（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第二章 函数 2.1 函数及其表示（第1课时）教案（含解析

1第二章函数考试内容等级要求函数的概念B函数的基本性质B指数与对数B指数函数的图象与性质B对数函数的图象与性质B幂函数A函数与方程B函数模型及其应用B§2.1函数及其表示考情考向分析以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域；分段函数以及函数与其他知识的综合是高考热点，题型既有填空题，又有解答题，中档偏上难度．1．函数与映射函数映射两个集合A，B设A，B是两个非空数集设A，B是两个非空集合对应法则f：A→B如果按某种对应法则f，使对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应如果按某种对应法则f，使对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y与之对应名称称y＝f(x)，x∈A为从集合A到集合B的一个函数称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法函数y＝f(x)，x∈A映射：f：A→B2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)2的定义域；对于A中的每一个x，都有一个输出值y与之对应．我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应法则和值域．(3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．概念方法微思考请你概括一下求函数定义域的类型．提示(1)分式型；(2)根式型；(3)对数式型；(4)指数函数、对数函数型；(5)三角函数型．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对于函数f：A→B，其值域就是集合B.(×)(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数表示同一函数．(×)(3)函数f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点．(√)(4)若A＝R，B＝{x|x0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射．(×)(5)分段函数是由两个或几个函数组成的．(×)题组二教材改编2．[P26练习T6]函数f(x)＝4－xx－1的定义域是________．答案(－∞，1)∪(1,4]3．[P30练习T2]函数y＝f(x)的图象如图所示，那么，f(x)的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是________．答案[－3,0]∪[2,3][1,5][1,2)∪(4,5]题组三易错自纠34．已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列各对应关系f不能表示从P到Q的函数的是________．(填序号)①f：x→y＝12x；②f：x→y＝13x；③f：x→y＝23x；④f：x→y＝x.答案③解析对于③，因为当x＝4时，y＝23×4＝83∉Q，所以③不是从P到Q的函数．5．已知f(x)＝x－1，则f(x)＝____________.答案x2－1(x≥0)解析令t＝x，则t≥0，x＝t2，所以f(t)＝t2－1(t≥0)，即f(x)＝x2－1(x≥0)．6．设函数f(x)＝x＋12，x1，4－x－1，x≥1，则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为____________．答案(－∞，－2]∪[0,10]解析∵f(x)是分段函数，∴f(x)≥1应分段求解．当x1时，f(x)≥1⇒(x＋1)2≥1⇒x≤－2或x≥0，∴x≤－2或0≤x1.当x≥1时，f(x)≥1⇒4－x－1≥1，即x－1≤3，∴1≤x≤10.综上所述，x≤－2或0≤x≤10，即x∈(－∞，－2]∪[0,10]．4第1课时函数的概念与解析式题型一函数的概念1．已知A＝{1,2,3，k}，B＝{4,7，a4，a2＋3a}，a∈N*，k∈N*，x∈A，y∈B，f：x→y＝3x＋1是从定义域A到值域B的一个函数，求a，k的值．解由对应法则知，1→4,2→7,3→10，k→3k＋1.由a4≠10，故a2＋3a＝10，解得a＝2或a＝－5(舍去)，所以a4＝16.于是3k＋1＝16，所以k＝5.2．有以下判断：①f(x)＝|x|x与g(x)＝1，x≥0，－1，x0表示同一函数；②f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1表示同一函数；③若f(x)＝|x－1|－|x|，则ff12＝0.其中判断正确的序号是________．答案②解析对于①，由于函数f(x)＝|x|x的定义域为{x|x∈R且x≠0}，而函数g(x)＝1，x≥0，－1，x0的定义域是R，所以二者不是同一函数，故①不正确；对于②，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应法则均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函数，故②正确；对于③，由于f12＝12－1－12＝0，所以ff12＝f(0)＝1，故③不正确．综上可知，正确的判断是②.3．已知映射f：A→B，其中A＝B＝R，对应法则f：x→y＝－x2＋2x，对于实数k∈B，在集合A中不存在元素与之对应，则k的取值范围是________．答案(1，＋∞)解析由题意知，方程－x2＋2x＝k无实数根，即x2－2x＋k＝0无实数根．∴Δ＝4(1－k)0，∴k1时满足题意．