2020版高中数学 第一章 算法初步 1.1.1 算法的概念学案（含解析）新人教A版必修3

11．1.1算法的概念学习目标1.了解算法的含义和特征.2.会用自然语言描述简单的具体问题的算法．知识点一算法的概念12世纪的算法是指用阿拉伯数字进行算术运算的过程数学中的算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤现代算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题知识点二算法的特征算法的五个特征(1)有限性：一个算法的步骤是有限的，它应在有限步操作之后停止．(2)确定性：算法中的每一步应该是确定的，并且能有效地执行且得到确定的结果，而不是模棱两可的．(3)逻辑性：算法从初始步骤开始，分为若干个明确的步骤，前一步是后一步的前提，只有完成前一步，才能进行下一步，而且每一步都是正确无误的，从而组成具有很强逻辑性的步骤序列．(4)普遍性：一个确定的算法，应该能够解决一类问题．(5)不唯一性：求解某一个问题的算法不一定只有唯一的一个，也可以有不同的算法．特别提醒：判断一个问题是不是算法，关键是明确算法的含义及算法的特征．知识点三算法的设计1.设计算法的目的设计算法的目的实际上是寻求一类问题的解决方法，它可以通过计算机来完成．设计算法的关键是把过程分解成若干个明确的步骤，然后用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来，从而达到让计算机执行的目的．2．设计算法的要求①写出的算法必须能解决一类问题．②要使算法尽量简单、步骤尽量少．③要保证算法步骤有效，且计算机能够执行．1．算法是解决一个问题的方法．(×)2．一个算法可以产生不确定的结果．(×)23．算法的步骤必须是明确的、有限的．(√)4．求解一类问题的算法是唯一的．(×)题型一对算法概念的理解例1下列说法正确的是()A．算法就是某个问题的解题过程B．算法执行后可以产生不同的结果C．解决某一个具体问题算法不同，则结果不同D．算法执行步骤的次数不可以很多，否则无法实施答案B解析选项B正确，例如：判断一个整数是否为偶数，结果为“是偶数”和“不是偶数”两种；选项A，算法不能等同于解法；选项C，解决某一个具体问题算法不同，但结果应相同；选项D，算法可以为很多次，但不可以为无限次．反思感悟算法实际上是解决问题的一种程序性方法，它通常解决某一个或一类问题，用算法解决问题，体现了从特殊到一般的数学思想．跟踪训练1下列描述不是解决问题的算法的是()A．从中山到北京先坐汽车，再坐火车B．解可化为一元一次方程的分式方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1C．方程x2－4x＋3＝0有两个不相等的实根D．解不等式ax＋3＞0时，第一步移项，第二步讨论答案C解析A选项，从中山到北京，先坐汽车，再坐火车，解决了怎样去的问题；B选项，解可化为一元一次方程的分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，解决了怎样解一元一次方程的问题；D选项，解不等式ax＋3＞0时，第一步移项，将不等式化为ax＞－3，第二步讨论a的符号，进而根据不等式的基本性质，求出不等式的解集，解决了怎样求不等式解集的问题；选项C只是一个真命题，没有解决什么问题，因此不是算法．题型二算法的设计命题角度1直接应用数学公式设计算法例2有一个底面半径为3，母线长为5的圆锥，写出求该圆锥体积的算法．3解如图，先给r，l赋值，计算h，再根据圆锥体积公式V＝13πr2h计算V，然后输出结果．第一步，令r＝3，l＝5.第二步，计算h＝l2－r2.第三步，计算V＝13πr2h.第四步，输出运算结果．反思感悟利用公式解决问题时，必须先求出公式中的各个量，在设计算法时，应优先考虑未知量的求法．跟踪训练2已知一个等边三角形的周长为a，求这个三角形的面积．设计一个算法解决这个问题．解第一步，输入a的值．第二步，计算l＝a3的值．第三步，计算S＝34×l2的值．第四步，输出S的值．