2020版高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数的应用（第1课时）教案 理（含解析）

1§3.2导数的应用最新考纲考情考向分析1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．3.会利用导数解决某些实际问题(生活中的优化问题).考查函数的单调性、极值、最值，利用函数的性质求参数范围；与方程、不等式等知识相结合命题，强化函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的应用意识；题型以解答题为主，一般难度较大.1．函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．2．函数的极值(1)一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：①如果在x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③考察f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．2(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．概念方法微思考1．“f(x)在区间(a，b)上是增函数，则f′(x)0在(a，b)上恒成立”，这种说法是否正确？提示不正确，正确的说法是：可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．2．对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的________条件．(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”)提示必要不充分题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(√)(2)函数的极大值一定大于其极小值．(×)(3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．(√)题组二教材改编2．如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是()A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数B．在区间(1,3)上f(x)是减函数C．在区间(4,5)上f(x)是增函数D．当x＝2时，f(x)取到极小值答案C解析在(4,5)上f′(x)0恒成立，∴f(x)是增函数．3．函数f(x)＝ex－x的单调递增区间是________．答案(0，＋∞)解析由f′(x)＝ex－10，解得x0，故其单调递增区间是(0，＋∞)．34．当x0时，lnx，x，ex的大小关系是______．答案lnxxex解析构造函数f(x)＝lnx－x，则f′(x)＝1x－1，可得x＝1为函数f(x)在(0，＋∞)上唯一的极大值点，也是最大值点，故f(x)≤f(1)＝－10，所以lnxx.同理可得xex，故lnxxex.5．现有一块边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒，该方盒容积的最大值是________．答案227a3解析容积V＝(a－2x)2x,0xa2，则V′＝2(a－2x)×(－2x)＋(a－2x)2＝(a－2x)(a－6x)，由V′＝0得x＝a6或x＝a2(舍去)，则x＝a6为V在定义域内唯一的极大值点也是最大值点，此时Vmax＝227a3.题组三易错自纠6．函数f(x)＝x3＋ax2－ax在R上单调递增，则实数a的取值范围是________．答案[－3,0]解析f′(x)＝3x2＋2ax－a≥0在R上恒成立，即4a2＋12a≤0，解得－3≤a≤0，即实数a的取值范围是[－3,0]．7．(2018·铁岭质检)若函数f(x)＝13x3－32x2＋ax＋4恰在[－1,4]上单调递减，则实数a的值为________．答案－4解析f′(x)＝x2－3x＋a，且f(x)恰在[－1,4]上单调递减，∴f′(x)＝x2－3x＋a≤0的解集为[－1,4]，∴－1,4是方程f′(x)＝0的两根，则a＝(－1)×4＝－4.8．若函数f(x)＝13x3－4x＋m在[0,3]上的最大值为4，m＝________.答案4解析f′(x)＝x2－4，x∈[0,3]，当x∈[0,2)时，f′(x)0，当x∈(2,3]时，f′(x)0，所以f(x)在[0,2)上是减函数，在(2,3]上是增函数．又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m.所以在[0,3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4.49．已知函数f(x)＝13x3＋x2－2ax＋1，若函数f(x)在(1,2)上有极值，则实数a的取值范围为________．答案32，4解析f′(x)＝x2＋2x－2a的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为x＝－1，则f′(x)在(1,2)上是单调递增函数，因此f′1＝3－2a0，f′2＝8－2a0，解得32a4，故实数a的取值范围为32，4.第1课时导数与函数的单调性题型一不含参函数的单调性1．函数y＝4x2＋1x的单调增区间为()A．(0，＋∞)B.12，＋∞C．(－∞，－1)D.－∞，－12答案B解析由y＝4x2＋1x，得y′＝8x－1x2(x≠0)，令y′0，即8x－1x20，解得x12，∴函数y＝4x2＋1x的单调增区间为12，＋∞.