（鲁京津琼专用）2020版高考数学大一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.2 充要条件、全称量词

1§1.2充要条件、全称量词与存在量词最新考纲1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.2.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词和存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．1．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p2.全称量词和存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．3．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定命题名称语言表示符号表示命题的否定全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立∀x∈M，p(x)∃x0∈M，綈p(x0)特称命题存在M中的一个x0，使p(x0)成立∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，綈p(x)概念方法微思考若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系．提示若AB，则p是q的充分不必要条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；2若AB，则p是q的必要不充分条件；若A＝B，则p是q的充要条件；若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(√)(2)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个等价命题．(√)(3)全称命题一定含有全称量词．(×)(4)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反．(√)题组二教材改编2．命题“正方形都是矩形”的否定是___________________________．答案存在一个正方形，这个正方形不是矩形3．“x－3＝0”是“(x－3)(x－4)＝0”的______条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)答案充分不必要题组三易错自纠4．(2018·郑州质检)命题“∃x0∈R，x20－x0－10”的否定是()A．∀x∈R，x2－x－1≤0B．∀x∈R，x2－x－10C．∃x0∈R，x20－x0－1≤0D．∃x0∈R，x20－x0－1≥0答案A5．已知p：xa是q：2x3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．答案(－∞，2]解析由已知，可得{x|2x3}{x|xa}，∴a≤2.6．若“∀x∈0，π4，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．答案1解析∵函数y＝tanx在0，π4上是增函数，∴ymax＝tanπ4＝1.依题意知，m≥ymax，即m≥1.∴m的最小值为1.3题型一充分、必要条件的判定例1(1)已知α，β均为第一象限角，那么“αβ”是“sinαsinβ”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案D解析取α＝7π3，β＝π3，αβ成立，而sinα＝sinβ，sinαsinβ不成立．∴充分性不成立；取α＝π3，β＝13π6，sinαsinβ，但αβ，必要性不成立．故“αβ”是“sinαsinβ”的既不充分也不必要条件．(2)已知条件p：x1或x－3，条件q：5x－6x2，则q是p的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析由5x－6x2，得2x3，即q：2x3.所以q⇒p，p⇏q，所以q是p的充分不必要条件，故选A.思维升华充分条件、必要条件的三种判定方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题．跟踪训练1(1)(2018·福建省莆田一中月考)王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的()A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件D．必要不充分条件答案D解析非有志者不能至，是必要条件；但“有志”也不一定“能至”，不是充分条件．(2)(2018·济南模拟)若集合A＝{x|1x2}，B＝{x|xb，b∈R}，则A⊆B的一个充分不必要条件是()A．b≥2B．1b≤24C．b≤1D．b1答案D解析∵A＝{x|1x2}，B＝{x|xb，b∈R}，∴A⊆B的充要条件是b≤1，∴b1是A⊆B的充分不必要条件，故选D.题型二含有一个量词的命题命题点1全称命题、特称命题的真假例2(1)(2018·沈阳模拟)下列四个命题中真命题是()A．∀n∈R，n2≥nB．∃n0∈R，∀m∈R，m·n0＝mC．∀n∈R，∃m0∈R，m20nD．∀n∈R，n2n答案B解析对于选项A，令n＝12，即可验证其不正确；对于选项C，D，可令n＝－1加以验证，均不正确，故选B.(2)下列命题中的假命题是()A．∀x∈R,2x－10B．∀x∈N*，(x－1)20C．∃x0∈R，lgx01D．∃x0∈R，tanx0＝2答案B解析当x∈N*时，x－1∈N，可得(x－1)2≥0，当且仅当x＝1时取等号，故B不正确；易知A，C，D正确，故选B.命题点2含一个量词的命题的否定例3(1)已知命题p：“∃x0∈R，0ex－x0－1≤0”，则綈p为()A．∃x0∈R，0ex－x0－1≥0B．∃x0∈R，0ex－x0－10C．∀x∈R，ex－x－10D．∀x∈R，ex－x－1≥0答案C解析根据全称命题与特称命题的否定关系，可得綈p为“∀x∈R，ex－x－10”，故选C.(2)(2018·福州质检)已知命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≥0，则綈p是()A．∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0B．∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤05C．∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)0D．∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)0答案C解析已知全称命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)≥0，则綈p：∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)0，故选C.思维升华(1)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x＝x0，使p(x0)成立．(2)对全(特)称命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词；②对原命题的结论进行否定．跟踪训练2(1)(2018·东北三校联考)下列命题中是假命题的是()A．∃x0∈R，log2x0＝0B．∃x0∈R，cosx0＝1C．∀x∈R，x20D．∀x∈R,2x0答案C解析因为log21＝0，cos0＝1，所以选项A，B均为真命题，02＝0，选项C为假命题，2x0，选项D为真命题，故选C.(2)已知命题p：∃x0∈R，log2(03x＋1)≤0，则()A．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0B．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)0C．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0D．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)0答案B解析因为3x0，所以3x＋11，则log2(3x＋1)0，所以p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)0.故选B.题型三充分、必要条件的应用例4已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．解由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}．由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.则1－m≤1＋m，1－m≥－2，∴0≤m≤3.1＋m≤10，6∴当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．引申探究若本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．解若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，∴1－m＝－2，1＋m＝10，方程组无解，即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．思维升华充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．跟踪训练3(1)若“x2m2－3”是“－1x4”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是__________．答案[－1,1]解析依题意，可得(－1,4)(2m2－3，＋∞)，所以2m2－3≤－1，解得－1≤m≤1.(2)设n∈N*，则一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.答案3或4解析由Δ＝16－4n≥0，得n≤4，又n∈N*，则n＝1,2,3,4.当n＝1,2时，方程没有整数根；当n＝3时，方程有整数根1,3，当n＝4时，方程有整数根2.综上可知，n＝3或4.题型四命题中参数的取值范围例5已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝12x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________________．答案14，＋∞解析当x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1,2]时，g(x)min＝g(2)＝14－m，由f(x)min≥g(x)min，得0≥14－m，所以m≥14.7引申探究本例中，若将“∃x2∈[1,2]”改为“∀x2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是________________．答案12，＋∞解析当x∈[1,2]时，g(x)max＝g(1)＝12－m，由f(x)min≥g(x)max，得0≥12－m，∴m≥12.思维升华对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．跟踪训练4(1)已知命题“∀x∈R，x2－5x＋152a0”的否定为假命题，则实数a的取值范围是______________．答案56，＋∞解析由“∀x∈R，x2－5x＋152a0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x2－5x＋152a0对任意实数x恒成立．设f(x)＝x2－5x＋152a，则其图象恒在x轴的上方．故Δ＝25－4×152a0，解得a56，即实数a的取值范围为56，＋∞.(2)已知c0，且c≠1，设命题p：函数y＝cx为减函数．命题q：当x∈12，2时，函数f(x)＝x＋1x1c恒成立．如果p和q有且只有一个是真命题，则c的取值范围为________________．答案0，12∪(1，＋∞)解析由命题p为真知，0c1，由命题q为真知，2≤x＋1x≤52，要使x＋1x1c恒成立，需1c2，即c12，当p真q假时，c的取值范围是0c≤12；8当p假q真时，c的取值范围是c1.综上可知，c的取值范围是0，12∪(1，＋∞)．利用充要条件求参数范围逻辑推理是从事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养．逻辑推理的主要形式是演绎推理，它是得到数学结论、证明数学命题的主要方式，也是数学交流、表达的基本思维品质．例已知p：1－x－13≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m0)，q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围为__________．答案[9，＋∞)解析∵q是p的必要不充分条件．即p是q的充分不