中考数学专题：二次函数与图形面积的最值及定值压轴问题解析

2020年中考数学必考经典专题2二次函数与图形面积的最值及定值压轴问题【方法指导】面积是平面几何中一个重要的概念，关联着平面图形中的重要元素边与角，由动点而生成的面积问题，是抛物线与直线形结合的觉形式，常见的面积问题有规则的图形的面积（如直角三角形、平行四边形、菱形、矩形的面积计算问题）以及不规则的图形的面积计算，解决不规则的图形的面积问题是中考压轴题常考的题型，此类问题计算量较大。有时也要根据题目的动点问题产生解的不确定性或多样性。解决动点产生的面积问题，常用到的知识和方法有：（1）如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面积，直接用面积公式．（2）三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样“不规则”的三角形的面积，用“割”或“补”的方法．（3）同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等．（4）同底三角形的面积比等于高的比．（5）同高三角形的面积比等于底的比．【题型剖析】【类型1】二次函数与面积最值问题【例1】如图，抛物线2(1)yxk与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点(0,3)C．P为抛物线上一点，横坐标为m，且0m．（1）求此抛物线的解析式；（2）当点P位于x轴下方时，求ABP面积的最大值；（3）设此抛物线在点C与点P之间部分（含点C和点)P最高点与最低点的纵坐标之差为h．①求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围；②当9h时，直接写出BCP的面积．【分析】（1）将点(0,3)C代入2(1)yxk即可；（2）易求(1,0)A，(3,0)B，抛物线顶点为(1,4)，当P位于抛物线顶点时，ABP的面积有最大值；（3）)①当01m时，223(23)2hmmmm；当12m时，3(4)1h；当2m时，2223(4)21hmmmm；②当9h时若229mm，此时△0，m无解；若2219mm，则4m，则(4,5)P，BCP的面积1118451(41)36222；【解析】解：（1）将点(0,3)C代入2(1)yxk，得4k，22(1)423yxxx；（2）令0y，1x或3x，(1,0)A，(3,0)B，4AB；抛物线顶点为(1,4)，当P位于抛物线顶点时，ABP的面积有最大值，14482S；（3）①当01m时，223(23)2hmmmm；当12m时，3(4)1h；当2m时，2223(4)21hmmmm；②当9h时若229mm，此时△0，m无解；若2219mm，则4m，(4,5)P，(3,0)B，(0,3)C，BCP的面积1118451(41)36222；【点评】本题考查二次函数的图象及性质，是二次函数综合题；熟练掌握二次函数的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．【变式训练】如图，抛物线22(0)yaxaxca与y轴交于点(0,4)C，与x轴交于点A、B，点A坐标为(4,0)．（1）求该抛物线的解析式；（2）抛物线的顶点为N，在x轴上找一点K，使CKKN最小，并求出点K的坐标；（3）点Q是线段AB上的动点，过点Q作//QEAC，交BC于点E，连接CQ．当CQE的面积最大时，求点Q的坐标；【分析】（1）把A、C两点坐标代入抛物线解析式可求得a、c的值，可求得抛物线解析；（2）可求得点C关于x轴的对称点C的坐标，连接CN交x轴于点K，再求得直线CK的解析式，可求得K点坐标；（3）过点E作EGx轴于点G，设(,0)Qm，可表示出AB、BQ，再证明BQEBAC，可表示出EG，可得出CQE关于m的解析式，再根据二次函数的性质可求得Q点的坐标；（4）分DODF、FOFD和ODOF三种情况，分别根据等腰三角形的性质求得F点的坐标，进一步求得P点坐标即可．【解析】解：（1）抛物线经过点(0,4)C，(4,0)A，416840caa，解得124ac，抛物线解析式为2142yxx；（2）由（1）可求得抛物线顶点为9(1,)2N，如图1，作点C关于x轴的对称点(0,4)C，连接CN交x轴于点K，则K点即为所求，设直线CN的解析式为ykxb，把C、N点坐标代入可得924kbb，解得1724kb，直线CN的解析式为1742yx，令0y，解得817x，点K的坐标为8(17，0)；（3）设点(,0)Qm，过点E作EGx轴于点G，如图2，由21402xx，得12x，24x，点B的坐标为(2,0)，6AB，2BQm，又//QEAC，BQEBAC∽，EGBQCOBA，即246EGm，解得243mEG；2211241281()(2)(4)(1)32233333CQECBQEBQmSSSCOEGBQmmmm．又24m，当1m时，CQES有最大值3，此时(1,0)Q；【类型2】二次函数与面积定值问题【例2】抛物线229yxbxc与x轴交于(1,0)A，(5,0)B两点，顶点为C，对称轴交x轴于点D，点P为抛物线对称轴CD上的一动点（点P不与C，D重合）．过点C作直线PB的垂线交PB于点E，交x轴于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）当PCF的面积为5时，求点P的坐标；（3）当PCF为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．