（鲁京津琼专用）2020版高考数学大一轮复习 第六章 数列 微专题七 放缩法在证明中的应用教案（含解

1微专题七放缩法在证明中的应用[解题策略]放缩法是不等式证明的重要方法，其中的放缩技巧既有模式可循但更有创意之变，如何灵活运用放缩法解题是衡量解题者思维好坏的标杆．常见的放缩形式有：(1)1n2的放缩：1n21nn－1＝1n－1－1n(n≥2)，1n21nn＋1＝1n－1n＋1，1n21n2－14＝1n－12－1n＋12；(2)1n！的放缩：1n！＝11·2·3·…·n1n·n－1＝1n－1－1n(n≥2)，1n！＝11·2·3·…·n11·2·2·…·2＝12n－1(n≥2)；(3)1n的放缩：1n＝22n2n＋n＋1＝2(n＋1－n)，1n＝22n2n＋n－1＝2(n－n－1)；(4)真分式ba的放缩：若ab0，m0，则bab＋ma＋m.另外，利用重要不等式放缩、导数应用中有关lnx型的放缩(如：ln(1＋x)x，x0)等也是常见的放缩方式．利用放缩法证明不等式的难点是放缩的“度”不好把握，放大了或放小了都得不出所证不等式，这样需要回头调整，留一项或几项不放缩逐步试验向所证结论靠扰，下面举例说明．2例1设n∈N*，求证：i＝1n1i26136.分析当n≥2时，1n21nn－1＝1n－1－1n，所以112＋122＋132＋…＋1n21＋11·2＋12·3＋…＋1n－1n＝1＋1－12＋…＋1n－1－1n＝2－1n2，而26136，放大了，若从第三项开始放缩如何呢？当n≥3时，112＋122＋132＋…＋1n21＋122＋12·3＋13·4＋…＋1n－1n＝1＋122＋12－13＋13－14＋…＋1n－1－1n＝1＋14＋12－1n＝74－1n74，而746136，仍放大了，若从第四项开始放缩呢？当n≥4时，112＋122＋132＋…＋1n21＋122＋132＋13·4＋…＋1n－1n＝1＋122＋132＋13－14＋…＋1n－1－1n＝1＋14＋19＋13－1n＝6136－1n6136，恰好证得结果．又易知当n＝1,2,3时，不等式显然成立．因此，i＝1n1i26136.例2设n∈N*，求证：nn＋12k＝1nkk＋1n＋122.分析因为kk＋1k2＝k，3所以k＝1nkk＋1k＝1nk＝nn＋12，左边得证．又因为kk＋1k＋12＝k＋1，所以k＝1nkk＋1k＝1n(k＋1)＝nn＋32，nn＋32≥n＋122，放大了，得不到所证结论，于是应该作调整．事实上，kk＋1k2＋k＋14＝k＋12，所以k＝1nkk＋1k＝1nk＋12＝nn＋12＋n2＝n2＋2n2n＋122.故nn＋12k＝1nkk＋1n＋122.例3求证：16k＝1801k17.证明因为1k＝22k2k＋k－1＝2(k－k－1)，所以k＝1801k1＋2(2－1)＋2(3－2)＋…＋2(80－79)＝280－1281－1＝17.又1k＝22k2k＋1＋k＝2(k＋1－k)，所以k＝1801k2(2－1)＋2(3－2)＋…＋2(81－80)＝281－2＝16.故16k＝1801k17.评注在证明k＝1801k17时，对第一项没有进行放缩．4