中考数学考点讲解：相似三角形

第18讲相似三角形知识点1比例线段1．若m＋nn＝52，则mn的值为(D)A.52B.23C.25D.322．如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果ACAB＝BCAC，那么称线段AB被点C黄金分割，AC与AB的比叫做黄金比，其比值是(A)A.5－12B.3－52C.5＋12D.3＋52知识点2平行线分线段成比例3．如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若ABBC＝12，则DEEF＝(B)A.13B.12C.23D．1知识点3相似三角形的性质4．已知△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的相似比为4∶1，则△ABC与△DEF对应边上的高之比为4∶1，△ABC与△DEF对应边上的中线的比为4∶1，△ABC与△DEF对应角的角平分线的比为4∶1，△ABC与△DEF的周长之比为4∶1，△ABC与△DEF的面积之比为16∶1．知识点4相似三角形的判定5．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是(D)A．∠ABP＝∠CB．∠APB＝∠ABCC.APAB＝ABACD.ABBP＝ACCB6．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC.证明：∵DE∥BC，∴∠AED＝∠C.又∵EF∥AB，∴∠A＝∠FEC.∴△ADE∽△EFC.知识点5相似多边形7．如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2∶1，则下列结论正确的是(B)A．∠E＝2∠KB．BC＝2HIC．六边形ABCDEF的周长＝六边形GHIJKL的周长D．S六边形ABCDEF＝2S六边形GHIJKL重难点1相似三角形的性质与判定(2017·杭州)如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC.(1)求证：△ADE∽△ABC；(2)若AD＝3，AB＝5，求AFAG的值．【思路分析】(1)根据等角的余角相等可得∠AED＝∠ACB，又∠EAD与∠CAB是公共角，进而可证明△ADE∽△ABC；(2)由(1)可得ADAB＝AEAC，又易证△EAF∽△CAG，所以AFAG＝AEAC，所以AFAG＝ADAB.【自主解答】(1)证明：∵AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFE＝∠AGC＝90°.∵∠EAF＝∠GAC，∴∠AED＝∠ACB.又∵∠EAD＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC.(2)由(1)可知：△ADE∽△ABC，∴ADAB＝AEAC＝35.由(1)可知：∠AFE＝∠AGC＝90°，又∵∠EAF＝∠GAC.∴△EAF∽△CAG.∴AFAG＝AEAC.∴AFAG＝35.【变式训练1】(2016·凉山)如图，△ABC的面积为12cm2，点D，E分别是AB，AC边的中点，则梯形DBCE的面积为9cm2.,方法指导1．判定三角形相似的思路：有平行截线→用平行线的性质，找等角有一对等角，找另一对等角两夹边对应成比例有两边对应成比例，找夹角相等第三边也对应成比例一对直角直角三角形，找一对锐角相等斜边、直角边对应成比例等腰三角形，找顶角相等一对底角相等底和腰对应成比例2．由三角形相似证线段成比例的一般步骤：(1)先看要证的成比例线段，确定可能的相似三角形；(2)再找这两个三角形相似所需的条件；(3)如果这两个三角形不相似，那么采用其他方法(如找中间比代换等)．3．证明两组线段的积相等，常常将等积式化为等比式，然后找“平行或三角形相似”解决．重难点2与相似三角形有关的证明与计算(2017·眉山)如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连接DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF分别交AC于H，交BC于G.(1)求证：BG＝DE；(2)若点G为CD的中点，求HGGF的值．【思路点拨】(1)利用ASA证明△BCG≌△DCE得到BG＝DE；(2)设CG＝1，从而知CG＝CE＝1，由勾股定理可知：DE＝BG＝5，易证△ABH∽△CGH，所以BHHG＝2，从而可求出HG的长度，进而求出HGGF的值．【自主解答】(1)证明：∵BF⊥DE，∴∠GFD＝90°.∵∠BCG＝90°，∠BGC＝∠DGF，∴∠CBG＝∠CDE.在△BCG和△DCE中，∠CBG＝∠CDE，BC＝DC，∠BCG＝∠DCE，∴△BCG≌△DCE(ASA)．∴BG＝DE.(2)设CG＝1，∵G为CD的中点，∴GD＝CG＝1.由(1)可知：△BCG≌△DCE，∴CG＝CE＝1.∴由勾股定理可知：DE＝BG＝5.∵sin∠CDE＝CEDE＝GFGD，∴GF＝55.∵AB∥CG，∴△ABH∽△CGH.∴ABCG＝BHGH＝21.∴BH＝235，GH＝53.∴HGGF＝53.【变式训练2】(2015·泰安)如图，在△ABC中，AB＝AC，点P，D分别是BC，AC边上的点，且∠APD＝∠B.(1)求证：AC·CD＝CP·BP；(2)若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．解：(1)证明：∵∠APC＝∠PAB＋∠B＝∠APD＋∠DPC，∠APD＝∠B，∴∠DPC＝∠PAB.∵AB＝AC，∴∠ABP＝∠PCD.∴△ABP∽△PCD.∴ABPC＝BPCD.又∵AB＝AC，∴ACPC＝BPCD，即AC·CD＝CP·BP.(2)∵PD∥AB，∴∠DPC＝∠B.又∵∠PAB＝∠DPC，∴∠PAB＝∠B.又∵∠B＝∠C，∴∠PAB＝∠C.又∵∠PBA＝∠ABC，∴△PBA∽△ABC.∴BPBA＝BABC.∴BP＝AB2BC＝10212＝253.,方法指导解答相似三角形有关的问题时，要善于挖掘题中隐含的相似三角形的基本图形，从而将形的关系转化为对应边成比例的数的关系来求解．