（鲁京津琼专用）2020版高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ微专题一 多元变量的最

1微专题一多元变量的最值问题[经验分享]在数学中经常碰到求含有多个变量的最值问题，此类题目题型众多，解法也很多，学生在面对含有多个变量的问题时，最大的困扰是不知从何处入手．对于高中生，主要掌握的是一元变量的最值问题．因此，解决多元变量的最值问题，减元是常见的办法．一、代入减元例1设x，y∈R＋，且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值．解由2x＋8y－xy＝0得y＝2xx－8，因为x，y∈R＋，所以x8，所以x＋y＝x＋2xx－8＝x＋2x－8＋16x－8＝x＋2＋16x－8＝(x－8)＋16x－8＋10≥2x－8·16x－8＋10＝18，当且仅当x－8＝16x－8，即x＝12时，取“＝”号．所以，当x＝12，y＝6时，x＋y取得最小值18.点评此题是一道学生经常见到的求多变量最值的试题，虽然此解法不是最优的解法，但可能是学生比较容易想到的解法．它的优点是由前面的等式可以得到y＝2xx－8，代入x＋y中，从而使二元变量变为一元变量，从而达到解题的目的．二、等量减元例2设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当xyz取得最大值时，2x＋1y－2z的最大值为()A．0B．1C.94D．3答案B解析由已知得z＝x2－3xy＋4y2(*)则xyz＝xyx2－3xy＋4y2＝1xy＋4yx－3≤1，当且仅当x＝2y时取等号，把x＝2y代入(*)式，得z＝2y2，所以2x＋1y－2z＝1y＋1y－1y2＝－1y－12＋1≤1.点评此题是2013年山东高考理科第12题，作为选择题压轴题，其难度在于如何寻求多元2变量x，y，z之间的关系，进而达到减元的目的．其实，由xyz变到xyx2－3xy＋4y2就已经应用到了代入消元，再由xyx2－3xy＋4y2变到1xy＋4yx－3仍然用到了整体消元的思想(把xy当做整体)，从而寻求到了xyz取最大值时变量x，y，z之间的关系．最后由2x＋1y－2z变到－1y2＋2y应用到了x，y，z之间的等量关系进行减元，从而达到求出最值的目的．这是一道典型的利用减元的方法求多元变量最值的例题．三、换元减元例3已知θ∈0，π2，不等式2sinθcosθ＋sinθ＋cosθ－m＋1≥0恒成立，求实数m的取值范围．解原问题等价于：当θ∈0，π2时，不等式m≤2sinθcosθ＋sinθ＋cosθ＋1恒成立．令y＝2sinθcosθ＋sinθ＋cosθ＋1，θ∈0，π2，即求函数的最小值．令t＝sinθ＋cosθ＝2sinθ＋π4，因为θ∈0，π2，所以θ＋π4∈π4，3π4，所以t∈[1，2]．又2sinθcosθ＝t2－1，所以y＝t2－1＋t＋1＝t＋122－14，当t＝1(即θ＝0)时，ymin＝2.故m≤2.点评此题中的sinθcosθ，sinθ＋cosθ若不加处理难以将变量统一起来．但是，观察到sinθcosθ与sinθ＋cosθ的关系，通过换元很巧妙的将变量完善统一起来，达到减元的目的．四、整体减元例4已知函数f(x)＝xlnx－a2·x2－x＋a(a∈R)在其定义域内有两个不同的极值点．3(1)求a的取值范围；(2)设两个极值点分别为x1，x2，证明：x1·x2e2.解(1)0a12，过程略．(2)由题设有f′(x)＝lnx－ax，故x1，x2是方程lnx－ax＝0的两根，即lnx1＝ax1，lnx2＝ax2，不妨设x1x20，则由以上两式分别相加和相减得：ln(x1x2)＝a(x1＋x2)，lnx1x2＝a(x1－x2)．消去a得ln(x1x2)＝x1＋x2x1－x2·lnx1x2.又因为要证x1·x2e2成立，故只需证ln(x1x2)2，即只需证x1＋x2x1－x2·lnx1x22，即证lnx1x22·x1－x2x1＋x2，即只需证lnx1x22·x1x2－1x1x2＋1，令t＝x1x21，则上式为lnt2·t－1t＋1.构造函数g(t)＝lnt－2·t－1t＋1(t1)，则g′(t)＝t－12tt＋120，所以函数g(t)在(1，＋∞)上单调递增，所以g(t)g(1)＝0，即不等式lnt2·t－1t＋1成立．故x1·x2e2.点评此题属于难题．由证明的结论可知，结论中没有参数a，故首先需要先消掉参数a.故由lnx1＝ax1，lnx2＝ax2变形后再消去a，但是也不能就这两个式子简单地消掉a，只有这样才能有后面的将x1x2当做整体进行减元的构造，从而达到解决问题的目的，这也是解决此题的艺术精华所在．以上几题均是求多元变量的最值问题，可以发现这类问题的基本策略是减元，进而利用单元函数求最值，从而达到解题的目的．可见，减元是解决这类多元最值问题的一把利器．4