2019-2020学年高中数学 第2章 概率章末复习课讲义 新人教B版选修2-3

-1-[自我校对]①pi≥0，i＝1,2，…，n②i＝1npi＝1③二点分布④超几何分布⑤P(B|A)＝PA∩BPA⑥0≤P(B|A)≤1P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)(B，C互斥)⑦P(A∩B)＝P(A)·P(B)⑧A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B相互独立⑨P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)⑩E(aX＋b)＝aE(X)＋b⑪E(X)＝p⑫E(X)＝np⑬D(X)＝p(1－p)⑭D(X)＝np(1－p)⑮D(aX＋b)＝a2D(X)条件概率条件概率是学习相互独立事件的前提和基础，计算条件概率时，必须弄清欲求的条件概率是在什么条件下发生的概率．-2-求条件概率的主要方法有：(1)利用条件概率公式P(B|A)＝PA∩BPA；(2)针对古典概型，可通过缩减基本事件总数求解．【例1】在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求：(1)第1次抽到理科题的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．【精彩点拨】本题是条件概率问题，根据条件概率公式求解即可．【解】设“第1次抽到理科题”为事件A，“第2次抽到理科题”为事件B，则“第1次和第2次都抽到理科题”为事件AB．(1)从5道题中不放回地依次抽取2道题的事件数为n(Ω)＝A25＝20.根据分步乘法计数原理，n(A)＝A13×A14＝12.于是P(A)＝nAnΩ＝1220＝35.(2)因为n(AB)＝A23＝6，所以P(AB)＝nA∩BnΩ＝620＝310.(3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率P(B|A)＝PA∩BPA＝31035＝12.法二：因为n(A∩B)＝6，n(A)＝12，所以P(B|A)＝nA∩BnA＝612＝12.1．掷两颗均匀的骰子，已知第一颗骰子掷出6点，求“掷出点数之和大于或等于10”的概率．-3-【解】设“掷出的点数之和大于或等于10”为事件A，“第一颗骰子掷出6点”为事件B．法一：P(A|B)＝PA∩BPB＝336636＝12.法二：“第一颗骰子掷出6点”的情况有(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6种，故n(B)＝6.“掷出的点数之和大于或等于10”且“第一颗掷出6点”的情况有(6,4)，(6,5)，(6,6)，共3种，即n(A∩B)＝3.从而P(A|B)＝nA∩BnB＝36＝12.相互独立事件的概率求相互独立事件一般与互斥事件、对立事件结合在一起进行考查，解答此类问题时应分清事件间的内部联系，在此基础上用基本事件之间的交、并、补运算表示出有关事件，并运用相应公式求解．特别注意以下两公式的使用前提：(1)若A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，反之不成立．(2)若A，B相互独立，则P(A∩B)＝P(A)P(B)，反之成立．【例2】甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，甲、乙两人只有一人被选中的概率为1120，两人都被选中的概率为310，丙被选中的概率为13，且各自能否被选中互不影响．(1)求3人同时被选中的概率；(2)求恰好有2人被选中的概率；(3)求3人中至少有1人被选中的概率．【精彩点拨】根据相互独立事件的概率求解．【解】设甲、乙、丙能被选中的事件分别为A，B，C，则P(A)(1－P(B))＋P(B)(1－P(A))＝1120，-4-P(A)P(B)＝310，∴P(A)＝25，P(B)＝34，P(C)＝13.(1)3人同时被选中的概率P1＝P(A∩B∩C)＝P(A)·P(B)P(C)＝25×34×13＝110.(2)恰有2人被选中的概率P2＝P(A∩B∩C)＋P(A∩B∩C)＋P(A∩B∩C)＝2360.(3)3人中至少有1人被选中的概率P3＝1－P(A∩B∩C)＝1－35×14×23＝910.2．某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题，竞赛规则规定：答对第1,2,3个问题分别得100分，100分，200分，答错得零分．假设这名同学答对第1,2,3个问题的概率分别为0.8,0.7,0.6.且各题答对与否相互之间没有影响．(1)求这名同学得300分的概率；(2)求这名同学至少得300分的概率．【解】记“这名同学答对第i个问题”为事件Ai(i＝1,2,3)，则P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.7，P(A3)＝0.6.(1)这名同学得300分的概率为：P1＝P(A1∩A2∩A3)＋P(A1∩A2∩A3)＝P(A1)P(A2)P(A3)＋P(A1)·P(A2)P(A3)＝0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6＝0.228.(2)这名同学至少得300分的概率为：P2＝P1＋P(A1∩A2∩A3)＝P1＋P(A1)P(A2)P(A3)＝0.228＋0.8×0.7×0.6＝0.564.离散型随机变量的分布列、均值和方差1.含义：均值和方差分别反映了随机变量取值的平均水平及其稳定性．2．应用范围：均值和方差在实际优化问题中应用非常广泛，如同等资金下比-5-较收益的高低、相同条件下比较质量的优劣、性能的好坏等．3．求解思路：应用时，先要将实际问题数学化，然后求出随机变量的概率分布列．对于一般类型的随机变量，应先求其分布列，再代入公式计算，此时解题的关键是概率的计算．