2＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长B1B2＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2＝a2＋b2(ca0，cb0)23.等轴双曲线实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，离心率e＝2，渐近线方程为y＝±x.4．双曲线的第二定义平面内动点P到定点F的距离和它到定直线l(点F不在直线l上)的距离的比是常数e(e1)的点的轨迹是双曲线．定点F是焦点，定直线l是准线，常数e是离心率．双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的准线方程为x＝±a2c，双曲线y2a2－x2b2＝1(a0，b0)的准线方程为y＝±a2c.概念方法微思考1．平面内与两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为双曲线吗？为什么？提示当2a＝F1F2时，动点的轨迹是两条射线；当2aF1F2时，动点的轨迹不存在；当2a＝0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线．2．方程Ax2＋By2＝1表示双曲线的充要条件是什么？提示若A0，B0，表示焦点在x轴上的双曲线；若A0，B0，表示焦点在y轴上的双曲线．所以Ax2＋By2＝1表示双曲线的充要条件是AB0.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(×)(2)方程x2m－y2n＝1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线．(×)(3)双曲线方程x2m2－y2n2＝λ(m0，n0，λ≠0)的渐近线方程是x2m2－y2n2＝0，即xm±yn＝0.(√)(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.(√)(5)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)与x2b2－y2a2＝1(a0，b0)的离心率分别是e1，e2，则1e21＋1e22＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线)．(√)题组二教材改编2．[P48T15]若双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为______．3答案5解析由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为xa±yb＝0，即bx±ay＝0，∴2a＝bca2＋b2＝b.又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.∴e2＝c2a2＝5，∴e＝5.3．[P58T7]若双曲线x29－y216＝1左支上的一点P到左焦点的距离为15，则点P到右准线的距离为________．答案635解析∵a＝3，b＝4，∴c＝5，∴e＝53.∵PF1＝15，∴PF2＝PF1＋2a＝15＋6＝21，∴点P到右准线的距离d＝PF2e＝635.4．[P48A组T7]经过点A(4,1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．答案x215－y215＝1解析设双曲线的方程为x2a2－y2a2＝±1(a0)，把点A(4,1)代入，得a2＝15(舍负)，故所求方程为x215－y215＝1.题组三易错自纠5．已知方程x2m2＋n－y23m2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是________．答案(－1,3)解析∵方程x2m2＋n－y23m2－n＝1表示双曲线，∴(m2＋n)·(3m2－n)0，解得－m2n3m2，由双曲线性质，知c2＝(m2＋n)＋(3m2－n)＝4m2(其中c是半焦距)，∴焦距2c＝2×2|m|＝4，解得|m|＝1，∴－1n3.46．若双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为________．答案53解析由条件知y＝－bax过点(3，－4)，∴3ba＝4，即3b＝4a，∴9b2＝16a2，∴9c2－9a2＝16a2，∴25a2＝9c2，∴e＝53.7．(2018·南通模拟)在平面直角坐标系xOy中，双曲线x2－y24＝1的一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为________．答案45解析由题意，双曲线的一条渐近线y＝2x与右准线x＝55的交点为55，255，其到另一条渐近线y＝－2x的距离为45.题型一双曲线的定义例1(1)已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是________．答案双曲线解析如图，连结ON，PF1，由题意可得ON＝1，且N为MF1的中点，又O为F1F2的中点，∴MF2＝2.5∵点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，由垂直平分线的性质可得PM＝PF1，∴|PF2－PF1|＝|PF2－PM|＝MF2＝2F1F2，∴由双曲线的定义可得，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线．(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，PF1＝2PF2，则cos∠F1PF2＝________.答案34解析∵由双曲线的定义有PF1－PF2＝PF2＝2a＝22，∴PF1＝2PF2＝42，在△F1PF2中，由余弦定理得，cos∠F1PF2＝PF21＋PF22－F1F222PF1·PF2＝422＋222－422×42×22＝34.