（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第七章 不等式、推理与证明、数学归纳法 7.3 二元一次不

1§7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题考情考向分析以画二元一次不等式(组)表示的平面区域、目标函数最值的求法为主，兼顾由最优解(可行域)情况确定参数的范围，以及简单线性规划问题的实际应用，加强转化与化归和数形结合思想的应用意识．本节内容在高考中主要以填空题的形式进行考查，中低档难度．1．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax＋By＋C0直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线Ax＋By＋C≥0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2.线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题概念方法微思考1．不等式x≥0表示的平面区域是什么？提示不等式x≥0表示的区域是y轴的右侧(包括y轴)．2．可行解一定是最优解吗？二者有何关系？提示不一定．最优解是可行解中的一个或多个．2最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解，最优解不一定唯一．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)不等式Ax＋By＋C0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．(×)(2)点(x1，y1)，(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)0，异侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)0.(√)(3)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy0表示．(√)(4)线性目标函数的最优解是唯一的．(×)(5)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．(×)题组二教材改编2．[P74T1]点(3,1)和(－4,6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，则a的取值范围是________．答案(－7,24)解析点(3,1)和(－4,6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，说明将这两点坐标代入3x－2y＋a后，符号相反，所以(9－2＋a)(－12－12＋a)0，解得－7a24.3．[P77T2]不等式组x－y＋4≥0，x＋y≥0，x≤3所表示的平面区域的面积是________．答案25解析直线x－y＋4＝0与直线x＋y＝0的交点为A(－2，2)，直线x－y＋4＝0与直线x＝3的交点为B(3,7)，直线x＋y＝0与直线x＝3的交点为C(3，－3)，则不等式组表示的平面区域是一个以点A(－2,2)，B(3,7)，C(3，－3)为顶点的三角形及其内部，所以其面积为S△ABC＝12×5×10＝25.4．[P84T4]设变量x，y满足约束条件y≥x，x＋2y≤2，x≥－2，则z＝x－3y的最小值为________．答案－8解析画出可行域与目标函数线如图(阴影部分含边界)，由图可知，目标函数在点(－2,2)处取最小值－8.3题组三易错自纠5．(2018·全国Ⅰ)若x，y满足约束条件x－2y－2≤0，x－y＋1≥0，y≤0，则z＝3x＋2y的最大值为________．答案6解析作出满足约束条件的可行域如图阴影部分(包含边界)所示．由z＝3x＋2y，得y＝－32x＋z2.作直线l0：y＝－32x，平移直线l0，当直线y＝－32x＋z2过点(2,0)时，z取最大值，zmax＝3×2＋2×0＝6.6．已知x，y满足x－y＋5≥0，x＋y≥0，x≤3，若使得z＝ax＋y取最大值的点(x，y)有无数个，则a的值为________．答案－1解析先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，当直线z＝ax＋y和直线AB重合时，z取得最大值的点(x，y)有无数个，∴－a＝kAB＝1，∴a＝－1.4题型一二元一次不等式(组)表示的平面区域命题点1不含参数的平面区域问题例1在平面直角坐标系中，不等式组3x－y≤0，x－3y＋2≥0，y≥0表示的平面区域的面积是________．答案3解析作出不等式组表示的平面区域是以点O(0,0)，B(－2，0)和A(1，3)为顶点的三角形及内部区域，即如图所示的阴影部分(含边界)，由图知该平面区域的面积为12×2×3＝3.命题点2含参数的平面区域问题例2若不等式组x－y≥0，2x＋y≤2，y≥0，x＋y≤a表示的平面区域的形状是三角形，则a的取值范围是______．答案(0,1]∪43，＋∞解析作出不等式组x－y≥0，2x＋y≤2，y≥0表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示．由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l：x＋y＝a在l1，l2之间(包含l2，不包含l1)或l3上方(包含l3)．5思维升华平面区域的形状问题主要有两种题型(1)确定平面区域的形状，求解时先画满足条件的平面区域，然后判断其形状；(2)根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先画满足条件的平面区域，但要注意对参数进行必要的讨论．跟踪训练1(1)不等式组x＋y－2≥0，x≤4，y≤5表示的平面区域的形状为________三角形．答案等腰直角解析作出不等式组表示的平面区域，如图所示，易知平面区域的形状为等腰直角三角形(阴影部分，含边界)．(2)已知由不等式组x≤0，y≥0，y－kx≤2，y－x－4≤0确定的平面区域Ω的面积为7，则k的值为________．