2019-2020学年高中数学 第2章 函数 2.1.1 函数的概念和图象（第1课时）函数的概念讲义

-1-第1课时函数的概念学习目标核心素养1.在集合对应的基础上理解函数的概念，并能应用函数的有关概念解题．(重点、难点)2.会求几种简单函数的定义域、值域．(重点)通过学习本节内容培养学生的数学抽象核心素养，提升学生的数学运算核心素养.函数的概念函数的定义设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数.函数的记法从A到B的一个函数通常记为y＝f(x)，x∈A.函数的定义域在函数y＝f(x)，x∈A中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域.函数的值域若A是函数y＝f(x)的定义域，则对于A中的每一个x，都有一个输出值y与之对应，则将所有输出值y组成的集合称为函数的值域.思考：定义域和值域都相同的函数是同一个函数吗？[提示]不一定是，如函数y＝x，x∈[0,1]，和y＝x2，x∈[0,1]．定义域和值域都相同，但不是同一个函数．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系．()(2)已知定义域和对应法则就可以确定一个函数．()(3)根据函数的定义，定义域中的每一个x可以对应着不同的y.()[答案](1)×(2)√(3)×2．(1)函数f(x)＝x－10的定义域为________．(2)函数f(x)＝1x－2的定义域为________．(3)函数f(x)＝49－x(x∈N)的定义域为________．(1){x|x≥10}(2){x|x2}(3){0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}[(1)x－10≥0，∴x≥10，即{x|x≥10}．-2-(2)x－20，∴x2，即{x|x＞2}．(3)9－x≥0，x∈N⇒x≤9，x∈N，∴x的取值为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，即{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．]3．若f(x)＝x2－3x＋2，则f(1)＝________.0[f(1)＝12－3×1＋2＝0.]4．若f(x)＝x－3，x∈{0,1,2,3}，则f(x)的值域为________．{－3，－2，－1,0}[f(0)＝－3，f(1)＝－2，f(2)＝－1，f(3)＝0.]函数的概念【例1】判断下列对应f是否为从集合A到集合B的函数．(1)A＝N，B＝R，对于任意的x∈A，x→±x；(2)A＝R，B＝N，对于任意的x∈A，x→|x－2|；(3)A＝R，B＝{正实数}，对任意x∈A，x→1x2；(4)A＝{1,2,3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4；(5)A＝[－1,1]，B＝{0}，对于任意的x∈A，x→0.思路点拨：求解本题的关键是判断在对应法则f的作用下，集合A中的任意一个元素在集合B中是否都有唯一的元素与之对应．[解](1)对于A中的元素，如x＝9，y的值为y＝±9＝±3，即在对应法则f之下，B中有两个元素±3与之对应，不符合函数的定义，故不能构成函数．(2)对于A中的元素x＝22，在f作用下，|22－2|B，故不能构成函数．(3)A中元素x＝0在B中没有对应元素，故(3)不能构成函数．(4)依题意，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4，即A中的每一个元素在对应法则f之下，在B中都有唯一元素与之对应，依函数的定义，能构成函数．(5)对于集合A中任意一个实数x，按照对应法则在集合B中都有唯一一个确定的数0与它对应，故是集合A到集合B的函数．1．判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即A，B必须是非空数集；A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应．2．函数的定义中“每一个元素x”与“有唯一的元素y”说明函数中两变量x，y的对应-3-关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”．1.下列对应或关系式中是A到B的函数的有________．(填序号)①A＝B＝[－1,1]，x∈A，y∈B且x2＋y2＝1；②A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图；③A＝R，B＝R，f：x→y＝1x－2；④A＝Z，B＝Z，f：x→y＝2x－1.②[对于①项，x2＋y2＝1可化为y＝±1－x2，显然对任意x∈A，y值可能不唯一，故不符合．对于②项，符合函数的定义．对于③项，2∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合．对于④项，－1∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合．]求函数的定义域【例2】求下列函数的定义域．(1)f(x)＝3x－83x－2；(2)f(x)＝x＋1＋12－x；(3)f(x)＝x＋4＋x0＋1x＋2；(4)f(x)＝x＋12x＋1.思路点拨：根据使式子在实数范围内有意义的条件列不等式(组)，求出x的范围，就是所求函数的定义域．[解](1)要使f(x)有意义，则有3x－20，∴x23，即f(x)的定义域为23，＋∞.(2)要使f(x)有意义，则x＋1≥0，2－x≠0⇒x≥－1且x≠2，-4-即f(x)的定义域为[－1,2)∪(2，＋∞)．(3)要使f(x)有意义，则x＋4≥0，x≠0，x＋2≠0，解得x≥－4且x≠0，x≠－2，即f(x)的定义域为[－4，－2)∪(－2,0)∪(0，＋∞)．(4)要使f(x)有意义，则x＋1≠0，∴x≠－1，即f(x)的定义域为{x|x≠－1}．1．求函数定义域时，不要化简所给解析式，而是直接从所给的解析式寻找使解析式有意义时自变量满足的条件．2．