2019-2020学年高中数学 第2章 柯西不等式与排序不等式及其应用 2.3 平均值不等式（选学）

-1-2.3平均值不等式(选学)学习目标：1.了解算术平均，几何平均，调和平均的概念.2.理解定理的意义及作用，了解定理的推证过程.3.能够灵活应用定理证明求解一些简单问题．教材整理平均值不等式1．(平均值不等式)设a1，a2，…，an为n个正数，则a1＋a2＋…＋ann≥na1a2…an，等号成立⇔a1＝a2＝…＝an.(推论1)设a1，a2，…，an为n个正数，且a1a2…an＝1，则a1＋a2＋…＋an≥n，且等号成立⇔a1＝a2＝…＝an＝1.当n＝3时，这个结论的几何解释是：如果一个长方体的体积为1，则当它是正方体时，其棱长之和最小．(推论2)设C为常数，且a1，a2，…，an为n个正数，则当a1＋a2＋…＋an＝nC时，a1a2…an≤Cn，且等号成立⇔a1＝a2＝…＝an.当n＝3时，这个定理的一个几何解释是：所有棱长之和相同的长方体中，正方体有最大的体积．2．任意给定n个正数，先求它们倒数的平均1a1＋1a2＋…＋1ann，然后再作这个平均值的倒数n1a1＋1a2＋…＋1an，称其为a1，a2，…，an的调和平均．(定理2)设a1，a2，…，an为n个正数，则na1a2…an≥n1a1＋1a2＋…＋1an，等号成立⇔a1＝a2＝…＝an.3．(定理3)设a1，a2，…，an为正数，则a1＋a2＋…＋ann≥na1a2…an≥n1a1＋1a2＋…＋1an，等号成立⇔a1＝a2＝…＝an.(推论3)设a1，a2，…，an为n个正数，则(a1＋a2＋…＋an)·1a1＋1a2＋…＋1an≥n2.1．设x，y，z为正数，且x＋y＋z＝6，则lgx＋lgy＋lgz的取值范围是()-2-A．(－∞，lg6]B．(－∞，3lg2]C．[lg6，＋∞)D．[3lg2，＋∞)[解析]∵x，y，z为正数，∴xyz≤x＋y＋z33＝23.∴lgx＋lgy＋lgz＝lgxyz≤lg23＝3lg2，当且仅当x＝y＝z＝2时，等号成立．[答案]B2．若a，b，c，d为正数，则ba＋cb＋dc＋ad的最小值为_____________.[解析]由平均值不等式可得，ba＋cb＋dc＋ad≥44ba·cb·dc·ad＝4，当且仅当a＝b＝c＝d时，等号成立．[答案]4利用平均值不等式求最值【例1】求函数y＝(x2－17)79－x2的最大值．[精彩点拨]根据函数的结构，采用平均值不等式求其最值．[自主解答]根据平均值不等式x2－172＋x2－172＋(79－x2)≥33x2－17279－x24＝33y24，即y2≤623×427.当且仅当x2－172＝79－x2，即x2＝1753时等号成立．这时ymax＝1241869.利用平均值不等式求函数最值时，一要注意函数结构的配凑，二要注意等号成立的条件．1．已知x，y，z∈23，＋∞且x＋y＋z＝3，求y＝3x－2＋3y－2＋3z－2的最大值．-3-[解]3x－2＋3y－2＋3z－2＝3x－2·1＋3y－2·1＋3z－2·1≤3x－2＋12＋3y－2＋12＋3z－2＋12＝3x＋y＋z－32.∵x＋y＋z＝3，∴3x＋y＋z－32＝3，∴3x－2＋3y－2＋3z－2≤3.故ymax＝3.利用平均值不等式证明不等式【例2】若x0，求证：10＋x992＋x.[精彩点拨]由于不等式右边为92＋x，故将左边拆项，利用不等式证明．[自主解答]10＋x9＝1＋1＋x9即原不等式成立．在利用平均值不等式证明不等式时，应根据不等式的特点选择相应公式，有时需要对一边进行分拆、配凑；若两次使用平均值不等式，还要注意等号能否同时成立．2．设a，b，c为正数，求证：(a＋b＋c)1a＋b＋1b＋c＋1a＋c≥92.[证明]∵(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥33a＋bb＋cc＋a，1a＋b＋1b＋c＋1a＋c≥331a＋b×1b＋c×1a＋c，-4-∴[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]1a＋b＋1b＋c＋1a＋c≥33a＋bb＋cc＋a×331a＋b×1b＋c×1a＋c，即2(a＋b＋c)1a＋b＋1b＋c＋1a＋c≥9，∴(a＋b＋c)1a＋b＋1b＋c＋1a＋c≥92.