2019-2020学年高中数学 第2章 平面解析几何初步 2.2.3 两条直线的位置关系学案 新人教

-1-2.2.3两条直线的位置关系学习目标核心素养1.掌握两条直线相交的判定方法，会求两条相交直线的交点坐标．(重点)2．掌握两条直线平行与垂直的判定方法，注意利用直线方程的系数和利用斜率判定直线平行与垂直的差别．(重点)3．灵活选取恰当的方法判定两条直线的位置关系．(难点)1.通过学习两直线位置关系的方法，培养逻辑推理的数学核心素养．2．借助两直线方程的学习，培养数学运算的核心素养.1．两条直线相交、平行与重合的条件(1)代数方法判断两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系，可以用方程组A1x＋B1y＋C1＝0A2x＋B2y＋C2＝0的解进行判断(如下表所示)方程组的解位置关系交点个数代数条件无解平行无交点A1B2－A2B1＝0而B1C2－C1B2≠0或A2C1－A1C2≠0或A1A2＝B1B2≠C1C2(A2B2C2≠0)有唯一解相交有一个交点A1B2－A2B1≠0或A1A2≠B1B2(A2B2≠0)有无数个解重合无数个交点A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2(λ≠0)或A1A2＝B1B2＝C1C2(A2B2C2≠0)(2)几何方法判断若两直线的斜率均存在，我们可以利用斜率和在y轴上的截距判断两直线的位置关系，其方法如下：设l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，①l1与l2相交⇔k1≠k2；②l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2；③l1与l2重合⇔k1＝k2且b1＝b2.2．两条直线垂直-2-对应关系l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2图示1．已知A(2,0)，B(3,3)，直线l∥AB，则直线l的斜率k等于()A．－3B．3C．－13D.13B[因为k＝kAB＝3－03－2＝3，所以l的斜率为3.]2．直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是()A．平行B．重合C．相交但不垂直D．垂直D[设两直线的斜率分别为k1，k2，则k1·k2＝－1，故l1与l2垂直．]3．l1过点A(m,1)，B(－3,4)，l2过点C(0,2)，D(1,1)，且l1∥l2，则m＝________.0[∵l1∥l2，且k2＝1－21－0＝－1，∴k1＝4－1－3－m＝－1，∴m＝0.]4．经过点P(－2，－1)，Q(3，a)的直线与倾斜角为45°的直线垂直．则a＝________.－6[由题意知a－－13－－2＝－1，所以a＝－6.]两条直线平行的判定【例1】根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行．(1)l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)；(2)l1经过点E(0,1)，F(－2，－1)，l2经过点G(3,4)，H(2，3)；-3-(3)l1的倾斜角为60°，l2经过点M(1，3)，N(－2，－23)；(4)l1平行于y轴，l2经过点P(0，－2)，Q(0,5)．[思路探究]先确定各题中直线的斜率是否存在，斜率存在的直线利用斜率公式求出斜率，再利用两条直线平行的条件判断它们是否平行．[解](1)由题意知，k1＝5－1－3－2＝－45，k2＝－7＋38－3＝－45，所以直线l1与直线l2平行或重合，又kBC＝5－－3－3－3＝－43≠－45，故l1∥l2.(2)由题意知，k1＝－1－1－2－0＝1，k2＝3－42－3＝1，所以直线l1与直线l2平行或重合，kFG＝4－－13－－2＝1，故直线l1与直线l2重合．(3)由题意知，k1＝tan60°＝3，k2＝－23－3－2－1＝3，k1＝k2，所以直线l1与直线l2平行或重合．(4)由题意知l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率也不存在，恰好是y轴，所以l1∥l2.1．判断两条直线平行，应首先看两条直线的斜率是否存在，即先看两点的横坐标是否相等，对于横坐标相等是特殊情况，应特殊判断．在证明两条直线平行时，要区分平行与重合，必须强调不重合才能确定平行．因为斜率相等也可以推出两条直线重合．2．应用两条直线平行求参数值时，应分斜率存在与不存在两种情况求解．1．已知P(－2，m)，Q(m,4)，M(m＋2,3)，N(1,1)，若直线PQ∥直线MN，求m的值．[解]当m＝－2时，直线PQ的斜率不存在，而直线MN的斜率存在，MN与PQ不平行，不合题意；当m＝－1时，直线MN的斜率不存在，而直线PQ的斜率存在，MN与PQ不平行，不合题意；当m≠－2且m≠－1时，kPQ＝4－mm－－2＝4－mm＋2，kMN＝3－1m＋2－1＝2m＋1.-4-因为直线PQ∥直线MN，所以kPQ＝kMN，即4－mm＋2＝2m＋1，解得m＝0或m＝1.当m＝0或1时，由图形知，两直线不重合．综上，m的值为0或1.两条直线垂直的判定【例2】(1)l1经过点A(3,2)，B(3，－1)，l2经过点M(1,1)，N(2,1)，判断l1与l2是否垂直；(2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2,3)，直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，若l1⊥l2，求a的值．[思路探究](1)若斜率存在，求出斜率，利用垂直的条件判断；若一条直线的斜率不存在，再看另一条的斜率是否为0，若为0，则垂直；(2)当两直线的斜率都存在时，由斜率之积等于－1求解；若一条直线的斜率不存在，由另一条直线的斜率为0求解．[解](1)直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率为0，所以l1⊥l2.(2)由题意，知l2的斜率k2一定存在，l1的斜率可能不存在．当l1的斜率不存在时，3＝a－2，即a＝5，此时k2＝0，则l1⊥l2，满足题意．当l1的斜率k1存在时，a≠5，由斜率公式，得k1＝3－aa－2－3＝3－aa－5，k2＝a－2－3－1－2＝a－5－3.由l1⊥l2，知k1k2＝－1，即3－aa－5×a－5－3＝－1，解得a＝0.综上所述，a的值为0或5.利用斜率公式来判定两直线垂直的方法1．