（鲁京津琼专用）2020版高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ2.2 函数的单调性与

1§2.2函数的单调性与最值最新考纲1.通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质．1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值概念方法微思考21．在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？提示对∀x1，x2∈D，fx1－fx2x1－x20⇔f(x)在D上是增函数，减函数类似．2．写出对勾函数y＝x＋ax(a0)的增区间．提示(－∞，－a]和[a，＋∞)．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)f(3)，则函数f(x)在R上为增函数．(×)(2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(×)(3)函数y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(×)(4)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．(×)(5)所有的单调函数都有最值．(×)题组二教材改编2．函数f(x)＝x2－2x的单调递增区间是____________．答案[1，＋∞)(或(1，＋∞))3．函数y＝2x－1在[2,3]上的最大值是______．答案24．若函数f(x)＝x2－2mx＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m的取值范围是________．答案(－∞，2]解析由题意知，[2，＋∞)⊆[m，＋∞)，∴m≤2.题组三易错自纠5．函数y＝12log(x2－4)的单调递减区间为________．答案(2，＋∞)6．若函数f(x)＝|x－a|＋1的增区间是[2，＋∞)，则a＝________.答案2解析∵f(x)＝|x－a|＋1的单调递增区间是[a，＋∞)，∴a＝2.7．函数y＝f(x)是定义在[－2,2]上的减函数，且f(a＋1)f(2a)，则实数a的取值范围是3________．答案[－1,1)解析由条件知－2≤a＋1≤2，－2≤2a≤2，a＋12a，解得－1≤a1.8．函数f(x)＝1x，x≥1，－x2＋2，x1的最大值为________．答案2解析当x≥1时，函数f(x)＝1x为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.题型一确定函数的单调性命题点1求函数的单调区间例1(1)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是()A．(－∞，－2)B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(4，＋∞)答案D解析函数y＝x2－2x－8＝(x－1)2－9图象的对称轴为直线x＝1，由x2－2x－80，解得x4或x－2，所以(4，＋∞)为函数y＝x2－2x－8的一个单调递增区间．根据复合函数的单调性可知，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间为(4，＋∞)．(2)函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递减区间是__________________．答案[－1,0]，[1，＋∞)解析由题意知，当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；当x0时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，二次函数的图象如图．4由图象可知，函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递减区间为[－1,0]，[1，＋∞)．命题点2讨论函数的单调性例2判断并证明函数f(x)＝ax2＋1x(其中1a3)在[1,2]上的单调性．解函数f(x)＝ax2＋1x(1a3)在[1,2]上单调递增．证明：设1≤x1x2≤2，则f(x2)－f(x1)＝ax22＋1x2－ax21－1x1＝(x2－x1)ax1＋x2－1x1x2，由1≤x1x2≤2，得x2－x10,2x1＋x24，1x1x24，－1－1x1x2－14.又因为1a3，所以2a(x1＋x2)12，得a(x1＋x2)－1x1x20，从而f(x2)－f(x1)0，即f(x2)f(x1)，故当a∈(1,3)时，f(x)在[1,2]上单调递增．引申探究如何用导数法求解本例？解f′(x)＝2ax－1x2＝2ax3－1x2，因为1≤x≤2，所以1≤x3≤8，又1a3，所以2ax3－10，所以f′(x)0，所以函数f(x)＝ax2＋1x(其中1a3)在[1,2]上是增函数．思维升华确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接．跟踪训练1(1)下列函数中，满足“∀x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]0”的是()A．f(x)＝2xB．f(x)＝|x－1|5C．f(x)＝1x－xD．f(x)＝ln(x＋1)答案C解析由(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]0可知，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，A，D选项中，f(x)为增函数；B中，f(x)＝|x－1|在(0，＋∞)上不单调；对于f(x)＝1x－x，因为y＝1x与y＝－x在(0，＋∞)上单调递减，因此f(x)在(0，＋∞)上是减函数．(2)函数f(x)＝(a－1)x＋2在R上单调递增，则函数g(x)＝a|x－2|的单调递减区间是______________．