平均值不等式的类型与应用条件[探究问题]试比较n个正数的算术平均，几何平均，调和平均，平方平均四者的大小关系．[提示]在课本中已讲过n个正数a1，a2，…，an的算术平均和几何平均分别是An＝a1＋a2＋…＋ann和Gn＝na1a2…an.此外，还有调和平均(在光学及电路分析中用到)Hn＝n1a1＋1a2＋…＋1an.平方平均(在统计学及误差分析中用到)Qn＝a21＋a22＋…＋a2nn.这四个平均值有以下关系：Hn≤Gn≤An≤Qn.其中等号成立的充要条件都是a1＝a2＝…＝an.【例3】设x1，x2，x3为正数，证明：x2x1＋x3x2＋x1x3≤x1x23＋x2x33＋x3x13.[精彩点拨]不等式左右两边均为和式形式，要想应用均值不等式证明，必须对一边式子进行变形．[自主解答]x2x1＝x2x3·x3x1·1≤13x2x33＋x3x13＋1，①x3x2＝x3x1·x1x2·1≤13x3x13＋x1x23＋1，②x1x3＝x1x2·x2x3·1≤13x1x23＋x2x33＋1，③-5-1＝x3x1·x1x2·x2x3≤13x3x13＋x1x23＋x2x33.④上述不等式中，当且仅当x1＝x2＝x3时取“＝”号．①＋②＋③＋④得x2x1＋x3x2＋x1x3＋1≤13[3·x1x23＋3x2x33＋3·x3x13＋3]，∴x2x1＋x3x2＋x1x3≤x1x23＋x2x33＋x3x13.在应用平均值不等式解题时，有时需要将平均值不等式变形，如x2x1可变为x2x3·x3x1·1.3．已知a，b，c为正整数，且b＋ca，c＋ab，a＋bc.求证：1＋b－caa·1＋c－abb·1＋a－bcc≤1.[证明]1＋b－caa·1＋c－abb·1＋a－bcc＝a＋b－caa·b＋c－abb·c＋a－bcc＝a＋b－ca…a＋b－ca·b＋c－ab…b＋c－ab·c＋a－bc…c＋a－bc≤a·a＋b－ca＋b·b＋c－ab＋c·c＋a－bca＋b＋ca＋b＋c＝1.即原不等式成立．-6-1．设a1，a2，…，an为正数，P＝a1＋a2＋…＋ann，Q＝n1a1＋1a2＋…＋1an，则P，Q间的大小关系为()A．PQB．P≥QC．PQD．P≤Q[解析]∵(a1＋a2＋…＋an)1a1＋1a2＋…＋1an≥＝n2，∴a1＋a2＋…＋ann≥n1a1＋1a2＋…＋1an，即P≥Q.[答案]B2．已知正数a，b，c满足a＋b＋c＝3，则8a＋1＋8b＋1＋8c＋1的最大值为()A．9B．33C．16D．43[解析]8a＋1＋8b＋1＋8c＋1＝138a＋1·9＋138b＋1·9＋138c＋1·9≤8a＋1＋96＋8b＋1＋96＋8c＋1＋96＝8a＋b＋c＋306＝9.当且仅当a＝b＝c＝1时取等号．[答案]A3．当x0时，y＝3x＋12x2的最小值为()A．3239B．3C．5235D．432-7-[解析]y＝3x＋12x2＝3x2＋3x2＋12x2≥3332x·32x·12x2＝3398＝3239.当且仅当32x＝12x2，即x＝313时，等号成立．[答案]A4．已知x，y，z为正数，且2x＋3y＋5z＝6，则xyz的最大值为________．[解析]∵x，y，z为正数，∴xyz＝130×2x×3y×5z≤130×2x＋3y＋5z33＝415.当且仅当2x＝3y＝5z，即x＝1，y＝23，z＝25时等号成立．[答案]4155．证明：设n为正整数，则n[(n＋1)1n－1]1＋12＋13＋…＋1n.[证明]原不等式等价于：(n＋1)1n1＋12＋13＋…＋1nn＋1＝1＋12＋13＋…＋1n＋nn.∵1＋12＋13＋…＋1n＋nn＝1＋1＋1＋12＋1＋13＋…＋1＋1nn＝2＋32＋43＋…＋n＋1nnn2·32·43·…·n＋1n＝nn＋1＝(n＋1)1n，∴原不等式成立．-8-