（鲁京津琼专用）2020版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.3 三角函数的图象与性

1§4.3三角函数的图象与性质最新考纲1.能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性.2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，正切函数在－π2，π2上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴交点等)．1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，π2，1，(π，0)，3π2，－1，(2π，0)．(2)在余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，π2，0，(π，－1)，3π2，0，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR错误!x≠kπ＋错误!}值域[－1,1][－1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间2kπ－π2，2kπ＋π2[2kπ－π，2kπ]kπ－π2，kπ＋π2递减区间2kπ＋π2，2kπ＋3π2[2kπ，2kπ＋π]无2对称中心(kπ，0)kπ＋π2，0kπ2，0对称轴方程x＝kπ＋π2x＝kπ无概念方法微思考1．正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少？相邻两个对称中心的距离呢？提示正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期；相邻两个对称中心的距离也为半个周期．2．思考函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)是奇函数，偶函数的充要条件？提示(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝π2＋kπ(k∈Z)；(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)y＝sinx在第一、第四象限是增函数．(×)(2)由sinπ6＋2π3＝sinπ6知，2π3是正弦函数y＝sinx(x∈R)的一个周期．(×)(3)正切函数y＝tanx在定义域内是增函数．(×)(4)已知y＝ksinx＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(×)(5)y＝sin|x|是偶函数．(√)题组二教材改编2．函数f(x)＝cos2x＋π4的最小正周期是．答案π3．y＝3sin2x－π6在区间0，π2上的值域是．答案－32，3解析当x∈0，π2时，2x－π6∈－π6，5π6，sin2x－π6∈－12，1，故3sin2x－π6∈－32，3，3即y＝3sin2x－π6的值域为－32，3.4．函数y＝－tan2x－3π4的单调递减区间为．答案π8＋kπ2，5π8＋kπ2(k∈Z)解析由－π2＋kπ2x－3π4π2＋kπ(k∈Z)，得π8＋kπ2x5π8＋kπ2(k∈Z)，所以y＝－tan2x－3π4的单调递减区间为π8＋kπ2，5π8＋kπ2(k∈Z)．题组三易错自纠5．下列函数中最小正周期为π且图象关于直线x＝π3对称的是()A．y＝2sin2x＋π3B．y＝2sin2x－π6C．y＝2sinx2＋π3D．y＝2sin2x－π3答案B解析函数y＝2sin2x－π6的最小正周期T＝2π2＝π，又sin2×π3－π6＝1，∴函数y＝2sin2x－π6的图象关于直线x＝π3对称．6．函数f(x)＝4sinπ3－2x的单调递减区间是．答案kπ－π12，kπ＋512π(k∈Z)解析f(x)＝4sinπ3－2x＝－4sin2x－π3.所以要求f(x)的单调递减区间，只需求y＝4sin2x－π3的单调递增区间．由－π2＋2kπ≤2x－π3≤π2＋2kπ(k∈Z)，得－π12＋kπ≤x≤512π＋kπ(k∈Z)．4所以函数f(x)的单调递减区间是－π12＋kπ，512π＋kπ(k∈Z)．7．cos23°，sin68°，cos97°的大小关系是．答案sin68°cos23°cos97°解析sin68°＝cos22°，又y＝cosx在[0°，180°]上是减函数，∴sin68°cos23°cos97°.题型一三角函数的定义域1．函数f(x)＝－2tan2x＋π6的定义域是()A.xx≠π6B.xx≠－π12C.xx≠kπ＋π6k∈ZD.xx≠kπ2＋π6k∈Z答案D解析由正切函数的定义域，得2x＋π6≠kπ＋π2，k∈Z，即x≠kπ2＋π6(k∈Z)，故选D.2．函数y＝sinx－cosx的定义域为．答案2kπ＋π4，2kπ＋5π4(k∈Z)解析方法一要使函数有意义，必须使sinx－cosx≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sinx和y＝cosx的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sinx＝cosx的x为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为x2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k∈Z.方法二利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图中阴影部分所示)．5所以定义域为x2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k∈Z.3．