答案(－∞，2]解析因为f(x)在R上单调递增，所以a－10，即a1，因此g(x)的单调递减区间就是y＝|x－2|的单调递减区间(－∞，2]．(3)函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是________．答案[1,2]解析f(x)＝x2－2x，x≥2，－x2＋2x，x2.画出f(x)图象，由图知f(x)的单调递减区间是[1,2]．题型二函数的最值1．函数y＝x2－1x2＋1的值域为____________．答案[－1,1)解析由y＝x2－1x2＋1，可得x2＝1＋y1－y.由x2≥0，知1＋y1－y≥0，解得－1≤y1，故所求函数的值域为[－1,1)．2．函数y＝x＋1－x2的最大值为________．答案2解析由1－x2≥0，可得－1≤x≤1.可令x＝cosθ，θ∈[0，π]，6则y＝cosθ＋sinθ＝2sinθ＋π4，θ∈[0，π]，所以－1≤y≤2，故原函数的最大值为2.3．函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为________．答案[3，＋∞)解析函数y＝－2x＋1，x≤－1，3，－1x2，2x－1，x≥2.作出函数的图象如图所示．根据图象可知，函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为[3，＋∞)．4．函数y＝3x＋1x－2的值域为________________．答案{y|y∈R且y≠3}解析y＝3x＋1x－2＝3x－2＋7x－2＝3＋7x－2，因为7x－2≠0，所以3＋7x－2≠3，所以函数y＝3x＋1x－2的值域为{y|y∈R且y≠3}．5．函数f(x)＝13x－log2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．答案3解析由于y＝13x在[－1,1]上单调递减，y＝log2(x＋2)在[－1，1]上单调递增，所以f(x)在[－1,1]上单调递减，故f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)＝3.6．若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0,1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m()A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关答案B解析方法一设x1，x2分别是函数f(x)在[0,1]上的最小值点与最大值点，7则m＝x21＋ax1＋b，M＝x22＋ax2＋b.∴M－m＝x22－x21＋a(x2－x1)，显然此值与a有关，与b无关．故选B.方法二由题意可知，函数f(x)的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定．随着b的变动，相当于图象上下移动，若b增大k个单位，则最大值与最小值分别变为M＋k，m＋k，而(M＋k)－(m＋k)＝M－m，故与b无关．随着a的变动，相当于图象左右移动，则M－m的值在变化，故与a有关，故选B.思维升华求函数最值的五种常用方法及其思路(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．(4)分离常数法：形如求y＝cx＋dax＋b(ac≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解．(5)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．题型三函数单调性的应用命题点1比较函数值的大小例3已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2x11时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)0恒成立，设a＝f－12，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为()A．cabB．cbaC．acbD．bac答案D解析根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数，因为a＝f－12＝f52，且2523，所以bac.命题点2解函数不等式例4(2018·四川成都五校联考)设函数f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f(－3)＝0，则f(x)0的解集是()A．{x|－3x0或x3}B．{x|x－3或0x3}C．{x|x－3或x3}D．{x|－3x0或0x3}8答案B解析∵f(x)是奇函数，f(－3)＝0，∴f(－3)＝－f(3)＝0，解得f(3)＝0.∵函数f(x)在(0，＋∞)内是增函数，∴当0x3时，f(x)0；当x3时，f(x)0.∵函数f(x)是奇函数，∴当－3x0时，f(x)0；当x－3时，f(x)0.则不等式f(x)0的解集是{x|0x3或x－3}．命题点3求参数的取值范围例5(1)(2018·全国Ⅱ)若f(x)＝cosx－sinx在[0，a]上是减函数，则a的最大值是()A.π4B.π2C.3π4D．π答案C解析∵f(x)＝cosx－sinx＝－2sinx－π4，∴当x－π4∈－π2，π2，即x∈－π4，3π4时，y＝sinx－π4单调递增，f(x)＝－2sinx－π4单调递减，∴－π4，3π4是f(x)在原点附近的单调减区间，结合条件得[0，a]⊆－π4，3π4，∴a≤3π4，即amax＝3π4.(2)已知函数f(x)＝x2＋12a－2，x≤1，ax－a，x1，若f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．答案(1,2]解析由题意，得12＋12a－2≤0，则a≤2，又y＝ax－a(x1)是增函数，故a1，所以a的取值范围为1a≤2.(3)(2018·安徽滁州中学月考)已知函数f(x)＝log2(x2－ax＋3