1．(2017·兰州)已知2x＝3y(y≠0)，则下面结论成立的是(A)A.xy＝32B.x3＝2yC.xy＝23D.x2＝y32．(2017·杭州)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD＝2AD，则(B)A.ADAB＝12B.AEEC＝12C.ADEC＝12D.DEBC＝12第2题图第3题图3．(2017·连云港)如图，已知△ABC∽△DEF，AB∶DE＝1∶2，则下列等式一定成立的是(D)A.BCDF＝12B.∠A的度数∠D的度数＝12C.△ABC的面积△DEF的面积＝12D.△ABC的周长△DEF的周长＝124．(2016·湘西)如图，在△ABC中，DE∥BC，DB＝2AD，△ADE的面积为1，则四边形DBCE的面积为(D)A．3B．5C．6D．85．(2017·枣庄)如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(C)6．(2017·绵阳)为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理，她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，标记好脚掌中心位置为B，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50cm，镜面中心C距离旗杆底部D的距离为4m，如图所示．已知小丽同学的身高是1.54m，眼睛位置A距离小丽头顶的距离是4cm，则旗杆DE的高度等于(B)A．10mB．12mC．12.4mD．12.32m第6题图第7题图7．(2017·自贡)如图，在△ABC中，MN∥BC分别交AB，AC于点M，N.若AM＝1，MB＝2，BC＝3，则MN的长为1．8．(人教9下教材P42T4变式题)(2016·临沂)如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC上，DE∥BC，EF∥AB.若AB＝8，BD＝3，BF＝4，则FC的长为125．第8题图第9题图9．(2017·潍坊)如图，在△ABC中，AB≠AC，D，E分别为边AB，AC上的点，AC＝3AD，AB＝3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件：DF∥AC或∠BFD＝∠A(答案不唯一)，可以使得△FDB与△ADE相似．(只需写出一个)10．如图，△OPQ在边长为1个单位长度的方格纸中，它们的顶点在小正方形顶点位置，点A，B，C，D，E也是小正方形的顶点，从点A，B，C，D，E中选取三个点所构成的三角形与△OPQ相似，那么这个三角形是△CDB．第10题图第11题图11．(易错易混)如图，P是Rt△ABC的斜边BC上异于B，C的一点，过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有3条．12．(2017·江西)如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°.求证：△EBF∽△FCG.证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝∠C＝90°.∴∠BEF＋∠BFE＝90°.∵∠EFG＝90°，∴∠BFE＋∠CFG＝90°.∴∠BEF＝∠CFG.∴△EBF∽△FCG.13．(2017·衢州)如图，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆O于点D，连接OD.作BE⊥CD于点E，交半圆O于点F.已知CE＝12，BE＝9.(1)求证：△COD∽△CBE；(2)求半圆O的半径r的长．解：(1)证明：∵CD切半圆O于点D，∴CD⊥OD.∴∠CDO＝90°.∵BE⊥CD，∴∠E＝90°＝∠CDO.又∵∠C＝∠C，∴△COD∽△CBE.(2)在Rt△BEC中，CE＝12，BE＝9，∴BC＝CE2＋BE2＝15.∵△COD∽△CBE，∴ODBE＝OCBC，即r9＝15－r15.解得r＝458.14．(2016·山西)宽与长的比是5－12(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD，BC的中点E，F，连接EF；以点F为圆心，FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H.则图中下列矩形是黄金矩形的是(D)A．矩形ABFEB．矩形EFCDC．矩形EFGHD．矩形DCGH15．(易错易混)如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝16cm，AC＝12cm，点P从点B出发，沿BC以2cm/s的速度向点C移动，点Q从点C出发，沿CA以1cm/s的速度向点A移动，若点P，Q分别从点B，C同时出发，设运动时间为ts，当t＝245或6411时，△CPQ与△CBA相似．16．(2017·泰安)如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD.(1)证明：∠BDC＝∠PDC；(2)若AC与BD相交于点E，AB＝1，CE∶CP＝2∶3，求AE的长．解：(1)证明：∵AB＝AD，AC平分∠BAD，∴AC⊥BD.∴∠ACD＋∠BDC＝90°.∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC.∴∠ADC＋∠BDC＝90°.∵PD⊥AD，∴∠ADP＝∠ADC＋∠PDC＝90°.∴∠BDC＝∠PDC.(2)过点C作CM⊥PD于点M，∵∠BDC＝∠PDC，∴CE＝CM.∵∠CMP＝∠ADP＝90°，∠P＝∠P，∴△CPM∽△APD.∴CMAD＝PCPA.设CM＝CE＝x，∵CE∶CP＝2∶3，∴PC＝32x.∵AB＝AD＝AC＝1，∴x1＝32x32x＋1.解得x＝13.∴AE＝1－x＝1－13＝23.