（鲁京津琼专用）2020版高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ2.1 函数及其表示教

1§2.1函数及其表示最新考纲1.通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．1．函数2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．概念方法微思考请你概括一下求函数定义域的类型．提示(1)分式型；(2)根式型；(3)对数式型；(4)指数函数、对数函数型；(5)三角函数型．2题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对于函数f：A→B，其值域就是集合B.(×)(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．(×)(3)函数f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点．(√)(4)分段函数是由两个或几个函数组成的．(×)题组二教材改编2．函数f(x)＝4－xx－1的定义域是________．答案(－∞，1)∪(1,4]3．函数y＝f(x)的图象如图所示，那么，f(x)的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是________．答案[－3,0]∪[2,3][1,5][1,2)∪(4,5]题组三易错自纠4．已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列各对应关系f不能表示从P到Q的函数的是________．(填序号)①f：x→y＝12x；②f：x→y＝13x；③f：x→y＝23x；④f：x→y＝x.答案③解析对于③，因为当x＝4时，y＝23×4＝83∉Q，所以③不是从P到Q的函数．5．已知f(x)＝x－1，则f(x)＝____________.答案x2－1(x≥0)解析令t＝x，则t≥0，x＝t2，所以f(t)＝t2－1(t≥0)，即f(x)＝x2－1(x≥0)．6．设f(x)＝1－x，x≥0，2x，x0，则f(f(－2))＝________.答案12解析因为－20，所以f(－2)＝2－2＝140，3所以f(f(－2))＝f14＝1－14＝1－12＝12.题型一函数的定义域命题点1求函数的定义域例1(1)(2018·江苏)函数f(x)＝log2x－1的定义域为________．答案{x|x≥2}解析由log2x－1≥0，即log2x≥log22，解得x≥2，满足x0，所以函数f(x)＝log2x－1的定义域为{x|x≥2}．(2)函数f(x)＝1xlnx2－3x＋2＋－x2－3x＋4的定义域为________________．答案[－4,0)∪(0,1)解析由x≠0，x2－3x＋20，－x2－3x＋4≥0，解得－4≤x0或0x1，故函数f(x)的定义域为[－4,0)∪(0,1)．(3)若函数y＝f(x)的定义域是[0,2020]，则函数g(x)＝fx＋1x－1的定义域是()A．[－1,2019]B．[－1,1)∪(1,2019]C．[0,2020]D．[－1,1)∪(1,2020]答案B解析使函数f(x＋1)有意义，则0≤x＋1≤2020，解得－1≤x≤2019，故函数f(x＋1)的定义域为[－1，2019]．所以函数g(x)有意义的条件是－1≤x≤2019，x－1≠0，解得－1≤x1或1x≤2019.故函数g(x)的定义域为[－1,1)∪(1,2019]．引申探究本例(3)中，若将“函数y＝f(x)的定义域为[0,2020]”，改为“函数f(x－1)的定义域为[0,2020]”，则函数g(x)＝fx＋1x－1的定义域为________．答案[－2,1)∪(1,2018]4解析由函数f(x－1)的定义域为[0,2020]，得函数y＝f(x)的定义域为[－1,2019]，令－1≤x＋1≤2019，x≠1，则－2≤x≤2018且x≠1.所以函数g(x)的定义域为[－2,1)∪(1,2018]．命题点2已知定义域求参数的值或范围例2(1)若函数f(x)＝ax2＋abx＋b的定义域为{x|1≤x≤2}，则a＋b的值为________．答案－92解析函数f(x)的定义域是不等式ax2＋abx＋b≥0的解集．不等式ax2＋abx＋b≥0的解集为{x|1≤x≤2}，所以a0，1＋2＝－b，1×2＝ba，解得a＝－32，b＝－3，所以a＋b＝－32－3＝－92.(2)设f(x)的定义域为[0,1]，要使函数f(x－a)＋f(x＋a)有定义，则a的取值范围为____________．答案－12，12解析函数f(x－a)＋f(x＋a)的定义域为[a,1＋a]∩[－a,1－a]，当a≥0时，应有a≤1－a，即0≤a≤12；当a0时，应有－a≤1＋a，即－12≤a0.所以a的取值范围是－12，12.思维升华(1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，可借助于数轴，注意端点值的取舍．(2)求抽象函数的定义域：①若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式ag(x)b即可求出y＝f(g(x))的定义域；②若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)在(a，b)上的值域即得f(x)的定义域．(3)已知函数定义域求参数的值或范围，可将问题转化成含参数的不等式(组)，然后求解．