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1高考专题突破四高考中的立体几何问题题型一平行、垂直关系的证明例1如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=A1C1,D,E分别是棱BC,CC1上的点(点D不同于点C),且AD⊥DE,F为B1C1的中点.求证:(1)平面ADE⊥平面BCC1B1;(2)直线A1F∥平面ADE.证明(1)∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,∴CC1⊥平面ABC.∵AD⊂平面ABC,∴AD⊥CC1.又∵AD⊥DE,DE∩CC1=E,DE,CC1⊂平面BCC1B1,∴AD⊥平面BCC1B1.∵AD⊂平面ADE,∴平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)∵△A1B1C1中,A1B1=A1C1,F为B1C1的中点,∴A1F⊥B1C1.∵CC1⊥平面A1B1C1,A1F⊂平面A1B1C1,∴A1F⊥CC1.又∵B1C1∩CC1=C1,B1C1,CC1⊂平面BCC1B1,∴A1F⊥平面BCC1B1.又∵AD⊥平面BCC1B1,∴A1F∥AD.∵A1F⊄平面ADE,AD⊂平面ADE,∴直线A1F∥平面ADE.2思维升华(1)平行问题的转化利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化解决平行关系的判定问题时,一般遵循从“低维”到“高维”的转化,即从“线线平行”到“线面平行”,再到“面面平行”;而应用性质定理时,其顺序正好相反.在实际的解题过程中,判定定理和性质定理一般要相互结合,灵活运用.(2)垂直问题的转化在空间垂直关系中,线面垂直是核心,已知线面垂直,既可为证明线线垂直提供依据,又可为利用判定定理证明面面垂直作好铺垫.应用面面垂直的性质定理时,一般需作辅助线,基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线,从而把面面垂直问题转化为线面垂直问题,进而可转化为线线垂直问题.跟踪训练1(2018·北京)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点.(1)求证:PE⊥BC;(2)求证:平面PAB⊥平面PCD;(3)求证:EF∥平面PCD.证明(1)因为PA=PD,E为AD的中点,所以PE⊥AD.因为底面ABCD为矩形,所以BC∥AD,所以PE⊥BC.(2)因为底面ABCD为矩形,所以AB⊥AD.3又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,AB⊂平面ABCD,所以AB⊥平面PAD,又PD⊂平面PAD,所以AB⊥PD.又因为PA⊥PD,PA∩AB=A,PA,AB⊂平面PAB,所以PD⊥平面PAB.又PD⊂平面PCD,所以平面PAB⊥平面PCD.(3)如图,取PC的中点G,连接FG,DG.因为F,G分别为PB,PC的中点,所以FG∥BC,FG=12BC,因为四边形ABCD为矩形,且E为AD的中点,所以DE∥BC,DE=12BC.所以DE∥FG,DE=FG.所以四边形DEFG为平行四边形,所以EF∥DG.又因为EF⊄平面PCD,DG⊂平面PCD,所以EF∥平面PCD.题型二立体几何中的计算问题例2如图,在多面体ABCA1B1C1中,四边形ABB1A1是正方形,△A1CB是等边三角形,AC=AB=1,B1C1∥BC,BC=2B1C1.4(1)求证:AB1∥平面A1C1C;(2)求多面体ABCA1B1C1的体积.(1)证明如图,取BC的中点D,连接AD,B1D,C1D,∵B1C1∥BC,BC=2B1C1,∴BD∥B1C1,BD=B1C1,CD∥B1C1,CD=B1C1,∴四边形BDC1B1,CDB1C1是平行四边形,∴C1D∥B1B,C1D=B1B,CC1∥B1D,又B1D⊄平面A1C1C,C1C⊂平面A1C1C,∴B1D∥平面A1C1C.在正方形ABB1A1中,BB1∥AA1,BB1=AA1,∴C1D∥AA1,C1D=AA1,∴四边形ADC1A1为平行四边形,∴AD∥A1C1.又AD⊄平面A1C1C,A1C1⊂平面A1C1C,∴AD∥平面A1C1C,∵B1D∩AD=D,B1D,AD⊂平面ADB1,∴平面ADB1∥平面A1C1C,又AB1⊂平面ADB1,∴AB1∥平面A1C1C.(2)解在正方形ABB1A1中,A1B=2,∵△A1BC是等边三角形,∴A1C=BC=2,∴AC2+AA21=A1C2,AB2+AC2=BC2,∴AA1⊥AC,AC⊥AB.