（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第二章 函数 2.5 指数与对数教案（含解析）

1§2.5指数与对数考情考向分析幂的运算是解决与指数函数有关问题的基础，对数的概念和运算性质，换底公式等是研究指数函数、对数函数的前提，在高考中涉及面比较广．1．根式(1)根式的概念根式的概念符号表示备注如果a＝xn，那么x叫做a的n次实数方根n1且n∈N*当n为奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数的n次实数方根是一个负数na0的n次实数方根是0当n为偶数时，正数的n次实数方根有两个，它们互为相反数±na负数没有偶次方根(2)两个重要公式①nan＝an为奇数，|a|＝aa≥0，－aa0(n为偶数)；②(na)n＝a(注意a必须使na有意义)．2．有理指数幂(1)分数指数幂的表示①正数的正分数指数幂是mna＝nam(a0，m，n∈N*，n1)；②正数的负分数指数幂是mna-＝1mna＝1nam(a0，m，n∈N*，n1)；③0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义．(2)有理指数幂的运算性质2①asat＝as＋t(a0，t，s∈Q)；②(as)t＝ast(a0，t，s∈Q)；③(ab)t＝atbt(a0，b0，t∈Q)．3．对数的概念(1)对数的定义①一般地，如果a(a0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么称b是以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．②底数的对数是1，即logaa＝1,1的对数是0，即loga1＝0.(2)几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为a(a0且a≠1)logaN常用对数底数为10lgN自然对数底数为elnN4.对数的性质与运算法则(1)对数的性质①logaNa＝N(a0且a≠1，N0)；②logaaN＝N(a0且a≠1)．(2)对数的重要公式①换底公式：logbN＝logaNlogab(a，b均大于零且不等于1，N0)；②logab＝1logba(a，b均大于零且不等于1)．(3)对数的运算法则如果a0且a≠1，M0，N0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaMN＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④logmnaM＝nmlogaM.3概念方法微思考根据对数的换底公式，(1)思考logab，logba的关系；(2)化简logmnab.提示(1)logab·logba＝1；(2)logmnab＝nmlogab.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)nan＝(na)n＝a(n∈N*)．(×)(2)分数指数幂mna可以理解为mn个a相乘．(×)(3)2a·2b＝2ab.(×)(4)若MN0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(×)(5)若lgx2＝1，则x＝10.(×)题组二教材改编2．[P61例2]计算：1222309273(9.6)482-骣骣骣鼢?珑?+--?鼢?珑?鼢?珑?桫桫桫＝.答案323．[P80习题T6]计算：(lg5)2＋lg2×lg50＝.答案14．[P80习题T12]已知lg6＝a，lg12＝b，那么用a，b表示lg24＝.答案2b－a题组三易错自纠5．要使4a－2＋(a－4)0有意义，则a的取值范围是．答案[2,4)∪(4，＋∞)4解析要使原式有意义，则满足a－2≥0，a－4≠0，解得2≤a4或a4.6．有下列结论：①lg(lg10)＝0；②lg(lne)＝0；③若lgx＝1，则x＝10；④若log22＝x，则x＝1；⑤若logmn·log3m＝2，则n＝9.其中正确结论的序号是．答案①②③④⑤解析①lg10＝1，则lg(lg10)＝lg1＝0；②lg(lne)＝lg1＝0；③底的对数等于1，则x＝10；④底的对数等于1；⑤logmn＝lgnlgm，log3m＝lgmlg3，则lgnlg3＝2，即log3n＝2，故n＝9.题型一指数幂的运算1.a3a·5a4(a0)的值是．答案1710a解析a3a·5a4＝14173325104152.aaaaa--==×2．化简：41223333322533338242aabbaaaaaababa-骣-?÷ç÷??ç÷ç÷÷ç桫×++(a0)＝.答案a25解析原式＝11111213333333321111111223333352[()(2)]2()()(2)(2)()aababaaaaabbaa511162333111336(2).2aaaabaabb＝－＝3．已知x＋x－1＝3，则3322xx-+的值为．答案25解析11222()xx-+＝x＋2＋x－1＝5，11225,xx-\+=331112222()(1)xxxxxx---\+=+-+＝5(3－1)＝25.4．已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且ab0，则a－ba＋b＝.答案55解析由已知得，a＝3＋5，b＝3－5，所以a＋b＝6，ab＝4，所以a－ba＋b2＝a＋b－2aba＋b＋2ab＝6－246＋24＝15.因为ab0，所以ab，所以a－ba＋b＝55.思维升华(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序．(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．题型二对数的运算61．设2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则m＝.