命题角度2非数值性问题的算法例3所谓正整数p为素数是指：p的所有约数只有1和p.例如，35不是素数，因为35的约数除了1,35外，还有5与7；29是素数，因为29的约数就只有1和29.试设计一个能够判断一个任意正整数n(n＞1)是否为素数的算法．解算法如下：第一步，给出任意一个正整数n(n＞1)．第二步，若n＝2，则输出“2是素数”，判断结束．第三步，令m＝1.第四步，将m的值增加1，仍用m表示．第五步，如果m≥n，则输出“n是素数”，判断结束．第六步，判断m能否整除n，①如果能整除，则输出“n不是素数”，判断结束；②如果不能整除，则转第四步．反思感悟设计一个具体问题的算法，通常按以下步骤(1)认真分析问题，找出解决该问题的一般数学方法．4(2)借助有关变量或参数对算法加以表述．(3)将解决问题的过程划分为若干步骤．(4)用简练的语言将这个步骤表示出来．跟踪训练3判断一个大于2的整数是否为质数的算法步骤如何设计？解第一步，给定大于2的整数n.第二步，令i＝2.第三步，用i除n，得到余数r.第四步，判断“r＝0”是否成立．若是，则n不是质数，结束算法；否则，将i的值增加1，仍用i表示．第五步，判断“i(n－1)”是否成立．若是，则n是质数，结束算法；否则，返回第三步．解方程组的算法设计典例写出解方程组2x＋y＝7，①4x＋5y＝11②的一个算法．解方法一(代入消元法)第一步，由①得y＝7－2x.③第二步，将③代入②，得4x＋5(7－2x)＝11.④第三步，解④得x＝4.第四步，将x＝4代入③，得y＝－1.第五步，得到方程组的解为x＝4，y＝－1.方法二(加减消元法)第一步，①×5－②得，(2×5－4)x＝7×5－11.⑤第二步，解⑤得x＝4.第三步，①×2－②，得(1×2－5)y＝7×2－11.⑥第四步，解⑥得y＝－1.第五步，得到方程组的解为x＝4，y＝－1.[素养评析](1)设计算法时，经常遇到解方程组的算法问题，一般是按照数学上解方程组的方法进行设计，但应注意全面考虑方程组解的情况，即先确定方程组是否有解，有解时有几个解，然后依据求解步骤设计算法步骤．(2)从对运算方法的选择，运算程序的设计，到最后求得运算结果，整个过程就是典型的数学运算素养的体现．1．下列关于算法的说法正确的是()5A．一个算法的步骤是可逆的B．描述算法可以有不同的方式C．算法可以看成是按照要求设计好的、有限的、确切的计算序列，并且这样的步骤或序列只能解决当前问题D．算法只能用一种方式显示答案B解析由算法的定义知A，C，D错．2．下列叙述中：①植树需要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤；②按顺序进行下列运算：1＋1＝2,2＋1＝3,3＋1＝4，…，99＋1＝100；③从青岛乘火车到济南，再从济南乘飞机到广州；④3x＞x＋1；⑤求所有能被3整除的正数，即3,6,9,12，….能称为算法的个数为()A．2B．3C．4D．5答案B解析根据算法的含义和特征知，①②③都是算法；④⑤不是算法．其中④只是一个问题，而没有解决问题，不能称为算法；⑤的步骤是无穷的，与算法的有限性矛盾．3．已知直角三角形两直角边长为a，b，求斜边长c的一个算法分下列三步：(1)计算c＝a2＋b2；(2)输入直角三角形两直角边长a，b的值；(3)输出斜边长c的值．其中正确的顺序是________．答案(2)(1)(3)解析算法的步骤是有先后顺序的，第一步是输入，最后一步是输出，中间的步骤是赋值、计算．4．下面是解决一个问题的算法：第一步：输入x.第二步：若x≥4，转到第三步；否则转到第四步．第三步：输出2x－1.第四步：输出x2－2x＋3.当输入x的值为________时，输出的数值最小值为________．答案126解析所给算法解决的问题是求分段函数f(x)＝2x－1，x≥4，x2－2x＋3，x＜4的函数值问题，当x≥4时，f(x)＝2x－1≥2×4－1＝7；当x＜4时，f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，所以f(x)min＝2，此时x＝1.