函数的定义域要用集合或区间形式表示，这一点初学者易忽视．2．求下列函数的定义域．(1)f(x)＝11－3x＋1x；(2)f(x)＝3－x＋1＋x且x∈Z.[解](1)要使函数有意义，只需1－3x＞0，x≠0，所以x＜13且x≠0，所以函数的定义域为xx＜13且x≠0.(2)要使函数有意义，只需3－x≥0，1＋x≥0，所以－1≤x≤3.又x∈Z，所以x＝－1,0,1,2,3.所以函数的定义域为{－1,0,1,2,3}.求函数的值域或函数值【例3】已知f(x)＝x2－4x＋2.(1)求f(2)，f(a)，f(a＋1)的值；(2)求f(x)的值域；(3)若g(x)＝x＋1，求f(g(3))的值．思路点拨：(1)将x＝2，a，a＋1代入f(x)即可；(2)配方求值域；(3)先求g(3)再算f[g(3)]．[解](1)f(2)＝22－4×2＋2＝－2，-5-f(a)＝a2－4a＋2，f(a＋1)＝(a＋1)2－4(a＋1)＋2＝a2－2a－1.(2)f(x)＝x2－4x＋2＝(x－2)2－2≥－2，∴f(x)的值域为[－2，＋∞)．(3)g(3)＝3＋1＝4，∴f(g(3))＝f(4)＝42－4×4＋2＝2.1．函数值f(a)就是a在对应法则f下的对应值，因此由函数关系求函数值，只需将f(x)中的x用对应的值(包括值在定义域内的代数式)代入即得．2．求f(g(a))时，一般要遵循由里到外逐层计算的原则．3．配方法是一种常用的求值域的方法，主要解决“二次函数型”的函数求值域．3．在例3中，g(x)＝x＋1，求f(g(x))，g(f(x))．[解]f(g(x))＝g(x)2－4g(x)＋2＝(x＋1)2－4(x＋1)＋2＝x2－2x－1，g(f(x))＝f(x)＋1＝x2－4x＋2＋1＝x2－4x＋3.抽象函数求定义域[探究问题]1．在y＝f(x)中，f(x)的定义域指的是什么？x是什么？[提示]f(x)的定义域指的是x的范围，其中x是函数的自变量．2．在函数y＝f(x＋1)中，自变量是谁？而它的定义域指的是什么？[提示]y＝f(x＋1)中自变量为x，其定义域指的是x的范围．3．如何将函数y＝f(x)与y＝f(x＋1)中的自变量联系起来？[提示]由于x，x＋1均为f的作用对象，故二者均应在f(x)定义域之中，即y＝f(x)中x的范围与y＝f(x＋1)中x＋1的范围一致．【例4】(1)已知函数y＝f(x)的定义域为[1,4]，则f(x＋2)的定义域为________．(2)已知函数y＝f(x＋2)的定义域为[1,4]，则f(x)的定义域为________．(3)已知函数y＝f(x＋3)的定义域为[1,4]，则f(2x)的定义域为________．思路点拨：找准每一个函数中的自变量，通过括号内范围相同来解决问题．(1)[－1,2](2)[3,6](3)2，72[(1)由题知对于f(x＋2)有x＋2∈[1,4]，∴x∈[－1,2]，故f(x＋2)的定义域为[－1,2]．-6-(2)由题知x∈[1,4]，∴x＋2∈[3,6]，∴f(x)的定义域是[3,6]．(3)由题知x∈[1,4]，∴x＋3∈[4,7]，对于f(2x)有2x∈[4,7]，∴x∈2，72，即f(2x)的定义域为2，72.]抽象函数的定义域1已知fx的定义域，求fgx的定义域：若fx的定义域为[a，b]，则fgx中a≤gx≤b，从中解得x的取值范围即为fgx的定义域.2已知fgx的定义域，求fx的定义域：若fgx的定义域为[a，b]，即a≤x≤b，求得gx的取值范围，gx的取值范围即为fx的定义域.用较为口语化的语言可以将上述两类题型的解法合并成两句话：①定义域指自变量的取值范围.告诉我们已知什么，求什么②括号内范围相同.告诉我们如何将条件与结论联系起来4．已知函数y＝f(x－1)的定义域为[－3,2]，则f(x＋1)的定义域为________．[－5,0][对于y＝f(x－1)有x∈[－3,2]，∴x－1∈[－4，1]，∴在f(x＋1)中有x＋1∈[－4,1]，∴x∈[－5,0]．]理解函数的概念应关注五点(1)“A，B是非空的数集”，一方面强调了A，B只能是数集，即A，B中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的．(2)理解函数的概念要注意函数的定义域是非空数集A，但函数的值域不一定是非空数集B，而是集合B的子集．(3)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数．(4)y＝f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定就是解析式．(5)除f(x)外，有时还用g(x)、u(x)、F(x)、G(x)等符号来表示函数．1．下列图象表示函数图象的是()-7-C[根据函数定义知，对定义域内的任意变量x，都有唯一的函数值y和它对应，即作垂直x轴的直线与图象至多有一个交点(有一个交点即x是定义域内的一个变量，无交点即x不是定义域内的变量)．显然，只有答案C中图象符合．]2．下列四组函数中，表示相等函数的一组是()A．f(x)＝|x|，g(x)＝x2B．f(x)＝x2，g(x)＝(x)2C．f(x)＝x2－1x－1，g(x)＝x＋1D．f(x)＝x＋1·x－1，g(x)＝x2－1.A[A中定义域，对应关系都相同，是同一函数；B中定义域不同；C中定义域不同；D中定义域不同．]3．函数y＝x＋1＋12－x的定义域是________．{x|x≥－1且x≠2}[要使函数有意义，需满足x＋1≥0，2－x≠0，解不等式得定义域为{x|x≥－1且x≠2}．]]4．求下列函数的值域：(1)y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；(2)y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；(3)y＝2x＋1x－3.[解](1)因为x∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}．(2)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2,6)．(3)y＝2x＋1x－3＝2x－3＋7x－3＝2＋7x－3，-8-显然7x－3