中考数学考点讲解：解直角三角形

第19讲解直角三角形直角三角形中的边角关系―→锐角三角函数―→解直角三角形―→实际问题知识点1锐角三角函数的定义1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sinA＝35，cosA＝45，tanA＝34．知识点2特殊角的三角函数值2．计算：sin30°＋cos30°·tan60°＝2．3．在△ABC中，如果∠A，∠B满足|tanA－1|＋(cosB－12)2＝0，那么∠C＝75°．知识点3解直角三角形4．如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，tanA＝12，下列判断正确的是(D)A．∠A＝30°B．AC＝12C．AB＝2D．AC＝2第4题图第5题图5．如图，等腰△ABC的周长是36cm，底边为10cm，则底角的正弦值是1213．知识点4解直角三角形的实际应用6．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，那么海轮航行的距离AB长是(C)A．2海里B．2sin55°海里C．2cos55°海里D．2tan55°海里第6题图第7题图7．如图，一山坡的坡度为i＝1∶3，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了100米．8．如图，某建筑物AC顶部有一旗杆AB，且点A，B，C在同一条直线上，小明在地面D处观测旗杆顶端B的仰角为30°，然后他正对建筑物的方向前进了20米到达地面的E处，又测得旗杆顶端B的仰角为60°，已知建筑物的高度AC＝12米，求旗杆AB的高度．(结果精确到0.1米．参考数据：3≈1.73，2≈1.41)解：根据题意，得∠BDE＝30°，∠BEC＝60°，DE＝20米，∴∠DBE＝∠BEC－∠BDE＝60°－30°＝30°＝∠BDE.∴BE＝DE＝20米．在Rt△BEC中，BC＝BE·sin60°＝20×32＝103≈17.3(米)．∴AB＝BC－AC＝17.3－12＝5.3(米)．答：旗杆的高度是5.3米.重难点1解直角三角形(2016·上海)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，点D在边AC上，且AD＝2CD，DE⊥AB，垂足为点E，连接CE，求：(1)线段BE的长；(2)∠ECB的余切值．【思路点拨】(1)由等腰直角三角形的性质得出∠A＝∠B＝45°，由勾股定理求出AB＝32，求出∠ADE＝∠A＝45°，由三角函数得出AE＝2，即可得出BE的长；(2)过点E作EH⊥BC，垂足为点H，由三角函数求出EH＝BH＝BE·cos45°＝2，得出CH＝1，在Rt△CHE中，由三角函数求出cot∠ECB＝CHEH＝12即可．【自主解答】(1)∵AD＝2CD，AC＝3，∴AD＝2.∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，∴∠A＝∠B＝45°，AB＝AC2＋BC2＝32＋32＝32.∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°，∠ADE＝∠A＝45°.∴AE＝AD·cos45°＝2×22＝2.∴BE＝AB－AE＝32－2＝22.(2)过点E作EH⊥BC，垂足为点H，∵在Rt△BEH中，∠EHB＝90°，∠B＝45°，∴EH＝BH＝BE·cos45°＝22×22＝2.∵BC＝3，∴CH＝1.在Rt△CHE中，cot∠ECB＝CHEH＝12，即∠ECB的余切值为12.【变式训练1】(2016·沈阳)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是(D)A.433B．4C．83D．43变式训练1图变式训练2图【变式训练2】(2016·福州)如图，以O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是AB︵上一点(不与A，B重合)，连接OP，设∠POB＝α，则点P的坐标是(C)A．(sinα，sinα)B．(cosα，cosα)C．(cosα，sinα)D．(sinα，cosα),方法指导1．解直角三角形的问题时，通常都是根据图形，将已知条件在图形中表示出来，再根据要求的边或角并结合已知条件，寻找与之对应的边角关系来解题．2．求锐角三角函数值时，常用方法有：①求出角的度数，利用特殊角的三角函数值求解；②构造直角三角形，利用定义求解；③借助等角转换，将未知角的三角函数值转化为已知角的三角函数值,重难点2解直角三角形的实际应用(2017·内江)如图，某人为了测量小山顶上的塔ED的高，他在山下的点A处测得塔尖点D的仰角为45°，再沿AC方向前进60m到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为30°，求塔ED的高度．(结果保留根号)【思路点拨】先求出∠DBE＝30°，∠BDE＝30°，得出BE＝DE，设EC＝x，则BE＝2x，DE＝2x，DC＝3x，BC＝3x，再根据∠DAC＝45°，可得AC＝CD，列出方程求出x的值，即可求出塔DE的高度．【自主解答】由题意可知，∠DBC＝60°，∠EBC＝30°，∴∠DBE＝∠DBC－∠EBC＝60°－30°＝30°.又∵∠BCD＝90°，∴∠BDC＝90°－∠DBC＝90°－60°＝30°.∴∠DBE＝∠BDE.∴BE＝DE.设EC＝xm，则DE＝BE＝2EC＝2xm，DC＝EC＋DE＝＝3xm，BC＝BE2－EC2＝3xm.由题意可知，∠DAC＝45°，∠DCA＝90°，AB＝60m，∴△ACD为等腰直角三角形．∴AC＝DC.∴3x＋60＝3x.解得x＝30＋103.答：塔高约为(30＋103)m.【变式训练3】(2017·青岛)如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要绕行B地，已知B位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长．(结果保留整数)(参考数据：sin67°≈1213；cos67°≈513；tan67°≈125；3≈1.73)解：作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中，∠ABD＝67°，sin67°＝ADAB≈1213，∴AD≈1213AB＝480km.cos67°＝BDAB≈513，∴BD≈513AB＝200km.