答案10解析由已知，得a＝log2m，b＝log5m，则1a＋1b＝1log2m＋1log5m＝logm2＋logm5＝logm10＝2.解得m＝10.2．计算：121lglg251004-骣÷ç-?÷ç÷ç桫＝.答案－20解析原式＝(lg2－2－lg52)×12100＝lg122×52×10＝lg10－2×10＝－2×10＝－20.3．计算：1－log632＋log62·log618log64＝.答案1解析原式＝1－2log63＋log632＋log663·log66×3log64＝1－2log63＋log632＋1－log632log64＝21－log632log62＝log66－log63log62＝log62log62＝1.思维升华对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．题型三指数与对数的综合运算例(1)已知均不为1的正数a，b，c满足ax＝by＝cz，且1x＋1y＋1z＝0，求abc的值．解令ax＝by＝cz＝k.由已知k0且k≠1，于是xlga＝ylgb＝zlgc＝lgk，7故1x＝lgalgk，1y＝lgblgk，1z＝lgclgk.因为1x＋1y＋1z＝0，所以lga＋lgb＋lgclgk＝0，即lgabclgk＝0.故lg(abc)＝0，得abc＝1.(2)设logaC，logbC是方程x2－3x＋1＝0的两根，求logabC的值．解由题意，得logaC＋logbC＝3，logaC·logbC＝1，即1logCa＋1logCb＝3，1logCa·logCb＝1，于是有logCa＋logCb＝3，logCa·logCb＝1，(logCa－logCb)2＝(logCa＋logCb)2－4logCa·logCb＝32－4＝5，故logCa－logCb＝±5.于是logabC＝logCab－1＝1logCa－logCb＝±55.思维升华指数、对数的综合运算，要充分利用对数的定义、指数、对数的运算性质，建立已知条件和所求式子间的联系．跟踪训练(1)若alog23＝1，blog35＝1，则9a＋5b＝.答案7解析a＝log32，b＝log53，于是3533log2log32log2log495953333437.ab＋＝＋＝＋＝＋＝＋＝(2)方程33x－56＝3x－1的实数解为．答案x＝log32解析原方程可化为2(3x)2＋5·3x－18＝0，即(3x－2)(2·3x＋9)＝0,3x＝2(2·3x＝－9舍去)，得x＝log32.(3)若log2log3x＝log3log2y＝log2log2z＝1，则x2，y3，z4从小到大的排列为．答案x2z4y38解析由题设得log3x＝2，log2y＝3，log2z＝2，即x＝32，y＝23，z＝22，故x2＝34，y3＝29，z4＝28，所以x2z4y3.1．化简21123333243abab--骣÷ç÷赘-ç÷ç÷ç桫的结果为．答案－6ab解析原式＝2112()3333243ab----骣÷ç?÷ç÷ç桫＝－6ab－1＝－6ab.2．设2x＝8y＋1，9y＝3x－9，则x＋y的值为．答案27解析∵2x＝8y＋1＝23(y＋1)，∴x＝3y＋3，∵9y＝3x－9＝32y，∴x－9＝2y，解得x＝21，y＝6，∴x＋y＝27.3．已知a－1a＝3(a0)，则a2＋a＋a－2＋a－1的值为．答案11＋13解析由a－1a＝3，得a－1a2＝9，即a2＋1a2－2＝9，故a2＋a－2＝11.又(a＋a－1)2＝a2＋a－2＋2＝11＋2＝13，且a0，所以a＋a－1＝13.于是a2＋a＋a－2＋a－1＝11＋13.4．设a＝log310，b＝log37，则3a－b＝.答案107解析∵a＝log310，b＝log37，∴3a＝10,3b＝7，9∴3a－b＝3a3b＝107.5．lg22·lg250＋lg25·lg40＝.答案1解析lg22·lg250＋lg25·lg40＝lg22·lg10004＋(1－lg2)2·(2lg2＋1)＝lg22·(3－2lg2)＋(lg22－2lg2＋1)·(2lg2＋1)＝1.6．已知a＝log32，那么log38－2log36用a表示为．答案a－2解析log38－2log36＝log323－2(log32＋log33)＝3log32－2(log32＋1)＝3a－2(a＋1)＝a－2.7．若3x＝4y＝36，则2x＋1y＝.答案1解析3x＝4y＝36，两边取以6为底的对数，得xlog63＝ylog64＝2，∴2x＝log63，2y＝log64，即1y＝log62，故2x＋1y＝log63＋log62＝1.8．设f(x)＝1－x，x≥0，2x，x0，则f(f(－2))＝.答案12解析因为f(－2)＝2－2＝14，所以f(f(－2))＝f14＝1－14＝1－12＝12.9．若a0，且ax＝3，ay＝5，则22yxa+＝.答案95解析11222222()()3595.yxxyaaa+=??1010．(2018·徐州、连云港、宿迁检测)设函数f(x)＝log2x，x0，4x，x≤0，则f(f(－1))的值为．答案－2解析因为f(－1)＝4－1＝14，所以f(f(－1))＝f14＝log214＝－2.11．化简下列各式：(1)2790.5＋0.1－2＋2310227-骣÷ç÷ç÷ç桫－3π0＋3748；(2)7333312.aaaa---赘?解(1)原式＝12259骣÷ç÷ç÷ç桫＋10.12＋236427-骣÷ç÷ç÷ç桫－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100.(2)原式＝7331332222aaaa---赘?＝3a2÷3a－2＝43a.12．若lg(x－y)＋lg(x＋2y)＝lg2＋lgx＋lgy，求xy的值．解由已知得lg[(x－y)(x＋2y)]＝lg(2xy)，则(x－y)(x＋2y)＝2xy，即x2－xy－2y2＝0，也即(x－2y)(x＋y)＝0.因为x0，y0，所以x＋y0，于是有x＝2y，即xy＝2.13．若a1，b0，且