引申探究1．本例(2)中，若将条件“PF1＝2PF2”改为“∠F1PF2＝60°”，则△F1PF2的面积是多少？解不妨设点P在双曲线的右支上，则PF1－PF2＝2a＝22，在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝PF21＋PF22－F1F222PF1·PF2＝12，∴PF1·PF2＝8，∴12FPFS＝12PF1·PF2·sin60°＝23.2．本例(2)中，若将条件“PF1＝2PF2”改为“PF1—→·PF2—→＝0”，则△F1PF2的面积是多少？解不妨设点P在双曲线的右支上，则PF1－PF2＝2a＝22，∵PF1—→·PF2—→＝0，∴PF1—→⊥PF2—→，∴在△F1PF2中，有PF21＋PF22＝F1F22，即PF21＋PF22＝16，∴PF1·PF2＝4，∴12FPFS＝12PF1·PF2＝2.6思维升华(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF1－PF2|＝2a，运用平方的方法，建立与PF1·PF2的联系．跟踪训练1设双曲线x2－y23＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则PF1＋PF2的取值范围是________．答案(27，8)解析如图，由已知可得a＝1，b＝3，c＝2，从而F1F2＝4，由对称性不妨设P在右支上，设PF2＝m，则PF1＝m＋2a＝m＋2，由于△PF1F2为锐角三角形，结合实际意义需满足m＋22m2＋42，42m＋22＋m2，解得－1＋7m3，又PF1＋PF2＝2m＋2，∴272m＋28.题型二双曲线的标准方程例2(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________________．答案x2－y28＝1(x≤－1)解析如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件，得MC1－AC1＝MA，MC2－BC2＝MB，7因为MA＝MB，所以MC1－AC1＝MC2－BC2，即MC2－MC1＝BC2－AC1＝2，所以点M到两定点C2，C1的距离的差是常数且小于C1C2＝6.又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8.故点M的轨迹方程为x2－y28＝1(x≤－1)．(2)根据下列条件，求双曲线的标准方程：①虚轴长为12，离心率为54；②焦距为26，且经过点M(0,12)；③经过两点P(－3,27)和Q(－62，－7)．解①设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1或y2a2－x2b2＝1(a0，b0)．由题意知，2b＝12，e＝ca＝54，∴b＝6，c＝10，a＝8.∴双曲线的标准方程为x264－y236＝1或y264－x236＝1.②∵双曲线经过点M(0,12)，∴M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25.∴双曲线的标准方程为y2144－x225＝1.③设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn0)．∴9m－28n＝1，72m－49n＝1，解得m＝－175，n＝－125.∴双曲线的标准方程为y225－x275＝1.思维升华求双曲线标准方程的方法(1)定义法(2)待定系数法①当双曲线焦点位置不确定时，设为Ax2＋By2＝1(AB0)；8②与双曲线x2a2－y2b2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)；③与双曲线x2a2－y2b2＝1共焦点的双曲线方程可设为x2a2－k－y2b2＋k＝1(－b2ka2)．跟踪训练2(1)设椭圆C1的离心率为513，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为________________．答案x216－y29＝1解析由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(－5,0)，F2(5，0)，设曲线C2上的一点P，则|PF1－PF2|＝8F1F2，符合双曲线定义．由双曲线的定义知，a＝4，b＝3.故曲线C2的标准方程为x242－y232＝1.即x216－y29＝1.(2)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线方程为y＝52x，且与椭圆x212＋y23＝1有公共焦点，则C的方程为________．答案x24－y25＝1解析由y＝52x，可得ba＝52.①由椭圆x212＋y23＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，可得a2＋b2＝9.②由①②可得a2＝4，b2＝5.所以C的方程为x24－y25＝1.题型三双曲线的几何性质命题点1与渐近线有关的问题9例3过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左焦点F作圆O：x2＋y2＝a2的两条切线，切点为A，B，双曲线左顶点为C，若∠ACB＝120°，则双曲线的渐近线方程为________．答案y＝±3x解析如图所示，连结OA，OB，设双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的焦距为2c(c0)，则C(－a,0)，F(－c,0)．由双曲线和圆的对称性知，点A与点B关于x轴对称，则∠ACO＝∠BCO＝12∠ACB＝12×120°＝60°.因为OA＝OC＝a，所以△ACO为等边三角形，所以∠AOC＝60°.因为FA与圆O切于点A，所以OA⊥FA，在Rt△AOF中，∠AFO＝90°－∠AOF＝90°－60°＝30°，所以O