跟踪训练1(1)函数y＝ln1＋1x＋1－x2的定义域为________．答案(0,1]5解析函数的定义域满足x≠0，1＋1x0，1－x2≥0，解得x0或x－1，－1≤x≤1，∴0x≤1.(2)若函数y＝f(x)的定义域为[0,2]，则函数g(x)＝f2xx－1的定义域是()A．[0,1)B．[0,1]C．[0,1)∪(1,4]D．(0,1)答案A解析函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，要使函数g(x)有意义，可得0≤2x≤2，x－1≠0，解得0≤x1，故选A.(3)若函数f(x)＝mx2＋mx＋1的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是________．答案[0,4]解析由题意知，mx2＋mx＋1≥0对x∈R恒成立．当m＝0时，f(x)的定义域为一切实数；当m≠0时，由m0，m2－4m≤0，得0m≤4，综上，m的取值范围是[0,4]．题型二求函数的解析式1．若f1x＝x1－x，则当x≠0，且x≠1时，f(x)等于()A.1xB.1x－1C.11－xD.1x－1答案B解析f(x)＝1x1－1x＝1x－1(x≠0且x≠1)．2．已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则f(x)＝________.答案12x2－32x＋26解析设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2，f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1，∴2a＝1，a＋b＝－1，即a＝12，b＝－32.∴f(x)＝12x2－32x＋2.3．已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝3x·f1x＋1，则f(x)＝______________.答案－38x－18(x0)解析在f(x)＝3x·f1x＋1中，将x换成1x，则1x换成x，得f1x＝31x·f(x)＋1，将该方程代入已知方程消去f1x，得f(x)＝－38x－18(x0)．思维升华函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；(4)消去法：已知f(x)与f1x或f(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．题型三分段函数命题点1求分段函数的函数值例3(1)已知f(x)＝log3x，x0，ax＋b，x≤0，且f(0)＝2，f(－1)＝3，则f(f(－3))等于()A．－2B．2C．3D．－3答案B解析由题意得f(0)＝a0＋b＝1＋b＝2，解得b＝1；f(－1)＝a－1＋b＝a－1＋1＝3，解得a＝12.故f(－3)＝12－3＋1＝9，7从而f(f(－3))＝f(9)＝log39＝2.(2)已知函数f(x)＝13x，x≥3，fx＋1，x3，则f(2＋log32)的值为________．答案154解析∵2＋log312＋log322＋log33，即22＋log323，∴f(2＋log32)＝f(2＋log32＋1)＝f(3＋log32)，又33＋log324，∴f(3＋log32)＝1333log2＋＝133×133log2＝127×(3－1)3log2＝127×3log23－＝127×31log23＝127×12＝154，∴f(2＋log32)＝154.命题点2分段函数与方程、不等式问题例4(1)设函数f(x)＝2x，x≤0，|log2x|，x0，则使f(x)＝12的x的集合为__________．答案－1，2，22解析由题意知，若x≤0，则2x＝12，解得x＝－1；若x0，则|log2x|＝12，解得x＝122或x＝122－.故x的集合为－1，2，22.(2)已知函数f(x)＝13logx，x0，2x，x≤0，若f(a)12，则实数a的取值范围是__________．答案－1，33解析当a≤0时，令2a12，解得－1a≤0；当a0时，令13loga12，解得0a33.∴a∈(－1,0]∪0，33，即a∈－1，33.思维升华(1)分段函数的求值问题的解题思路①求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，8切记要代入检验．(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．跟踪训练2(1)已知函数f(x)＝－log23－x，x2，2x－2－1，x≥2，若f(2－a)＝1，则a等于()A．－2B．－1C．－1或－12D．2答案B解析当2－a≥2，即a≤0时，令22－a－2－1＝1，解得a＝－1；当2－a2，即a0时，令－log2[3－(2－a)]＝1，解得a＝－12，不符合，舍去．所以a＝－1.(2)(2018·全国Ⅰ)设函数f(x)＝2－x，x≤0，1，x0，则满足f(x＋1)f(2x)的x的取值范围是()A．(－∞，－1]B．(0，＋∞)C．(－1,0)D．(－∞，0)答案D解析方法一①当x＋1≤0，2x≤0，即x≤－1时，f(x＋1)f(2x)即为2－(x＋1)2－2x，即－(x＋1)－2x，解得x1.因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当x＋1≤0，2x0时，不等式组无解．③当x＋10，2x≤0，即－1x≤0时，f(x＋1)f(2x)即1