（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.6 椭圆（第2课时）直线与椭圆教

1第2课时直线与椭圆题型一直线与椭圆的位置关系例1(2019·徐州模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(3,1)在椭圆上，△PF1F2的面积为22.(1)求椭圆C的标准方程；(2)直线y＝x＋k与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，求实数k的值．解(1)由条件可知9a2＋1b2＝1，12PFFS＝12×2c×1＝c＝22，又a2＝b2＋c2，所以a2＝12，b2＝4，所以椭圆的标准方程为x212＋y24＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x212＋y24＝1，y＝x＋k，得4x2＋6kx＋3k2－12＝0，解得x1,2＝－6k±36k2－163k2－128，则x1＋x2＝－3k2，x1x2＝3k2－124，y1y2＝(x1＋k)(x2＋k)＝k2－124.因为以AB为直径的圆经过坐标原点，则OA→·OB→＝x1x2＋y1y2＝k2－6＝0，解得k＝±6，此时Δ＝1200，满足条件．因此k＝±6.2思维升华研究直线与椭圆位置关系的方法(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数．(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．跟踪训练1(1)若直线y＝kx＋1与椭圆x25＋y2m＝1总有公共点，则m的取值范围是________．答案[1,5)∪(5，＋∞)解析方法一由于直线y＝kx＋1恒过点(0,1)，所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，则01m≤1且m≠5，故m≥1且m≠5.方法二由y＝kx＋1，mx2＋5y2－5m＝0，消去y整理得(5k2＋m)x2＋10kx＋5(1－m)＝0.由题意知Δ＝100k2－20(1－m)(5k2＋m)≥0对一切k∈R恒成立，即5mk2＋m2－m≥0对一切k∈R恒成立，由于m0且m≠5，∴m≥1且m≠5.(2)(2018·江苏十校联考)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e.直线l：y＝ex＋a与x轴、y轴分别交于A，B两点，M是直线l与椭圆C的一个公共点，设AM→＝eAB→，则该椭圆的离心率e为________．答案5－12解析因为点A，B分别是直线l：y＝ex＋a与x轴、y轴的交点，所以点A，B的坐标分别是－ae，0，(0，a)．y＝ex＋a，b2x2＋a2y2＝a2b2，由e＝ca化简得，x2＋2cx＋c2＝0，解得M(－c，a－ec)，由AM→＝eAB→得，－c＋ae，a－ec＝eae，a，即a－ec＝ea，即e2＋e－1＝0，3解得e＝5－12或e＝－5－12(舍去)．题型二弦长及中点弦问题命题点1弦长问题例2斜率为1的直线l与椭圆x24＋y2＝1相交于A，B两点，则AB的最大值为________．答案4105解析设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t，由x2＋4y2＝4，y＝x＋t，消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，则x1,2＝－4t±25－t25，∴AB＝1＋k2|x1－x2|＝425·5－t2，当t＝0时，ABmax＝4105.命题点2中点弦问题例3已知P(1,1)为椭圆x24＋y22＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为________________．答案x＋2y－3＝0解析易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x214＋y212＝1，①x224＋y222＝1，②①－②得x1＋x2x1－x24＋y1＋y2y1－y22＝0，∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，4∴x1－x22＋y1－y2＝0，∴k＝y1－y2x1－x2＝－12.∴此弦所在的直线方程为y－1＝－12(x－1)，即x＋2y－3＝0.思维升华(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，求出两根，结合已知条件，解决相关问题．涉及中点弦的问题时用“点差法”解决，往往会更简单．(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2|y1－y2|(k为直线斜率)．(3)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．跟踪训练2(1)已知椭圆x236＋y29＝1以及椭圆内一点P(4，2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为________．答案－12解析设弦的端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，x2136＋y219＝1，x2236＋y229＝1，两式相减，得x1＋x2x1－x236＋y1＋y2y1－y29＝0，所以2x1－x29＝－4y1－y29，所以k＝y1－y2x1－x2＝－12.经检验，k＝－12满足题意．(2)已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，且AB＝3，则椭圆C的方程为________________．答案x24＋y23＝1解析设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，则c＝1.因为过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交5于A，B两点，且AB＝3，所以b2a＝32，b2＝a2－c2，所以a2＝4，b2＝a2－c2＝4－1＝3，即椭圆C的方程为x24＋y23＝1.题型三椭圆与向量等知识的综合例4已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)，e＝12，其中F是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l与椭圆C交于点A，B，线段AB的中点横坐标为14，且AF→＝λFB→(其中λ1)．(1)求椭圆C的标准方程；(2)求实数λ的值．