【分析】（1）函数的表达式为：2(1)(5)9yxx，即可求解；（2）确定PB、CE的表达式，联立求得点2(23mF，0)，112(2)(22)5223PCFmSPCDFm，即可求解；（3）分当CPCF、CPPF、CPPF三种情况，分别求解即可．【解析】解：（1）函数的表达式为：222810(1)(5)9999yxxxx；（2）抛物线的对称轴为2x，则点(2,2)C，设点(2,)Pm，将点P、B的坐标代入一次函数表达式：ysxt并解得：函数PB的表达式为：1533mymx，CEPE，故直线CE表达式中的k值为3m，将点C的坐标代入一次函数表达式，同理可得直线CE的表达式为：36(2)yxmm，解得：223mx，故点2(23mF，0)，112(2|)(22)5223PCFmSPCDFm，解得：5m或3，故点(2,3)P或(2,5)；（3）由（2）确定的点F的坐标得：22(2)CPm，222()43mCF，2222()3mPFm，①当CPCF时，即：222(2)()43mm，解得：0m或36(05舍去），②当CPPF时，同理可得：93132m，③当CFPF时，同理可得：2m（舍去2)，故点36(2,)5P或(2,2)或9313(2,)2或9313(2,)2【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．【变式训练】已知抛物线23yaxbx经过点(1,0)A和点(3,0)B，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．（1）抛物线的解析式为，抛物线的顶点坐标为；（2）如图1，连接OP交BC于点D，当:1:2CPDBPDSS时，请求出点D的坐标；（3）如图2，点E的坐标为(0,1)，点G为x轴负半轴上的一点，15OGE，连接PE，若2PEGOGE，请求出点P的坐标；（4）如图3，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）函数的表达式为：2(1)(3)(23)yaxxaxx，即可求解；（2）:1:2CPDBPDSS，则22322233BDBC，即可求解；（3）15OGE，230PEGOGE，则45OHE，故1OHOE，即可求解；（4）利用8OBCPBCBOCPSSS四边形，即可求解．【解析】解：（1）函数的表达式为：2(1)(3)(23)yaxxaxx，即：33a，解得：1a，故抛物线的表达式为：223yxx①，顶点坐标为(1,4)；（2）OBOC，45CBO，:1:2CPDBPDSS，22322233BDBC，sin2DyBDCBO，则点(1,2)D；（3）如图2，设直线PE交x轴于点H，15OGE，230PEGOGE，45OHE，1OHOE，则直线HE的表达式为：1yx②，联立①②并解得：1172x（舍去正值），故点117(2P，171)2；（4）不存在，理由：连接BC，过点P作y轴的平行线交BC于点H，直线BC的表达式为：3yx，设点2(,23)Pxxx，点(,3)Hxx，则211332333822OBCPBCBOCPSSSxxx四边形，整理得：23970xx，解得：△0，故方程无解，则不存在满足条件的点P．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、一元二次方程应用、图象的面积计算等，难度不大．【类型3】二次函数与等面积问题【例3】如图，二次函数23yxbx的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为(1,0)，点D为OC的中点，点P在抛物线上．（1）b2；（2）若点P在第一象限，过点P作PHx轴，垂足为H，PH与BC、BD分别交于点M、N．是否存在这样的点P，使得PMMNNH？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P的横坐标小于3，过点P作PQBD，垂足为Q，直线PQ与x轴交于点R，且2PQBQRBSS，求点P的坐标．【分析】（1）把点A坐标代入二次函数解析式即求得b的值．（2）求点B、C、D坐标，求直线BC、BD解析式．设点P横坐标为t，则能用t表示点P、M、N、H的坐标，进而用含t的式子表示PM、MN、NH的长．以PMMN为等量关系列得关于t的方程，求得t的值合理（满足P在第一象限），故存在满足条件的点P，且求得点P坐标．（3）过点P作PFx轴于F，交直线BD于E，根据同角的余角相等易证EPQOBD，所以25coscos5EPQOBD，即在RtPQE中，25cos5PQEPQPE；在RtPFR中，25cos5PFRPFPR，进而得255PQPE，52PRPF．设点P横坐标为t，可用t表示PE、PF，即得到用t表示PQ、PR．又由2PQBQRBSS易得2PQQR．要对点P位置进行分类讨论得到PQ与PR的关系，即列得关于t的方程．求得t的值要注意是否符合各种情况下t的取值范围．【解析】解：（1）二次函数23yxbx的图象与x轴交于点(1,0)A130b解得：2b故答案为：2．（2）存在满足条件呢的点P，使得PMMNNH．二次函数解析式为223yxx当0x时3y，(0,3)C当0y时，2230xx解得：11x，23x(1,0)A，(3,0)B直线BC的解析式为3yx点D为OC的中点，3(0,)2D直线BD的解析式为1322yx，设(Pt，223)(03)ttt，则(,3)Mtt，13(,)22Ntt，(,0)Ht2223(3)3PMttttt，13133()2222MNtxt，1322NHtMNNHPMMN213322ttt解得：112t，23t（舍去）1(2