2019-2020学年高中数学 第1章 计数原理 1.2.2 组合（第1课时）组合及组合数公式讲义

-1-第1课时组合及组合数公式学习目标：1.理解组合与组合数的概念，正确认识组合与排列的区别与联系．(易混点)2.会推导组合数公式，并会应用公式进行计算．(重点)教材整理1组合与组合数的概念阅读教材P15～P16部分，完成下列问题．1．组合的概念一般地，从n个不同元素中，任意取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个组合．2．组合数的概念从n个不同元素中，任意取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中，任意取出m个元素的组合数，用符号Cmn表示．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个组合相同的充要条件是组成组合的元素完全相同．()(2)从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为C23.()(3)从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法是组合问题．()(4)从甲、乙、丙3名同学中选出2名，有3种不同的选法．()【解析】(1)√因为只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合．(2)√由组合数的定义可知正确．(3)×因为选出2名同学还要分到不同的两个乡镇，这是排列问题．(4)√因为从甲、乙、丙3人中选两名有：甲乙，甲丙，乙丙，共3个组合，即有3种不同选法．【答案】(1)√(2)√(3)×(4)√教材整理2组合数公式及性质阅读教材P16～P19部分，完成下列问题．组合数公式及其性质(1)公式：Cmn＝AmnAmm＝n！m！n－m！.-2-(2)性质：Cmn＝Cn－mn，Cmn＋Cm－1n＝Cmn＋1.(3)规定：C0n＝1.1．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价的种数是________．【解析】甲、乙、丙三地之间的距离不等，故票价不同，同距离两地票价相同，故该问题为组合问题，不同票价的种数为C23＝3×22＝3.【答案】32．C26＝________，C1718＝________.【解析】C26＝6×52＝15，C1718＝C118＝18.【答案】15183．方程Cx14＝C2x－414的解为________．【解析】由题意知x＝2x－4，2x－4≤14，x≤14或x＝14－2x－4，2x－4≤14，x≤14，解得x＝4或6.【答案】4或64．从3,5,7,11这四个数中任取两个相乘，可以得到不相等的积的个数为________．【解析】从四个数中任取两个数的取法为C24＝6.【答案】6组合的概念【例1】判断下列各事件是排列问题还是组合问题．(1)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？(2)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？(3)从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？(4)从10个人里选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？-3-【精彩点拨】要确定是组合还是排列问题，只需确定取出的元素是否与顺序有关．【解】(1)是组合问题，因为每两个队比赛一次并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别．(2)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序的区别．(3)是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别．(4)是排列问题，因为3个人中，担任哪一科的课代表是有顺序的区别．1．根据排列与组合的定义进行判断，区分排列与组合问题，先确定完成的是什么事件，然后看问题是否与顺序有关，与顺序有关的是排列，与顺序无关的是组合．2．区分有无顺序的方法把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．1．从5个不同的元素a，b，c，d，e中取出2个，写出所有不同的组合．【解】要想写出所有组合，就要先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个标出来，如图所示：由此可得所有的组合为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.组合数公式的应用【例2】(1)式子nn＋1n＋2…n＋100100！可表示为()A．A100n＋100B．C100n＋100C．101C100n＋100D．101C101n＋100(2)求值：C5－nn＋C9－nn＋1.【精彩点拨】根据题目的特点，选择适当的组合数公式进行求值或证明．【解】(1)分式的分母是100！，分子是101个连续自然数的乘积，最大的为n＋100，最小的为n，故nn＋1n＋2…n＋100100！-4-＝101·nn＋1n＋2…n＋100101！＝101C101n＋100.