又AA1⊥AB,∴AA1⊥平面ABC,∴AA1⊥CD,易得CD⊥AD,又AD∩AA1=A,∴CD⊥平面ADC1A1.易知多面体ABCA1B1C1是由直三棱柱ABD-A1B1C1和四棱锥C-ADC1A1组成的,5直三棱柱ABD-A1B1C1的体积为12×12×1×1×1=14,四棱锥C-ADC1A1的体积为13×22×1×22=16,∴多面体ABCA1B1C1的体积为14+16=512.思维升华(1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体,则可直接利用公式进行求解.其中,等积转换法多用来求三棱锥的体积.(2)若所给定的几何体是不规则几何体,则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体,再利用公式求解.(3)若以三视图的形式给出几何体,则应先根据三视图得到几何体的直观图,然后根据条件求解.跟踪训练2(2019·阜新调研)如图,已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形,PA⊥底面ABCD,ED∥PA,且PA=2ED=2.(1)证明:平面PAC⊥平面PCE;(2)若∠ABC=60°,求三棱锥P-ACE的体积.(1)证明如图,连接BD,交AC于点O,设PC的中点为F,连接OF,EF.易知O为AC的中点,所以OF∥PA,且OF=12PA.因为DE∥PA,且DE=12PA,所以OF∥DE,且OF=DE,所以四边形OFED为平行四边形,6所以OD∥EF,即BD∥EF.因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以PA⊥BD.因为四边形ABCD是菱形,所以BD⊥AC.因为PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC,所以BD⊥平面PAC.因为BD∥EF,所以EF⊥平面PAC.因为EF⊂平面PCE,所以平面PAC⊥平面PCE.(2)解因为∠ABC=60°,所以△ABC是等边三角形,所以AC=2.又PA⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以PA⊥AC.所以S△PAC=12PA×AC=2.因为EF⊥平面PAC,所以EF是三棱锥E-PAC的高.易知EF=DO=BO=3,所以三棱锥P-ACE的体积V三棱锥P-ACE=V三棱锥E-PAC=13S△PAC×EF=13×2×3=233.题型三立体几何中的探索性问题例3如图,梯形ABCD中,∠BAD=∠ADC=90°,CD=2,AD=AB=1,四边形BDEF为正方形,且平面BDEF⊥平面ABCD.(1)求证:DF⊥CE;(2)若AC与BD相交于点O,那么在棱AE上是否存在点G,使得平面OBG∥平面EFC?并说明理由.(1)证明连接EB.∵在梯形ABCD中,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=1,DC=2,7∴BD=2,BC=2,∴BD2+BC2=CD2,∴BC⊥BD.又∵平面BDEF⊥平面ABCD,平面BDEF∩平面ABCD=BD,BC⊂平面ABCD,∴BC⊥平面BDEF,∴BC⊥DF.又∵正方形BDEF中,DF⊥EB,且EB,BC⊂平面BCE,EB∩BC=B,∴DF⊥平面BCE.又∵CE⊂平面BCE,∴DF⊥CE.(2)解在棱AE上存在点G,使得平面OBG∥平面EFC,且AGGE=12.理由如下:连接OG,BG,在梯形ABCD中,∠BAD=∠ADC=90°,AB=1,DC=2,∴AB∥DC,∴AOOC=ABDC=12.又∵AGGE=12,∴OG∥CE.又∵正方形BDEF中,EF∥OB,且OB,OG⊄平面EFC,EF,CE⊂平面EFC,∴OB∥平面EFC,OG∥平面EFC.又∵OB∩OG=O,且OB,OG⊂平面OBG,∴平面OBG∥平面EFC.思维升华对于线面关系中的存在性问题,首先假设存在,然后在该假设条件下,利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证,寻找假设满足的条件,若满足则肯定假设,若得出矛盾的结论则否定假设.跟踪训练3(2018·全国Ⅲ)如图,矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直,M是CD上异于C,D的点.8(1)证明:平面AMD⊥平面BMC.(2)在线段AM上是否存在点P,使得MC∥平面PBD?