即输入x的值为1时，输出的数值最小，最小值为2.5．下面算法要解决的问题是____________________________．第一步，输入三个数，并分别用a，b，c表示．第二步，比较a与b的大小，如果ab，则交换a与b的值．第三步，比较a与c的大小，如果ac，则交换a与c的值．第四步，比较b与c的大小，如果bc，则交换b与c的值．第五步，输出a，b，c.答案输入三个数a，b，c，并按从大到小的顺序输出解析第一步是给a，b，c赋值．第二步运行后ab.第三步运行后ac.第四步运行后bc，所以abc.第五步运行后，显示a，b，c的值，且从大到小排列．6．写出解二元一次方程组3x－2y＝－1，①2x＋y＝1②的算法．解第一步，①＋2×②得7x＝1.③第二步，解③得x＝17.第三步，②×3－①×2得7y＝5.④第四步，解④得y＝57.第五步，得到方程组的解为x＝17，y＝57.1．算法的特点：有限性、确定性、逻辑性、普遍性、不唯一性．2．算法设计的要求：(1)写出的算法必须能够解决一类问题(如判断一个整数是否为质数，求任意一个方程的近似解等)，并且能够重复使用．(2)要使算法尽量简单，步骤尽量少．7(3)要保证算法正确，且算法步骤能够一步一步执行，每步执行的操作必须确切，不能含混不清，而且在有限步后能得到结果．一、选择题1．下列可以看成算法的是()A．学习数学时，课前预习，课上认真听讲并记好笔记，课下先复习再做作业，之后做适当的练习题B．今天餐厅的饭真好吃C．这道数学题难做D．方程2x2－x＋1＝0无实数根答案A解析A是学习数学的一个步骤，所以是算法．2．在用二分法求方程零点的算法中，下列说法正确的是()A．这个算法可以求所有的零点B．这个算法可以求任何方程的零点C．这个算法能求所有零点的近似解D．这个算法可以求变号零点的近似解答案D解析二分法的理论依据是函数的零点存在性定理．它解决的是求变号零点的问题，并不能求所有零点的近似值．3．如下算法：第一步，输入x的值．第二步，若x≥0，则y＝x.第三步，否则，y＝x2.第四步，输出y的值．若输出的y值为9，则x的值为()A．3B．－3C．3或－3D．－3或9答案D解析根据题意可知，此为分段函数y＝x，x≥0，x2，x＜0的算法，当x≥0时，x＝9；当x＜0时，x2＝9，所以x＝－3.8综上所述，x的值是－3或9.4．对于算法：第一步，输入n.第二步，判断n是否等于2，若n＝2，则n满足条件；若n＞2，则执行第三步．第三步，依次从2到(n－1)检测能不能整除n，若不能整除n，则执行第四步；若能整除n，则结束算法．第四步，输出n.满足条件的n是()A．质数B．奇数C．偶数D．合数答案A解析此题首先要理解质数，只能被1和自身整除的大于1的整数叫质数.2是最小的质数，这个算法通过对2到(n－1)一一验证，看是否有其他约数，来判断其是否为质数．5．有蓝、黑两个墨水瓶，但现在却错把蓝墨水装在了黑墨水瓶中，黑墨水错装在了蓝墨水瓶中，要求将其互换，现有空墨水瓶若干，解决这一问题最少需要的步骤数为()A．2B．3C．4D．5答案B解析第一步，将蓝墨水装到一个空墨水瓶中；第二步，将黑墨水装到黑墨水瓶中；第三步，将蓝墨水装到蓝墨水瓶中，这样就解决了这个问题，故选B.6．早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5min)、刷水壶(2min)、烧水(8min)、泡面(3min)、吃饭(10min)、听广播(8min)几个过程．下列选项中最好的一种算法是()A．第一步，洗脸刷牙．第二步，刷水壶．第三步，烧水．第四步，泡面．第五步，吃饭．第六步，听广播B．第一步，刷水壶．第二步，烧水同时洗脸刷牙．第三步，泡面．第四步，吃饭．第五步，听广播C．第一步，刷水壶．第二步，烧水同时洗脸刷牙．第三步，泡面．第四步，吃饭同时听广播D．第一步，吃饭同时听广播．第二步，泡面．第三步，烧水同时洗脸刷牙．第四步，刷水壶答案C解析最好算法的标准是方便、省时、省力．A中共需5＋2＋8＋3＋10＋8＝36(min)，B中共需2＋8＋3＋10＋8＝31(min)，C中共需2＋8＋3＋10＝23(