【答案】D(2)由组合数定义知：0≤5－n≤n，0≤9－n≤n＋1，所以4≤n≤5，又因为n∈N＋，所以n＝4或5.当n＝4时，C5－nn＋C9－nn＋1＝C14＋C55＝5；当n＝5时，C5－nn＋C9－nn＋1＝C05＋C46＝16.关于组合数计算公式的选取1．涉及具体数字的可以直接用公式Cmn＝AmnAmm＝nn－1n－2…n－m＋1m！计算．2．涉及字母的可以用阶乘式Cmn＝n！m！n－m！计算．3．计算时应注意利用组合数的性质Cmn＝Cn－mn简化运算．2．求等式C5n－1＋C3n－3C3n－3＝195中的n值．【解】原方程可变形为C5n－1C3n－3＋1＝195，C5n－1＝145C3n－3，即n－1n－2n－3n－4n－55！＝145·n－3n－4n－53！，化简整理，得n2－3n－54＝0.解此二次方程，得n＝9或n＝－6(不合题意，舍去)，所以n＝9为所求.组合的性质[探究问题]1．试用两种方法求：从a，b，c，d，e5人中选出3人参加数学竞赛，2人参加英语竞赛，共有多少种选法？你有什么发现？你能得到一般结论吗？-5-【提示】法一：从5人中选出3人参加数学竞赛，剩余2人参加英语竞赛，共C35＝5×4×33×2×1＝10(种)选法．法二：从5人中选出2人参加英语竞赛，剩余3人参加数学竞赛，共C25＝5×42＝10(种)不同选法．经求解发现C35＝C25.推广到一般结论有Cmn＝Cn－mn.2．从含有队长的10名排球队员中选出6人参加比赛，共有多少种选法？【提示】共有C610＝10×9×8×7×6×56×5×4×3×2×1＝210(种)选法．3．在探究2中，若队长必须参加，有多少种选法？若队长不能参加有多少种选法？由探究2,3，你发现什么结论？你能推广到一般结论吗？【提示】若队长必须参加，共C59＝126(种)选法．若队长不能参加，共C69＝84(种)选法．由探究2,3发现从10名队员中选出6人可分为队长参赛与队长不参赛两类，由分类加法计数原理可得：C610＝C59＋C69.一般地：Cmn＋1＝Cmn＋Cm－1n.【例3】(1)计算C34＋C35＋C36＋…＋C32018的值为()A．C42019B．C52019C．C42019－1D．C52019－1(2)解方程3Cx－7x－3＝5A2x－4；(3)解不等式C4n＞C6n.【精彩点拨】恰当选择组合数的性质进行求值、解方程与解不等式．【解】(1)C34＋C35＋C36＋…＋C32018＝C44＋C34＋C35＋…＋C32018－C44＝C45＋C35＋…＋C32018－1＝…＝C42018＋C32018－1＝C42019－1.【答案】C(2)由排列数和组合数公式，原方程可化为3·x－3！x－7！4！＝5·x－4！x－6！，则3x－34！＝5x－6，即为(x－3)(x－6)＝40.∴x2－9x－22＝0，解得x＝11或x＝－2.经检验知x＝11是原方程的根，x＝－2是原方程的增根．-6-∴方程的根为x＝11.(3)由C4n＞C6n，得n！4！n－4！＞n！6！n－6！，n≥6⇒n2－9n－10＜0，n≥6，⇒－1＜n＜10，n≥6.又n∈N＋，∴该不等式的解集为{6,7,8,9}．1．性质“Cmn＝Cn－mn”的意义及作用2．与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由Cmn中的m∈N＋，n∈N＋，且n≥m确定m，n的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意．3．(1)化简：C9m－C9m＋1＋C8m＝________；(2)已知C7n＋1－C7n＝C8n，求n的值．【解析】(1)原式＝(C9m＋C8m)－C9m＋1＝C9m＋1－C9m＋1＝0.【答案】0(2)根据题意，C7n＋1－C7n＝C8n，变形可得C7n＋1＝C8n＋C7n，由组合数的性质，可得C7n＋1＝C8n＋1，故8＋7＝n＋1，解得n＝14.-7-1．下列四个问题属于组合问题的是()A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作B．从0,1,2,3,4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数C．从全班同学中选出3名同学出席运动会开幕式D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员【解析】A、B、D项均为排列问题，只有C项是组合问题．【答案】C2．若A3n＝12C2n，则n等于()A．8B．5或6C．3或4D．4【解析】A3n＝n(n－1)(n－2)，C2n＝12n(n－1)，所以n(n－1)(n－2)＝12×12n(n－1)．由n∈N＋，且n≥3，解得n＝8.【答案】A3．C58＋C68的值为________．【解析】C58＋C68＝C69＝9！6！×3！＝9×8×73×2×1＝84.【答案】844．6个朋友聚会，每两人握手1次，一共握手________次．【解析】每两人握手1次，无顺序之分，是组合问题，故一共握手C26＝15次．【答案】155．已知C4n，C5n，C6n成等差数列，求C12n的值．-8-【解】由已知得2C5n＝C4n＋C6n，所以2·n！5！n－5！＝n！4！n－4！＋n！6！n－6！，整理得n2－21n＋98＝0，解得n＝7或n＝14，要求C12n的值，故n≥12，所以n＝14，于是C1214＝C214＝14×132×1＝91.