5思维升华函数的值域可由定义域和对应法则唯一确定；当且仅当定义域和对应法则都相同的函数才是同一函数．值得注意的是，函数的对应法则是就结果而言的(判断两个函数的对应法则是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应法则算出的函数值是否相同)．题型二求函数的解析式例1(1)设二次函数y＝f(x)的最大值为13，且f(3)＝f(－1)＝5，求f(x)的解析式；(2)已知f1－x1＋x＝1－x21＋x2，求f(x)的解析式．解(1)方法一由f(3)＝f(－1)，知抛物线y＝f(x)的对称轴为x＝1，故设f(x)＝a(x－1)2＋13(a0)，将点(3,5)的坐标代入，求得a＝－2.故f(x)＝－2(x－1)2＋13＝－2x2＋4x＋11.方法二由f(3)＝f(－1)＝5，可设f(x)－5＝a(x－3)(x＋1)(a0)，即f(x)＝a(x2－2x－3)＋5＝a(x－1)2－4a＋5，故－4a＋5＝13，得a＝－2，从而f(x)＝－2(x－1)2＋13＝－2x2＋4x＋11.(2)令1－x1＋x＝t，因1－x1＋x＝－1＋2x＋1≠－1，故t≠－1，且x＝1－t1＋t.由f1－x1＋x＝1－x21＋x2，得f(t)＝1－1－t1＋t21＋1－t1＋t2＝2t1＋t2(t≠－1)．于是得f(x)＝2x1＋x2，其定义域是{x|x≠－1}．思维升华函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式．跟踪训练1(1)已知函数f(x)是二次函数，且满足f(2x＋1)＋f(2x－1)＝16x2－4x＋6，则f(x)＝________.答案2x2－x＋16解析设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则a(2x＋1)2＋b(2x＋1)＋c＋a(2x－1)2＋b(2x－1)＋c＝16x2－4x＋6，可得8a＝16，4b＝－4，2a＋2c＝6，解得a＝2，b＝－1，c＝1，则f(x)＝2x2－x＋1.(2)已知f(3x＋1)＝2x2－x＋3，则f(1－x)＝________________.答案2x29＋x3＋3解析令3x＋1＝t，于是x＝t－13，得f(t)＝2t－132－t－13＋3＝2t29－7t9＋329，所以f(x)＝2x29－7x9＋329，所以f(1－x)＝21－x29－7x－19＋329＝2x29＋x3＋3.题型三分段函数命题点1求分段函数的函数值例2(1)已知f(x)＝log3x，x0，ax＋b，x≤0，且f(0)＝2，f(－1)＝3，则f(f(－3))＝________.答案2解析由题意得f(0)＝a0＋b＝1＋b＝2，解得b＝1；f(－1)＝a－1＋b＝a－1＋1＝3，解得a＝12.故f(－3)＝12－3＋1＝9，从而f(f(－3))＝f(9)＝log39＝2.7(2)已知函数f(x)＝13x，x≥3，fx＋1，x3，则f(2＋log32)的值为________．答案154解析∵2＋log312＋log322＋log33，即22＋log323，∴f(2＋log32)＝f(2＋log32＋1)＝f(3＋log32)，又33＋log324，∴f(3＋log32)＝33log213＝133×3log213＝127×3log21(3)－＝127×3log23＝127×31log23＝127×12＝154，∴f(2＋log32)＝154.命题点2分段函数与方程、不等式问题例3已知函数f(x)＝21,0,21,1xccxxccx≤满足f(c2)＝98.(1)求常数c的值；(2)解不等式f(x)28＋1.解(1)因为0c1，所以c2c.由f(c2)＝98，得c3＋1＝98，所以c＝12.(2)由(1)得f(x)＝12x＋1，0x12，2－4x＋1，12≤x1.当0x12时，由12x＋128＋1，解得24x12；当12≤x1时，由2－4x＋128＋1，解得12≤x58.所以不等式的解集为x24x58.思维升华(1)分段函数的求值问题的解题思路①求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．8②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．跟踪训练2(1)已知实数a≠0，函数f(x)＝2x＋a，x1，－x－2a，x≥1.若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．答案－34解析当a0时，1－a1,1＋a1，由f(1－a)＝f(1＋a)，可得2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，解得a＝－32，不合题意；当a0时，1－a1,1＋a1，由f(1－a)＝f(1＋a)，可得－(1－a)－2a＝2(1＋a)＋a，解得a＝－34，符合题意．综上，a＝－34.(2)(2018·全国Ⅰ改编)设函数f(x)＝2－x，x≤0，1，x0，则满足f(x＋1)f(2x)的x的取值范围是________．答案(－∞，0)解析方法一①当x＋1≤0，2x≤0，即x≤－1时，f(x＋1)f(2x)即为2－(x＋1)2－2x，即－(x＋1)－2x，解得x1.因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当x＋1≤0，2x0时，不等式组无解．③当x＋10，2x≤0，即－1x≤0时，f(x＋1)f(2x)即12－2x，解得x0.因此不等式的解集为(－1,0)．④当x＋10，2x0，即x0时，f(x＋1)＝1，f(2x)＝1，不合题意．9综上，不等式f(x＋1)f(2x)的解集为(－∞，0)．方法二∵f(x)＝2－x，x≤0，1，x0，∴函数f(x)的图象如图所示．由图可知，当x＋1≤0且2x≤0时，函数f(x)为减函数，故f(x＋1)f(2x)转化为x＋12x.此时x≤－1.当2x0且x＋10时，f(2x)1，f(x＋1)＝1