故选B.2．函数f(x)＝x·ex－ex＋1的递增区间是()A．(－∞，e)B．(1，e)C．(e，＋∞)D．(e－1，＋∞)5答案D解析由f(x)＝x·ex－ex＋1，得f′(x)＝(x＋1－e)·ex，令f′(x)0，解得xe－1，所以函数f(x)的递增区间是(e－1，＋∞)．3．已知函数f(x)＝xlnx，则f(x)的单调递减区间是________．答案0，1e解析因为函数f(x)＝xlnx的定义域为(0，＋∞)，所以f′(x)＝lnx＋1(x0)，当f′(x)0时，解得0x1e，即函数f(x)的单调递减区间为0，1e.4．(2018·赤峰调研)已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsinx＋cosx，则f(x)的单调递增区间是______________________．答案－π，－π2和0，π2解析f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx.令f′(x)＝xcosx0，则其在区间(－π，π)上的解集为－π，－π2∪0，π2，即f(x)的单调递增区间为－π，－π2和0，π2.思维升华确定函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域．(2)求f′(x)．(3)解不等式f′(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间．(4)解不等式f′(x)0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．题型二含参数的函数的单调性例1已知函数f(x)＝x2e－ax－1(a是常数)，求函数y＝f(x)的单调区间．解根据题意可得，当a＝0时，f(x)＝x2－1，函数在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减．当a≠0时，f′(x)＝2xe－ax＋x2(－a)e－ax＝e－ax(－ax2＋2x)．因为e－ax0，6所以令g(x)＝－ax2＋2x＝0，解得x＝0或x＝2a.①当a0时，函数g(x)＝－ax2＋2x在(－∞，0)和2a，＋∞上有g(x)0，即f′(x)0，函数y＝f(x)单调递减；函数g(x)＝－ax2＋2x在0，2a上有g(x)≥0，即f′(x)≥0，函数y＝f(x)单调递增．②当a0时，函数g(x)＝－ax2＋2x在－∞，2a和(0，＋∞)上有g(x)0，即f′(x)0，函数y＝f(x)单调递增；函数g(x)＝－ax2＋2x在2a，0上有g(x)≤0，即f′(x)≤0，函数y＝f(x)单调递减．综上所述，当a＝0时，函数y＝f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0)；当a0时，函数y＝f(x)的单调递减区间为(－∞，0)，2a，＋∞，单调递增区间为0，2a；当a0时，函数y＝f(x)的单调递增区间为－∞，2a，(0，＋∞)，单调递减区间为2a，0.思维升华(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．跟踪训练1讨论函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x的单调性．解函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝2e2x－aex－a2＝(2ex＋a)(ex－a)．①若a＝0，则f(x)＝e2x，在(－∞，＋∞)上单调递增．②若a0，则由f′(x)＝0得x＝lna.当x∈(－∞，lna)时，f′(x)0，当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)0.故f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增．③若a0，则由f′(x)＝0得x＝ln－a2.当x∈－∞，ln－a2时，f′(x)0；当x∈ln－a2，＋∞时，f′(x)0.故f(x)在－∞，ln－a2上单调递减，7在ln－a2，＋∞上单调递增．综上所述，当a＝0时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；当a0时，f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增；当a0时，f(x)在－∞，ln－a2上单调递减，在ln－a2，＋∞上单调递增．题型三函数单调性的应用命题点1比较大小或解不等式例2(1)设函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝lnx＋x2－3，若实数a，b满足f(a)＝0，g(b)＝0，则()A．g(a)0f(b)B．f(b)0g(a)C．0g(a)f(b)D．f(b)g(a)0答案A解析因为函数f(x)＝ex＋x－2在R上单调递增，且f(0)＝1－20，f(1)＝e－10，所以f(a)＝0时，a∈(0,1)．又g(x)＝lnx＋x2－3在(0，＋∞)上单调递增，且g(1)＝－20，所以g(a)0.由g(2)＝ln2＋10，g(b)＝0得b∈(1,2)，又f(1)＝e－10，所以f(b)0.综上可知，g(a)0f(b)．(2)已知定义域为R的偶函数f(x)的导函数为f′(x)，当x0时，xf′(x)－f(x)0.若a＝fee，b＝fln2ln2，c＝f33，则a，b，c的大小关系是()A．bacB．acbC．abcD．cab答案D解析设g(x)＝fxx，则g′(x)＝xf′x－fxx2，又当x0时，xf′(x)－f(x)0，8所以g′(x)0，即函数g(x)在区间(－∞