计算概率时要结合事件的特点，灵活地结合排列组合、古典概型、独立重复试验概率、互斥事件和相互独立事件的概率等知识求解．若离散型随机变量服从特殊分布(如二点分布、二项分布等)，则可直接代入公式计算其数学期望与方差．【例3】甲、乙、丙三支足球队进行比赛，根据规则：每支队伍比赛两场，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局．已知乙队胜丙队的概率为15，甲队获得第一名的概率为16，乙队获得第一名的概率为115.(1)求甲队分别胜乙队和丙队的概率P1，P2；(2)设在该次比赛中，甲队得分为ξ，求ξ的分布列及数学期望、方差．【精彩点拨】(1)通过列方程组求P1和P2；(2)由题意求出甲队得分ξ的可能取值，然后再求出ξ的分布列，最后再求出数学期望和方差．【解】(1)设“甲队胜乙队”的概率为P1，“甲队胜丙队”的概率为P2.根据题意，甲队获得第一名，则甲队胜乙队且甲队胜丙队，所以甲队获得第一名的概率为P1×P2＝16.①乙队获得第一名，则乙队胜甲队且乙队胜丙队，所以乙队获得第一名的概率为(1－P1)×15＝115.②解②，得P1＝23，代入①，得P2＝14，所以甲队胜乙队的概率为23，甲队胜丙队的概率为14.(2)ξ的可能取值为0,3,6.当ξ＝0时，甲队两场比赛皆输，其概率为P(ξ＝0)＝1－23×1－14＝14；当ξ＝3时，甲队两场只胜一场，其概率为P(ξ＝3)＝23×1－14＋14×1－23＝712；-6-当ξ＝6时，甲队两场皆胜，其概率为P(ξ＝6)＝23×14＝16.所以ξ的分布列为ξ036P1471216所以E(ξ)＝0×14＋3×712＋6×16＝114.D(ξ)＝0－1142×14＋3－1142×712＋6－1142×16＝5916.3．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．【解】(1)由已知，有P(A)＝C22C23＋C23C23C48＝635.所以，事件A发生的概率为635.(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.P(X＝k)＝Ck5C4－k3C48(k＝1,2,3,4)．所以，随机变量X的分布列为X1234P1143737114随机变量X的数学期望E(X)＝1×114＋2×37＋3×37＋4×114＝52.正态分布的实际应用-7-对于正态分布问题，课标要求不是很高，只要求了解正态分布中最基础的知识，主要是：(1)掌握正态分布曲线函数关系式；(2)理解正态分布曲线的性质；(3)记住正态分布在三个区间内取值的概率，运用对称性结合图象求相应的概率．正态分布的概率通常有以下两种求法：(1)注意“3σ原则”的应用．记住正态总体在三个区间内取值的概率．(2)注意数形结合．由于正态分布密度曲线具有完美的对称性，体现了数形结合的重要思想，因此运用对称性结合图象解决某一区间内的概率问题成为热点问题．【例4】某学校高三2500名学生第二次模拟考试总成绩服从正态分布N(500,502)，请您判断考生成绩X在550～600分的人数．【精彩点拨】根据正态分布的性质求出P(550＜x＜600)，即可求解在550～600分的人数．【解】∵考生成绩X～N(500,502)，∴μ＝500，σ＝50，∴P(550X＜600)＝12[P(500－2×50X＜500＋2×50)－P(500－50X＜500＋50)]＝12(0.9544－0.6826)＝0.1359，∴考生成绩在550～600分的人数为2500×0.1359≈340(人)．4．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ，22)，且正态分布密度曲线如图所示．若体重大于58.5kg小于等于62.5kg属于正常情况，则这1000名男生中属于正常情况的人数是()A．997B．954C．819D．683【解析】由题意，可知μ＝60.5，σ＝2，故P(58.5X≤62.5)＝P(μ－σX≤μ＋σ)＝0.6826，从而属于正常情况的人数是1000×0.6826≈683.-8-【答案】D1．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为()A．8B．15C．16D．32【解析】已知样本数据x1，x2，…，x10的标准差为s＝8，则s2＝64，数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的方差为22s2＝22×64，所以其标准差为22×64＝2×8＝16，故选C.【答案】C2．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为()A．0.648B．0.432C．0.36D．0.312【解析】3次投篮投中2次的概率为P(k＝2)＝C23×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P(k＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P(k＝2)＋P(k＝3)＝C23×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.故选A.【答案】A3．已知随机变量X服从二项分布B(n，p)．若E(X)＝30，D(X)＝20，则p＝________.【解析】由E(X)＝30，D(X)＝20，可得np＝30，np1－p＝20，解得p＝13.【答案】134．某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图所示的柱状图：-9-以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X的分布列；(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？【解】(1)由柱状图及以频率代替概率