函数y＝lg(sinx)＋cosx－12的定义域为．答案x2kπx≤2kπ＋π3，k∈Z解析要使函数有意义，则sinx0，cosx－12≥0，即sinx0，cosx≥12，解得2kπxπ＋2kπ，k∈Z，－π3＋2kπ≤x≤π3＋2kπ，k∈Z，所以2kπx≤π3＋2kπ(k∈Z)，所以函数的定义域为x2kπx≤2kπ＋π3，k∈Z.思维升华三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．题型二三角函数的值域(最值)例1(1)函数y＝2sinπx6－π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为()A．2－3B．0C．－1D．－1－3答案A解析因为0≤x≤9，所以－π3≤πx6－π3≤7π6，6所以－32≤sinπx6－π3≤1，则－3≤y≤2.所以ymax＋ymin＝2－3.(2)函数y＝cos2x＋2cosx的值域是()A．[－1,3]B.－32，3C.－32，－1D.32，3答案B解析y＝cos2x＋2cosx＝2cos2x＋2cosx－1＝2cosx＋122－32，因为cosx∈[－1,1]，所以原式的值域为－32，3.思维升华求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型：(1)形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)；(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；(3)形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)．(4)一些复杂的三角函数，可考虑利用导数确定函数的单调性，然后求最值．跟踪训练1(1)已知函数f(x)＝sinx＋π6，其中x∈－π3，a，若f(x)的值域是－12，1，则实数a的取值范围是．答案π3，π解析∵x∈－π3，a，∴x＋π6∈－π6，a＋π6，∵当x＋π6∈－π6，π2时，f(x)的值域为－12，1，∴由函数的图象(图略)知，π2≤a＋π6≤7π6，∴π3≤a≤π.(2)(2018·长沙质检)函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域为．答案－12－2，17解析设t＝sinx－cosx，则t2＝sin2x＋cos2x－2sinx·cosx，sinxcosx＝1－t22，且－2≤t≤2.∴y＝－t22＋t＋12＝－12(t－1)2＋1，t∈[－2，2]．当t＝1时，ymax＝1；当t＝－2时，ymin＝－12－2.∴函数的值域为－12－2，1.题型三三角函数的周期性与对称性例2(1)若函数f(x)＝2tankx＋π3的最小正周期T满足1T2，则自然数k的值为________．答案2或3解析由题意得1πk2，k∈N，∴π2kπ，k∈N，∴k＝2或3.(2)(2018·武汉模拟)若函数y＝cosωx＋π6(ω∈N*)图象的一个对称中心是π6，0，则ω的最小值为___________．答案2解析由题意知ωπ6＋π6＝kπ＋π2(k∈Z)，∴ω＝6k＋2(k∈Z)，又ω∈N*，∴ωmin＝2.思维升华(1)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点．(2)求三角函数周期的方法①利用周期函数的定义．②利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为π|ω|.跟踪训练2(1)函数y＝2sin2x＋π3的图象()A．关于原点对称8B．关于点－π6，0对称C．关于y轴对称D．关于直线x＝π6对称答案B解析∵当x＝－π6时，函数y＝2sin－π6×2＋π3＝0，∴函数图象关于点－π6，0对称．(2)若直线x＝54π和x＝94π是函数y＝cos(ωx＋φ)(ω0)图象的两条相邻对称轴，则φ的一个可能取值为()A.34πB.π2C.π3D.π4答案A解析由题意，函数的周期T＝2×94π－54π＝2π，∴ω＝2πT＝1，∴y＝cos(x＋φ)，当x＝54π时，函数取得最大值或最小值，即cos54π＋φ＝±1，可得54π＋φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝kπ－54π，k∈Z.当k＝2时，可得φ＝34π.题型四三角函数的单调性命题点1求三角函数的单调区间例3(1)函数f(x)＝sin－2x＋π3的单调递减区间为．答案kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)解析f(x)＝sin－2x＋π3＝sin－2x－π3＝－sin2x－π3，由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，k∈Z.故所求函数的单调递减区间为9kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)．(2)函数f(x)＝tan2x＋π3的单调递增区间是．答案kπ2－5π12，kπ2＋π12(k∈Z)解析由kπ－π22x＋π3kπ＋π2(k∈Z)，得kπ2－5π12xkπ2＋π12(k∈Z)，所以函数f(x)＝tan2x＋π3的单调递增区间为kπ2－5π12，kπ2＋π12(k∈Z)．(3)函数y＝12sinx＋32cosxx∈0，π2的单调递增区间是．答案0，π6解析∵y＝12sinx＋32cosx＝sinx＋π3，由2kπ－π2≤x＋π3≤2kπ＋π2(k∈Z)，解得2kπ－5π6≤x≤2kπ＋π6(k∈Z)．∴函数的单调递增区间为2kπ－5π6，2kπ＋π6(k∈Z)，又x∈0，π2，∴函数的单调递增区间为0，π6.命题点2根据单调性求参数例4已知ω0，函数f