（鲁京津琼专用）2020版高考数学大一轮复习 第五章 平面向量与复数 微专题六 向量中数量积的最值教

1微专题六向量中数量积的最值[经验分享]在平面向量的问题中，存在一种“以平面图形为载体的有关数量积的最大值问题”，通过对该类问题的多解探究，进一步提高分析、解决此类问题的能力．题目(2018·南通调研)如图1，已知AC＝2，B为AC的中点，分别以AB，AC为直径在AC同侧作半圆，M，N分别为两半圆上的动点(不含端点A，B，C)，且BM⊥BN，则AM→·CN→的最大值为________．答案14解析方法一由题设可知AB＝BC＝BN＝1.因为点M在以AB为直径的半圆上，所以AM⊥BM，又BM⊥BN，所以AM∥BN，若设∠MAB＝θ，则∠NBC＝θ.如题图2，建立平面直角坐标系xBy，则点A(－1,0)，M(－sin2θ，sinθcosθ)，C(1,0)，N(cosθ，sinθ)，所以AM→＝(－sin2θ＋1，sinθcosθ)＝(cos2θ，sinθcosθ)，CN→＝(cosθ－1，sinθ)．于是，AM→·CN→＝cos2θ·(cosθ－1)＋sin2θcosθ＝cos3θ－cos2θ＋(1－cos2θ)cosθ＝－cos2θ＋cosθ＝14－cosθ－122.又易知0θπ2，所以，当θ＝π3时，可得AM→·CN→的最大值为14.评注上述求解过程的切入点是引入辅助角θ，准确写出点M，N的坐标，以便灵活利用平面向量的坐标运算加以求解．方法二如题图2，建立平面直角坐标系xBy，设直线BN的方程为y＝kx(k0)，则因为BM⊥BN，所以直线BM的方程为y＝－1kx.注意到点N是直线BN与以AC为直径的半圆的交点，所以将y＝kx与x2＋y2＝1联立，可求2得点N的坐标为11＋k2，k1＋k2.注意到点M是直线BM与以AB为直径的半圆的交点，所以将y＝－1kx与x＋122＋y2＝14联立，可求得点M的坐标为－k2k2＋1，kk2＋1.又点A(－1,0)，C(1,0)，所以向量AM→＝1k2＋1，kk2＋1，CN→＝11＋k2－1，k1＋k2，所以AM→·CN→＝1k2＋111＋k2－1＋kk2＋1·k1＋k2＝1k2＋1k2＋11＋k2－1＝11＋k2－1k2＋1＝14－11＋k2－122，故当11＋k2＝12，即k＝3时，可得AM→·CN→的最大值为14.评注上述求解过程的关键是引入参数k(直线BN的斜率)，并借助直线和圆的方程，灵活求解点M，N的坐标，整个求解过程显然比方法一增加了许多运算量．方法三由题设可知AB＝BC＝BN＝1，因为点M在以AB为直径的半圆上，所以AM⊥BM，又BM⊥BN，所以AM∥BN，所以AM→·BN→＝|AM→|×1×cos0°＝|AM→|.因为AM⊥BM，AB＝1，所以|AM→|＝1×cos∠MAB＝cos∠MAB，所以AM→·BC→＝AM→·AB→＝|AM→|×1×cos∠MAB＝|AM→|2.于是，AM→·CN→＝AM→·(BN→－BC→)＝AM→·BN→－AM→·BC→＝|AM→|－|AM→|2＝14－|AM→|－122.又0|AM→|1，3所以，当|AM→|＝12时，可得AM→·CN→的最大值为14.评注上述求解过程的关键是充分利用平面向量的数量积公式a·b＝|a|·|b|cosθ，将目标问题等价转化为求解关于“|AM→|”的二次函数在区间(0,1)上的最大值．方法四如图3，分别延长AM，CN，设其交点为E，并设ME与大半圆的交点为D，连接CD，则易知AM⊥MB，AD⊥DC，所以BM∥CD，又B为AC的中点，图3所以M为AD的中点，所以AM→＝12AD→.又易知AE→∥BN→，且B为AC的中点，所以N为CE的中点，所以CN→＝12CE→.于是，AM→·CN→＝14AD→·CE→＝14AD→·(CD→＋DE→)＝14AD→·CD→＋14AD→·DE→＝0＋14|AD→|·|DE→|cos0°＝14|AD→|·|DE→|.因为BN为△ACE的中位线，所以|AD→|＋|DE→|＝|AE→|＝2|BN→|＝2.从而，AM→·CN→＝14|AD→|·|DE→|≤14|AD→|＋|DE→|22＝14×222＝14，当且仅当|AD→|＝|DE→|，即D为AE的中点时不等式取等号．故所求AM→·CN→的最大值为14.评注上述求解过程的关键是巧作辅助线，充分利用相关平面几何知识，先获得AM→＝12AD→和CN→4＝12CE→，然后再综合利用向量的几何意义、数量积运算、三角形中位线性质定理以及基本不等式的变形式“ab≤a＋b22”加以灵活求解．方法五如图4，以BC为直径画半圆，交BN于点D，连接CD，则BD⊥CD.又易知AM∥BD，且AM＝BD，所以图4AM→·CN→＝BD→·(CD→＋DN→)＝BD→·CD→＋BD→·DN→＝0＋|BD→|·|DN→|cos0°＝|BD→|·|DN→|≤|BD→|＋|DN→|22＝122＝14，当且仅当|BD→|＝|DN→|，即D为BN中点时不等式取等号．故所求AM→·CN→的最大值为14.评注上述求解过程的关键是巧作“半圆”，先将目标问题等价转化为求|BD→|·|DN→|的最大值，再灵活利用基本不等式的变形巧求最大值．显然，该解法最简单，故值得我们细细品味、深思！综上，不同的思维切入点，往往可获得不同的解题体验，真可谓“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，需要我们在学中“悟”，在“悟”中不断提升解题技巧．5