在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，tan30°＝CDBD＝33，∴CD＝33BD≈116km.∴AC＝CD＋DA≈596km.答：A，C之间的距离约为596km.,方法指导1．对于解直角三角形的实际应用题，要灵活运用转化思想，通常是根据以下方法和步骤解决：(1)有图的要先将题干中的已知量在图中表示出来，找到与已知量和未知量相关联的三角形，画出平面几何图形，弄清已知条件中各量之间的关系；(2)若三角形是直角三角形，根据边角关系进行计算．若三角形不是直角三角形，可通过添加辅助线构造直角三角形来解决，其中作某边上的高是常用的辅助线．总的来说，解直角三角形的实际应用问题，关键是要根据实际情况建立数学模型，正确画出图形或作出辅助线并找准直角三角形．2．解直角三角形的实际应用题常见图形类型及辅助线作法如图所示：1．(2017·日照)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则sinA的值为(B)A.513B.1213C.512D.1252．(2016·怀化)在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝45，AC＝6cm，则BC的长度为(C)A．6cmB．7cmC．8cmD．9cm3．(2017·威海)为了方便行人推车过某天桥，市政府在10m高的天桥一侧修建了40米长的斜道(如图所示)．我们可以借助科学计算器求这条坡道倾斜角的度数，具体按键顺序是(A)A.2ndFsin0·25＝B.sin2ndF0·25＝C.sin0·25＝D.2ndFcos0·25＝4．(2017·滨州)如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为(A)A．2＋3B．23C．3＋3D．33第4题图第5题图5．(2017·益阳)如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB＝α，则拉线BC的长度为(A，D，B在同一条直线上)(B)A.hsinαB.hcosαC.htanαD．h·cosα6．(2017·重庆)如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米(点C与点B在同一水平面上)，某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处，斜坡CD的坡度(或坡比)i＝1∶2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯角为20°，则建筑物AB的高度约为(精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364)(A)A．29.1米B．31.9米C．45.9米D．95.9米7．(2017·烟台)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝3，则sinA2＝12．8．(2017·广州)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝15，tanA＝158，则AB＝17．第8题图第9题图9．(2017·临沂)如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.若AB＝4，BD＝10，sin∠BDC＝35，则▱ABCD的面积是24．10．(2017·宁波)如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB＝500米，则这名滑雪运动员的高度下降了280米．(参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67)第10题图第11题图11．(2017·苏州)如图，在一笔直的沿湖道路l上有A，B两个游船码头，观光岛屿C在码头A北偏东60°的方向，在码头B北偏西45°的方向，AC＝4km.游客小张准备从观光岛屿C乘船沿CA回到码头A或沿CB回到码头B，设开往码头A，B的游船速度分别为v1，v2，若回到A，B所用时间相等，则v1v2＝2．(结果保留根号)12．已知：如图，等腰△ABC中，AB＝BC，AE⊥BC于E，EF⊥AB于F，若CE＝2，cos∠AEF＝45，求BE的长．解：∵AE⊥BC，EF⊥AB，∴∠AEB＝∠AFE＝90°.∴∠B＋∠BAE＝∠BAE＋∠AEF＝90°.∴∠B＝∠AEF.∵cos∠AEF＝45，∴cosB＝45.∵cosB＝BEAB，AB＝BC，CE＝2，∴设BE＝4a，则AB＝5a，CE＝a.∴a＝2.∴BE＝8.13．(2017·眉山)如图，为了测得一棵树的高度AB，小明在D处用高为1m的测角仪CD，测得树顶A的仰角为45°，再向树方向前进10m，又测得树顶A的仰角为60°，求这棵树的高度AB.解：过F作FE⊥AB于E.设AE＝xm，在Rt△ACE中，CE＝AEtan45°＝xm.在Rt△AFE中，FE＝AEtan60°＝33xm.又因为CF＝CE－FE，CF＝DG＝10m，所以x－33x＝10，解得x＝15＋53.所以AB＝AE＋EB＝15＋53＋1＝16＋53(m)．答：这棵树的高度AB为(16＋53)m.14．(2017·江西)如图1，研究发现，科学使用电脑时，望向荧光屏幕画面的“视线角”α约为20°，而当手指接触键盘时，肘部形成的“手肘角”β约为100°.图2是其侧面简化示意图，其中视线AB水平，且与屏幕BC垂直．(1)若屏幕上下宽BC＝20cm，科学使用电脑时，求眼睛与屏幕的最短距离AB的长；(2)若肩膀到水平地面的距离DG＝100cm，上臂DE＝30cm，下臂EF水平放置在键盘上，其到地面的距离FH＝72cm.请判断此时β是否符合科学要求的100°？(参考数据：sin69°≈1415，cos21°≈1415，tan20°≈411，tan43°≈1415，所有结果精确到个位)图1图2解：(1)∵Rt△ABC中，tanA＝BCAB，∴AB＝BCtanA＝BCtan20°≈20411＝55(cm)．(2)延长FE交DG于点I.则DI＝DG－FH＝100－72＝28(cm)．在Rt△DEI中，sin∠DEI＝DIDE＝2830＝1415，∴∠DEI≈69°.∴∠β≈180°－69°＝111°≠100°.∴此时β不是符合科学要求的100°.15．(2017·杭州)如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC