（鲁京津琼专用）2020版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 微专题十一 数学问题中圆的寻觅教

1微专题十一数学问题中圆的寻觅[解题技法]众所周知，圆是常见的平面图形，无论从形或数两方面来看，圆都具有丰富的内涵．当我们面对某些数学问题时，倘若能够从圆的视角来审视问题，即寻觅问题中圆的隐形的踪影，常常能使问题的求解过程变得清晰明了，简单快捷．本文拟就如何寻觅问题中圆的踪影，分三个方面予以概述．一、寻觅几何圆所谓寻觅几何圆，是指通过构造一个问题背后的相关圆，借助圆的几何性质求解问题．例1在锐角△ABC中，A＝45°，若a＝2，求bc的取值范围．以下是本题的常见解法：解因为B＋C＝180°－A＝135°，0°B90°，0°C90°，所以45°C90°.又由余弦定理得b＝2sinB，c＝2sinC，所以bc＝2sin(135°－C)·2sinC＝2sin(2C－45°)＋2.因为45°2C－45°135°，所以22sin(2C－45°)≤1，所以bc∈(22，2＋2]．上述解法，局限于“数”，倘若基于“形”，则可画出△ABC的外接圆O，如图1，设BM，CN为圆O的直径．因为A＝45°，BC＝2，由圆的几何性质可知，当点A在劣弧MN(不含端点)上运动时，△ABC即为锐角三角形，此时，△ABC的面积S满足S△MBCS≤S△DBC(D为劣弧MN的中点)，即12MB·MC·sinM12bcsinA≤12DB2·sinD，所以bc∈(MB·MC，DB2]．易求得MB·MC＝22，DB2＝2＋2，2所以bc∈(22，2＋2]．这种解法，直观简洁，避免了繁冗的三角变换过程．例2在△ABC中，sin(A－B)＝sinC－sinB，D是BC的一个三分点(靠近点B)，记sin∠ABDsin∠BAD＝λ，则当λ取最大值时，求tan∠ACD的值．这是一道有一定难度的综合问题．假如仅从常规的函数视角审视问题，求解过程颇为不易．下面，我们从构造圆的思维考虑问题，则有以下简明解法．解由sin(A－B)＝sinC－sinB＝sin(A＋B)－sinB可得2cosAsinB＝sinB，所以cosA＝12，因为A∈(0°，180°)，故A＝60°.画出△ABC的外接圆O，如图2，记A，B，C所对的边长顺次为a，b，c.在△ABD中应用正弦定理，可得ADBD＝sin∠ABDsin∠BAD＝λ，所以AD＝13λa.不难证明：当λ最大时，AD过圆心O(否则A′D≤A′O＋OD＝AO＋OD＝AD)，过O作OE⊥BC，交BC于E.因为A＝60°，所以∠BOC＝120°，∠OBC＝∠OCB＝30°.不妨设BD＝1，DC＝2，在Rt△OED中，OE＝BEtan30°＝32·33＝32，ED＝12，所以OD＝1，即有OD＝BD，故∠OBD＝∠DOB＝30°，∠BOA＝150°，∠ABO＝15°，所以∠ABC＝45°.从而∠ACD＝∠ACB＝180°－60°－45°＝75°，所以tan∠ACD＝tan75°＝2＋3.二、寻觅解析圆解析圆，即为坐标圆．解题时，依照题设，通过建立直角坐标系，寻觅隐藏在问题背后的圆的方程，依托圆的解析性质求解问题．例3(2018·浙江)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为π3，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是()A.3－1B.3＋1C．2D．2－3下面给出一种基于构造解析圆的解法．解设e＝(1,0)，a＝(x，y)，b＝(m，n)，3由题设可得a·e＝|a|·|e|cosπ3，即x＝12x2＋y2，整理得y＝3x(x≥0)．又由b2－4e·b＋3＝0可得m2＋n2－4m＋3＝0，整理得(m－2)2＋n2＝1.在直角坐标系xOy中，分别画出圆C：(x－2)2＋y2＝1，射线l：y＝3x(x≥0)，过圆心C作CD⊥l，交直线l与点D.由直观图可知，|a－b|的最小值是|CD|－1＝3－1.故选A.例4在平面四边形ABCD中，AB＝1，AC＝5，BD⊥BC，BD＝2BC，求线段AD的最大值与最小值．本题是某地模拟试卷中的一道题，其中给出的该题详解是基于正弦定理、余弦定理的求解，过程不易．下面给出根据已知构造解析圆的更加简捷的求法．解如图4，以B为原点，以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(－1,0)．设BC＝r，则可设C(rcosα，rsinα)，由AC＝5可得(rcosα＋1)2＋(rsinα)2＝5.①又因为BD⊥BC，BD＝2BC，则点D的坐标(xD，yD)满足xD＝2rcosα＋π2＝－2rsinα，yD＝2rsinα＋π2＝2rcosα.结合①式可得x2D＋(yD＋2)2＝20，即点D的轨迹为圆E：x2＋(y＋2)2＝20.易知|AE|＝5，点A(－1,0)在圆E内，所以，线段AD的最大值与最小值顺次为20＋|AE|＝35，20－|AE|＝5.三、寻觅双面圆寻觅双面圆，即寻觅隐含在问题背后的具有几何与代数特征的圆，然后，借助于圆的综合性质，达到破解问题的目的．例5已知a0，b0，且2a＋3b＝1，求P＝a＋b＋a2＋b2的最小值．本题按照常规思路求解，不太容易．如若能够伸出圆的视角，则能峰回路转．请看以下求解4过程．解如图5，考虑直线l：xa＋yb＝1，因为2a＋3b＝1，不难发现，直线l过点P(2,3)，构造圆C：(x－r)2＋(y－r)2＝r2，与直线l切于点T，显然圆C与x轴、y轴分别切于点M(r,0)，N(0，r)．易得A(a,0)，B(0，b)，|AB|＝a2＋b2，所以P＝a＋b＋a2＋b2＝|OA|＋|OB|＋|AB|＝|OA|＋|OB|＋|TA|＋|TB|＝|OA|＋|OB|＋|AM|＋|BN|＝|OM|＋|ON|＝2r.由于点P(2,3)在圆外，故有(2－r)2＋(3－r)2≥r2，整理得r2－10r＋13≥0，解得r≥5＋23(r≤5－23舍去)．故P＝a＋b＋a2＋b2的最小值为10＋43.