答案－1解析作出不等式组x≤0，y≥0，y－x－4≤0所表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示，6可知该区域是等腰直角三角形且面积为8.由于直线y＝kx＋2恒过点B(0，2)，且原点的坐标恒满足y－kx≤2，当k＝0时，y≤2，此时平面区域Ω的面积为6，由于67，由此可得k0.由y－kx＝2，y－x－4＝0，可得D2k－1，4k－2k－1，依题意应有12×2×2k－1＝1，解得k＝－1或k＝3(舍去)．题型二求目标函数的最值问题命题点1求线性目标函数的最值例3(1)(2018·全国Ⅱ)若x，y满足约束条件x＋2y－5≥0，x－2y＋3≥0，x－5≤0，则z＝x＋y的最大值为________．答案9解析由不等式组画出可行域如图阴影部分(含边界)．目标函数x＋y取得最大值⇔斜率为－1的直线x＋y＝z(z看作常数)在y轴上的截距最大，由图可得当直线x＋y＝z过点C时，z取得最大值．由x＝5，x－2y＋3＝0，得点C(5,4)，∴zmax＝5＋4＝9.(2)(2018·南通模拟)已知实数x，y满足约束条件x＋y－4≤0，2x－y＋1≥0，x＋4y－4≥0，则z＝|x|＋|y－3|的取值范围是________．答案[1,7]7解析作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，则0≤x≤4且0≤y≤3，所以z＝|x|＋|y－3|＝x－y＋3，平移目标直线y＝x－z＋3经过点A(4,0)时，z取得最大值7，经过点B(1,3)时，z取得最小值1，所以z的取值范围为[1,7]．命题点2求非线性目标函数的最值例4(1)(2018·徐州模拟)已知(x，y)满足x≥0，y≥0，x＋y≤1，则k＝yx＋1的最大值为________．答案1解析画出可行域如图阴影部分(含边界)：因为k的几何意义为可行域内的点P(x，y)与定点A(－1，0)连线的斜率，则由图象可知AB的斜率最大，其中B(0,1)，此时k＝10＋1＝1.(2)(2018·扬州模拟)若实数x，y满足约束条件x≤4，y≤3，3x＋4y≥12，则x2＋y2的取值范围是______．答案14425，25解析作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，则x2＋y2表示可行域内的点到坐标原点的距离的平方．8由图知(x2＋y2)max＝42＋32＝25，(x2＋y2)min＝1232＋422＝14425，所以x2＋y2的取值范围为14425，25.命题点3求参数值或取值范围例5已知实数x，y满足y≥1，y≤2x－1，x＋y≤m，如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m＝____.答案5解析绘制不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示(含边界)，联立直线方程y＝2x－1，y＝－x＋m，可得交点坐标为Am＋13，2m－13，由目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值，所以m＋13－2m－13＝－1，解得m＝5.思维升华常见的三类目标函数(1)截距型：形如z＝ax＋by.(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.(3)斜率型：形如z＝y－bx－a.跟踪训练2(1)若实数x，y满足约束条件x－y≥0，x＋y＋1≥0，x－3≤0，则z＝2x－y的最大值为________．答案10解析先根据约束条件画出可行域，如图阴影部分所示(含边界)，9将z＝2x－y的最大值转化为直线y＝2x－z在y轴上截距的最小值．当直线y＝2x－z经过点A时，在y轴上的截距最小，z最大，又A(3，－4)，故z的最大值为10.(2)已知x，y满足x＋y≥1，mx－y≤0，3x－2y＋2≥0且z＝3x－y的最大值为2，则实数m的值为________．答案2解析由约束条件x＋y≥1，mx－y≤0，3x－2y＋2≥0，作出可行域(图略)，z＝3x－y的最大值为2，联立3x－2y＋2＝0，3x－y＝2，解得A(2,4)，可知直线mx－y＝0必须过点A，可得2m－4＝0，解得m＝2.(3)已知实数x，y满足不等式组x＋y≤2，x－y≥－2，y≥1，则(x－3)2＋(y＋2)2的最小值为________．答案13解析画出不等式组x＋y≤2，x－y≥－2，y≥1表示的平面区域(图略)，易知(x－3)2＋(y＋2)2表示可行域内的点(x，y)与(3，－2)两点间距离的平方，可知当(x，y)为直线x＋y＝2与y＝1的交点(1,1)时，(x－3)2＋(y＋2)2取得最小值，最小值为13.101．设点(x，y)满足约束条件x－y＋3≥0，x－5y－1≤0，3x＋y－3≤0，且x∈Z，y∈Z，则这样的点共有________个．答案12解析画出x－y＋3≥0，x－5y－1≤0，3x＋y－3≤0表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)，由图可知，满足x∈Z，y∈Z的(x，y)为(－4，－1)，(－3,0)，(－2,1)，(－2,0)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，共12个．2．设不等式x≥1，x－y≤0，x＋y≤4表示的平面区域为M.若直线y＝kx－2上存在M内的点，则实数k的取值范围是________．答案[2,5]解析由约束条件作出可行域，如图阴影部分(含边界)所示．因为函数y＝kx－2的图象为恒过定点A(0，－2)，且斜率为k的直线l，由图知，当直线l过点B(1,3)时，k取最大值5，当直线l过点C(2,2)时，k取最小值2，故实数k的取值范围是[2,5]．3．在直角坐标平面内，不等式组y≤x＋1，y≥0，0≤x≤t所表示的平面区域的面积为32，则t的值为11______．答案1解析不等式组y≤x＋1，y≥0，0≤x≤t所表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界)．由y＝x＋1，x＝t，解得交点B(t，t＋1)．在y＝x＋1中，令x＝0得y＝1，即直线y＝x＋1与y轴的交点为C(0,1)．由平面区域的面积S＝1＋t＋1×t2＝32，得t2＋2t－3＝0，解得t＝1或t＝－3(不合题意，舍去)．4．已知变量