说明理由.(1)证明由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.因为BC⊥CD,BC⊂平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,又DM⊂平面CMD,故BC⊥DM.因为M为CD上异于C,D的点,且DC为直径,所以DM⊥CM.又BC∩CM=C,BC,CM⊂平面BMC,所以DM⊥平面BMC.又DM⊂平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.(2)解当P为AM的中点时,MC∥平面PBD.证明如下:连接AC,BD,交于点O.因为ABCD为矩形,所以O为AC的中点.连接OP,因为P为AM的中点,所以MC∥OP.又MC⊄平面PBD,OP⊂平面PBD,所以MC∥平面PBD.1.如图所示,直角梯形ACDE与等腰直角三角形ABC所在平面互相垂直,F为BC的中点,∠BAC=∠ACD=90°,AE∥CD,DC=AC=2AE=2.9(1)求证:平面BCD⊥平面ABC;(2)求证:AF∥平面BDE.证明(1)∵平面ABC⊥平面ACDE,平面ABC∩平面ACDE=AC,CD⊥AC,CD⊂平面ACDE,∴DC⊥平面ABC.又DC⊂平面BCD,∴平面BCD⊥平面ABC.(2)如图,取BD的中点P,连接EP,FP,则PF∥DC,PF=12DC,∵EA∥DC,EA=12DC,∴EA∥PF,EA=PF,∴四边形AFPE是平行四边形,∴AF∥EP,∵AF⊄平面BDE,EP⊂平面BDE,∴AF∥平面BDE.2.如图所示,平面ABCD⊥平面BCE,四边形ABCD为矩形,BC=CE,点F为CE的中点.(1)证明:AE∥平面BDF;(2)点M为CD上任意一点,在线段AE上是否存在点P,使得PM⊥BE?若存在,确定点P的位置,并加以证明;若不存在,请说明理由.10(1)证明连接AC交BD于点O,连接OF.∵四边形ABCD是矩形,∴O为AC的中点.又F为EC的中点,∴OF∥AE.又OF⊂平面BDF,AE⊄平面BDF,∴AE∥平面BDF.(2)解当点P为AE的中点时,有PM⊥BE,证明如下:取BE的中点H,连接DP,PH,CH.∵P为AE的中点,H为BE的中点,∴PH∥AB.又AB∥CD,∴PH∥CD,∴P,H,C,D四点共面.∵平面ABCD⊥平面BCE,且平面ABCD∩平面BCE=BC,CD⊥BC,CD⊂平面ABCD,∴CD⊥平面BCE.又BE⊂平面BCE,∴CD⊥BE,∵BC=CE,且H为BE的中点,∴CH⊥BE.又CH∩CD=C,且CH,CD⊂平面DPHC,∴BE⊥平面DPHC.又PM⊂平面DPHC,∴PM⊥BE.113.(2018·江苏)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB,AB1⊥B1C1.求证:(1)AB∥平面A1B1C;(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.证明(1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB∥A1B1.因为AB⊄平面A1B1C,A1B1⊂平面A1B1C,所以AB∥平面A1B1C.(2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABB1A1为平行四边形.又因为AA1=AB,所以四边形ABB1A1为菱形,因此AB1⊥A1B.又因为AB1⊥B1C1,BC∥B1C1,所以AB1⊥BC.又因为A1B∩BC=B,A1B⊂平面A1BC,BC⊂平面A1BC,所以AB1⊥平面A1BC.因为AB1⊂平面ABB1A1,所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.4.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=BB1,AB1∩A1B=E,D为AC上的点,B1C∥平面A1BD.(1)求证:BD⊥平面A1ACC1;(2)若AB=1,且AC·AD=1,求三棱锥A-BCB1的体积.(1)证明如图,连接ED,12∵平面AB1C∩平面A1BD=ED,B1C∥平面A1BD,∴B1C∥
本文标题:2020版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何 高考专题突破四 高考中的立体几何问题教案 文(含解析
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