解(1)由椭圆的焦距为2，知c＝1，又e＝12，∴a＝2，故b2＝a2－c2＝3，∴椭圆C的标准方程为x24＋y23＝1.(2)由AF→＝λFB→，可知A，B，F三点共线，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)．若直线AB⊥x轴，则x1＝x2＝1，不符合题意；当AB所在直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝k(x－1)．由y＝kx－1，x24＋y23＝1，消去y得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0.(*)(*)的判别式Δ＝64k4－4(4k2＋3)(4k2－12)＝144(k2＋1)0.∵x1,2＝8k2±144k2＋124k2＋3＝4k2±6k2＋14k2＋3，∴x1＋x2＝8k24k2＋3＝2×14＝12，∴k2＝14.∴x1,2＝1±354.又AF→＝(1－x1，－y1)，FB→＝(x2－1，y2)，AF→＝λFB→，6即1－x1＝λ(x2－1)，λ＝1－x1x2－1，又λ1，∴λ＝3＋52.思维升华一般地，在椭圆与向量等知识的综合问题中，平面向量只起“背景”或“结论”的作用，几乎都不会在向量的知识上设置障碍，所考查的核心内容仍然是解析几何的基本方法和基本思想．跟踪训练3已知椭圆C的两个焦点分别为F1(－1,0)，F2(1，0)，短轴的两个端点分别为B1，B2.(1)若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；(2)若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且F1P—→⊥F1Q—→，求直线l的方程．解(1)△F1B1B2为等边三角形，则c＝3b，c＝1⇒a2－b2＝3b2，a2－b2＝1⇒a2＝43，b2＝13，椭圆C的方程为3x24＋3y2＝1.(2)易知椭圆C的方程为x22＋y2＝1，当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝1，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，由y＝kx－1，x22＋y2＝1，得(2k2＋1)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0，由已知得Δ0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1,2＝4k2±16k4－4×2k2＋1×2k2－122k2＋1，所以x1＋x2＝4k22k2＋1，x1x2＝2k2－12k2＋1，F1P—→＝(x1＋1，y1)，F1Q—→＝(x2＋1，y2)，因为F1P—→⊥F1Q—→，所以F1P—→·F1Q—→＝0，7即(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋k2(x1－1)(x2－1)＝(k2＋1)x1x2－(k2－1)(x1＋x2)＋k2＋1＝7k2－12k2＋1＝0，解得k2＝17，即k＝±77，故直线l的方程为x＋7y－1＝0或x－7y－1＝0.1．若直线mx＋ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆x29＋y24＝1的交点个数是________．答案2解析由题意知，4m2＋n22，即m2＋n22，∴点P(m，n)在椭圆x29＋y24＝1的内部，故所求交点个数是2.2．直线y＝kx＋k＋1与椭圆x29＋y24＝1的位置关系是________．答案相交解析由于直线y＝kx＋k＋1＝k(x＋1)＋1过定点(－1，1)，而(－1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交．3．过椭圆x25＋y24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．答案53解析由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1,0)，则直线AB的方程为y＝2x－2.联立x25＋y24＝1，y＝2x－2，解得交点坐标为(0，－2)，53，43，不妨设A点的纵坐标yA＝－2，B点的纵坐标yB＝43，8∴S△OAB＝12·OF·|yA－yB|＝12×1×－2－43＝53.4．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4,1)，则椭圆的离心率是________．答案32解析设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程，由点差法可知yM＝－b2a2kxM，代入k＝1，M(－4，1)，解得b2a2＝14，e＝1－ba2＝32.5．(2018·南京模拟)已知椭圆C：mx2＋y2＝1(0m1)，直线l：y＝x＋1.若椭圆C上总存在不同的两点A与B关于直线l对称，则椭圆C的离心率e的取值范围是________．答案63，1解析设AB的中点为P，由中点弦问题可知kAB·kOP＝－m，kAB＝－1，kOP＝m，联立直线l与直线OP可得P1m－1，mm－1.由点P在椭圆内，则m1m－12＋mm－121，得m∈0，13.离心率e＝1－m∈63，1.6．过椭圆x22＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点．设O为坐标原点，则OA→·OB→＝________.答案－13解析依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y－0＝tan45°(x－1)，即y＝x－1.代入椭圆方程x22＋y2＝1并整理得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝43.所以设两个交点坐标为A(0，－1)，B43，13，所以OA→·OB→＝(0，－1)·43，13＝－13.同理，直线l经过椭圆的左焦点时，也可得OA→·OB→＝－13.7．设F1，F2分别是椭圆x24＋y2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使(OP→＋OF2—→)·PF2—→＝0(O为坐标原点)，则△F1PF2的面积是________．答案19解析∵(OP→＋OF2→—)·PF2—→＝(OP→＋F1O—→)·PF2—→＝F1P—→·PF2—→＝0，∴PF1⊥PF2，∠F1PF2＝90°.设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝4，m2＋n2＝12,2mn＝4，mn＝2，∴12FPFS＝12mn＝1.8