2019-2020学年高中数学 第2章 平面解析几何初步 2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式学案

-1-2.1.2平面直角坐标系中的基本公式学习目标核心素养1．掌握平面上两点间的距离公式和中点坐标公式．(重点)2．了解两点的距离公式及中点公式的推导方法．(难点)3．体会坐标法在几何中的作用．(重点)4．坐标法在证明几何问题中的应用．(难点)1．通过学习平面上两点间距离公式及中点坐标公式，培养数学运算的核心素养．2．借助平面上两点间距离公式及坐标公式及坐标法，提升逻辑推理的核心素养.两点间距离公式及中点公式1．已知在平面直角坐标系中两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有d(A，B)＝|AB|＝x2－x12＋y2－y12.2．已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，设点M(x，y)是线段AB的中点，则有x＝x1＋x22，y＝y1＋y22.1．已知A(1,2)，B(a,6)，且|AB|＝5，则a的值为()A．4B．－4或2C．－2D．－2或4D[a－12＋6－22＝5，解得a＝－2或4.]2．以A(5,5)，B(1,4)，C(4,1)为顶点的三角形为________．等腰三角形[由题意|AB|＝17，|AC|＝17，|BC|＝18，显然△ABC为等腰三角形．]3.(1)如图，若A(－1,1)，C(3,1)连线的中点为M1(x，y),则x，y满足什么条件？(2)若B(3,4)，那么BC的中点M2的坐标是什么？[答案](1)x＝1，y＝1(2)3，52.-2-两点的距离公式的应用【例1】已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－a,0)，B(a,0)，C(0,3a)．求证：△ABC是等边三角形．[解]由两点的距离公式得|AB|＝a＋a2＋0－02＝2|a|，|BC|＝0－a2＋3a－02＝2|a|，|CA|＝－a－02＋0－3a2＝2|a|.∴|AB|＝|BC|＝|CA|，故△ABC是等边三角形．根据边长判断三角形形状的结论主要有以下几种：等腰、等边、直角、等腰直角三角形等．在进行判断时，一定要得出最终结果，比如一个三角形是等腰直角三角形，若我们只通过两边长相等判定它是等腰三角形则是不正确的．1．本例若改为：已知A(－1，－1)，B(3,5)，C(5,3)，试判断△ABC的形状．[解]d(A，B)＝[3－－1]2＋[5－－1]2＝42＋62＝52＝213，d(A，C)＝[5－－1]2＋[3－－1]2＝62＋42＝52＝213，d(B，C)＝5－32＋3－52＝22＋22＝8＝22.所以|AB|＝|AC|≠|BC|，且显然三边长不满足勾股定理，所以△ABC为等腰三角形．中点公式的应用【例2】已知平行四边形ABCD的两个顶点坐标分别为A(4,2)，B(5,7)，对角线交点为E(－3,4)，求另外两顶点C、D的坐标．-3-[思路探究]先分析点的关系，借助平行四边形的性质，尝试运用中点公式列方程组求解．[解]设C点坐标为(x1，y1)，则由E为AC的中点得：－3＝4＋x12，4＝2＋y12，得x1＝－10，y1＝6，设D点坐标为(x2，y2)，则由E为BD的中点得－3＝5＋x22，4＝7＋y22，得x2＝－11，y2＝1，故C点坐标为(－10,6)，D点坐标为(－11,1)．1．本题是用平行四边形对角线互相平分这一性质，依据中点公式列方程组求点的坐标的．2．中点公式常用于求与线段中点、三角形的中线、平行四边形的对角线等有关的问题，解题时一般先根据几何概念，提炼出点之间的“中点关系”，然后用中点公式列方程或方程组求解．2．已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标分别为A(0,0)，B(2,0)，D(1,3)，求顶点C的坐标．[解]∵平行四边形的对角线互相平分，∴平行四边形对角线的中点坐标相同．设C点坐标为C(x，y)，则0＋x2＝2＋12＝32，0＋y2＝0＋32＝32，∴x＝3，y＝3，即C(3,3)．坐标法的应用[探究问题]1．如何建立平面直角坐标系？[提示](1)要使尽可能多的已知点、直线落在坐标轴上；-4-(2)如果图形中有互相垂直的两条直线，则考虑其作为坐标轴；(3)考虑图形的对称性：可将图形的对称中心作为原点、将图形的对称轴作为坐标轴．2．建立不同的直角坐标系，影响最终的结果吗？[提示]不影响．【例3】在△ABC中，D为BC边上任意一点(D与B，C不重合)，且|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|.则△ABC为()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．以上都不对[思路探究]几何证明问题⇒坐标法⇒借助代数运算证明A[如图所示，作AO⊥BC，垂足为O，以BC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．设A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)，D(d,0)(b＜d＜c)．因为|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|，所以b2＋a2＝d2＋a2＋(d－b)(c－d)，所以－(d－b)(b＋d)＝(d－b)(c－d)，又因为d－b≠0，所以－b－d＝c－d，即－b＝c.所以|OB|＝|OC|.又AO⊥BC，故△ABC为等腰三角形．]已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的直角坐标系，证明：|AM|＝12|BC|.[解]如图所示，以Rt△ABC的直角边AB，AC所在直线为坐标轴，建立直角坐标系．设B，C两点的坐标分别为(b,0)，(0，c)．因为点M是BC的中点，故点M的坐标为0＋b2，0＋c2，即b2，c2.由两点距离公式得|BC|＝0－b2＋c－02＝b2＋c2，-5-|AM|＝b2－02＋c2－02＝12b2＋c2.所以|AM|＝12|BC|.建立直角坐标系的常见技巧1．对于平面几何中证明边相等(或不等)、求最值等类型的题目，可以建立恰当的平面直角坐标系，用坐标法将几何问题代数化，使复杂的逻辑思维转化为简单的代数运算，从而将复杂问题简单化．2．在建立平面直角坐标系时，要尽可能地将平面几何图形中的点、线放在坐标轴上，但不能把任意点作为特殊点．1．本节课的重点是平面上两点间的距离公式和中点坐标公式，难点是坐标法在证明几何问题中的应用．2．学习本节课要掌握的规律方法(1)两点间的距离公式及应用，(2)中点坐标公式及其应用，(3)坐标法的应用．3．本节课的易错点是建立平面直角坐标系后点的坐标不能正确的写出．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)A，B两点的距离与A，B的顺序无关．()(2)中点坐标公式中两点位置没有先后顺序．()[答案](1)√(2)√2．已知A(－8，－3)，B(5，－3)，则线段AB的中点坐标为()A．32，2B．－32，－3C．－32，3D．32，－3B[由中点坐标公式可以求得．]3．若x轴上的点M到原点与到点(5，－3)的距离相等，则点M的坐标为________．-6-(3.4,0)[设点M的坐标为(x,0)，由题意知|x|＝x－52＋0＋32，即x2＝(x－5)2＋9，解得x＝3.4，故所求点M的坐标为(3.4,0)．]4．已知矩形相邻两个顶点是A(－1,3)，B(－2,4)，若它的对角线交点在x轴上，求另外两顶点的坐标．[解]设对角线交点为P(x,0)，则|PA|＝|PB|，即(x＋1)2＋(0－3)2＝(x＋2)2＋(0－4)2，解得x＝－5，所以对角线交点为P(－5,0)．所以xC＝2×(－5)－(－1)＝－9，yC＝2×0－3＝－3，即C(－9，－3)；xD＝2×(－5)－(－2)＝－8，yD＝2×0－4＝－4，所以D(－8，－4)．所以另外两顶点的坐标为C(－9，－3)，D(－8，－4)．