一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；再看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步．2．二代：就是将点的坐标代入斜率公式．-5-3．求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．提醒：若己知点的坐标含有参数，利用两直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况．2．已知直线l1的斜率为k1＝34，直线l2经过点A(3a，－2)，B(0，a2＋1)，且l1⊥l2，则实数a＝________.1或3[∵l1⊥l2，且k1＝34，∴kAB＝－43，即a2＋1－－20－3a＝－43，即a2－4a＋3＝0，解得a＝1或a＝3.]直线平行与垂直的综合应用[探究问题]1．已知△ABC的三个顶点坐标A(5，－1)，B(1,1)，C(2,3)，你能判断△ABC的形状吗？[提示]如图，AB边所在的直线的斜率kAB＝－12，BC边所在直线的斜率kBC＝2.由kAB·kBC＝－1，得AB⊥BC，即∠ABC＝90°.∴△ABC是以点B为直角顶点的直角三角形．2．若已知直角三角形ABC的顶点A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，你能求出m的值吗？[提示]若∠A为直角，则AC⊥AB，所以kAC·kAB＝－1，即m＋12－5·1＋11－5＝－1，得m＝－7；若∠B为直角，则AB⊥BC，所以kAB·kBC＝－1，即1＋11－5·m－12－1＝－1，得m＝3；若∠C为直角，则AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，-6-即m＋12－5·m－12－1＝－1，得m＝±2.综上可知，m＝－7或m＝3或m＝±2.【例3】如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0,0)，P(1，t)，Q(1－2t,2＋t)，R(－2t,2)，其中t＞0.试判断四边形OPQR的形状．[思路探究]利用直线方程的系数关系，或两直线间的斜率关系，判断两直线的位置关系．[解]由斜率公式得kOP＝t－01－0＝t，kQR＝2－2＋t－2t－1－2t＝－t－1＝t，kOR＝2－0－2t－0＝－1t，kPQ＝2＋t－t1－2t－1＝2－2t＝－1t.所以kOP＝kQR，kOR＝kPQ，从而OP∥QR，OR∥PQ.所以四边形OPQR为平行四边形．又kOP·kOR＝－1，所以OP⊥OR，故四边形OPQR为矩形．1．将本例中的四个点，改为“A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3，0)，顺次连接A，B，C，D四点，试判断四边形ABCD的形状．”[解]由题意A，B，C，D四点在平面直角坐标系内的位置如图，由斜率公式可得kAB＝5－32－－4＝13，kCD＝0－3－3－6＝13，kAD＝0－3－3－－4＝－3，kBC＝3－56－2＝－12.所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，所以AB∥CD，由kAD≠kBC，所以AD与BC不平行．又因为kAB·kAD＝13×(－3)＝－1，所以AB⊥AD，故四边形ABCD为直角梯形．2．将本例改为“已知矩形OPQR中按逆时针顺序依次为O(0，0)，P(1，t)，Q(1－2t,2-7-＋t)，试求顶点R的坐标．”[解]因为OPQR为矩形，所以OQ的中点也是PR的中点，设R(x，y)，则由中点坐标公式知0＋1－2t2＝1＋x2，0＋2＋t2＝t＋y2，解得x＝－2t，y＝2.所以R点的坐标是(－2t,2)．1．利用两条直线平行或垂直判定几何图形的形状的步骤2．判定几何图形形状的注意点(1)在顶点确定的前提下，判定几何图形的形状时，要先画图，猜测其形状，以明确证明的目标．(2)证明两直线平行时，仅仅有k1＝k2是不够的，还要注意排除两直线重合的情况．(3)判断四边形形状，要依据四边形的特点，并且不会产生其他的情况．1．本节课的重点是理解两条直线平行或垂直的判定条件，会利用斜率判断两条直线平行或垂直，难点是利用斜率判断两条直线平行或垂直．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)判断两条直线平行的步骤，(2)利用斜率公式判断两条直线垂直的方法，(3)判断图形形状的方法步骤．3．本节课的易错点是利用斜率判断含字母参数的两直线平行或垂直时，对字母分类讨论．-8-1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若两条直线斜率相等，则这两条直线平行．()(2)若l1∥l2，则k1＝k2.()(3)若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交．()(4)若两直线斜率都不存在，则两直线平行．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×[提示](1)、(4)中两直线有可能重合，故(1)(4)错误；(2)可能出现两直线斜率不存在情况，故(2)错误；(3)正确．2．过点(3，6)，(0,3)的直线与过点(6，2)，(2,0)的直线的位置关系为()A．垂直B．平行C．重合D．以上都不正确A[过点(3，6)，(0,3)的直线的斜率k1＝6－33－0＝2－3；过点(6，2)，(2,0)的直线的斜率k2＝2－06－2＝3＋2.因为k1·k2＝－1，所以两条直线垂直．]3．已知直线l1的倾斜角为60°，直线l2的斜率k2＝m2＋3－4，若l1∥l2，则m的值为________．±2[由题意得m2＋3－4＝tan60°，解得m＝±2.]4．当m为何值时，过两点A(1,1)，B(2m2＋1，m－2)的直线：(1)倾斜角为135°.(2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直．(3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行．[解](1)由kAB＝m－32m2＝tan135°＝－1，解得m＝－32或m＝1.(2)由kAB＝m－32m2，且－7－20－3＝3.则m－32m2＝－13，解得m＝32或m＝－3.(3)令m－32m2＝9＋3－4－2＝－2，解得m＝34或m＝－1.-9-